Файл: Пояснительная записка к расчетнографической работе по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика".doc

5.Построение статистических оценок функции распределения

Статистическая функция распределения
Реализация статистической функции распределения F*(x) рассчитывается по формуле:

F*(x) =

где - число вариантов вариационного ряда (значений с учетом кратности, т.е. количества повторений), расположенных левее x (включая точку x) , n – объем выборки.

Таким образом, график статистической функции распределения будет иметь следующий вид:

Рис.1 «График статистической функции распределения»

Данные для построения статистической функции распределения приведены в приложении 4 (Критерий Колмогорова).



Кумулятивная ломаная

Кумулятивную ломаную (вторую оценку функции распределения) строим по формулам:

F** (x ) = 0,

F** (x ) = p ,

F** (x ) = p + p ,

……………………

F** (x ) = p + p + … + p ,

где

---

=1.

Результаты расчетов для построения кумулятивной ломаной из таблицы приложения 2 занесем в табл.4.
Таблица 4

Номер интервала	1	2	3	4	5	6	7
Границы интервалов	2.661;3.861	3.861;5.061	5.061;6.261	6.261;7.461	7.461;8.661	8.661;9.861	9.861;11.061
Относительная частота интервалов	0.1304348	0.17391304	0.2391304	0.0869565	0.17391304	0.13043478	0.06521739
F**(x)	0.1304348	0.30434783	0.5434783	0.6304348	0.80434783	0.93478261	1

Таким образом, график кумулятивной ломаной будет иметь следующий вид:


Рис.2 «График комулятивной ломаной»

6.Статистические оценки плотности распределения

Гистограммы относительных частот f*(x) и полигона частот f**(x)

Построим гистограмму на основе относительных частот.

Основаниями прямоугольников, из которых состоит гистограмма, служат интервалы длиной l_j и высотой f^*_j.

Таким образом, гистограмма относительных частот строится следующим образом: на оси Оx отложим длины разрядов и на них, как на основаниях, построим прямоугольники, имеющие площадь p^*_j и высоту равную f^*_j.

Гистограмма изображена ниже:

Используем данные из табл. 3. “Статистический ряд” для построения оценок плотности распределения

---

f(x).



Рис.3. «Гистограмма относительных частот»
Полигон частот

Построим полигон частот (сглаженную гистограмму) – вторую оценку плотности распределения f(x). Полигон относительных частот строится по точкам ( , ) , j= (см. рис. 4).


Рис.4 «Полигон относительных частот»
Полигон частот строим по точкам, координаты которых равны ( , n_j) , j= (см. рис. 5).



Рис.5 «Оценка плотности распределения по относительным частотам»

2. 1   2   3   4   5   6   7

---

Проверка статистических гипотез о законе распределения СВ

1. Расчёты для проверки критерия согласия Колмогорова

Критерий Колмогорова позволяет проверить гипотезу о виде функции распределения случайной величины и ее параметрах. Выдвинем следующую гипотезу: случайная величина распределена по нормальному закону с функцией распределения

_.

В качестве оценок параметров нормального закона примем точечные оценки для математического ожидания и дисперсии:

= 15,4358 и = 1,28630996.

Рассчитаем значение реализации статистики проверки гипотезы t: критерия Колмогорова по формуле:

,

где x_i –элемент выборки, .

Алгоритм проверки гипотезы:

1. 
   Провести измерения Х и получить выборку хⁿ;
   
2. 
   Построить вариационный ряд;
   
3. 
   Исключить грубые ошибки;
   
4. 
   Построить реализацию статистической функции распределения;
   
5. 
   Задать гипотезу, что F₀(x) есть функция распределения Х;
   
6. 
   Рассчитать наблюдаемое значение критерия t,
   
7. 
   Задать значение уровня значимости а и с помощью таблицы Колмогорова найти критическое значение t_α;
   
8. 
   Принять или отклонить гипотезу по правилу:
   

( – принять);

---

( – отклонить);

Зададим вероятность а=0,05 практически невозможного события, заключающегося в том, что оценка функции распределения отклонится от значения функции принятой в качестве гипотезы, на величину большую, чем t_α P( . Если выполняется условие: t < t_α, то гипотеза принимается.

Значение параметра t_α возьмем из таблицы Колмогорова (Приложение 5), исходя из значений вероятности а=0,05 и объема выборки n=46: t_α=0,19625.

Наблюдаемое значение критерия (расчетное значение) получили t=0,0946, которое не превышает критического значения t_α=0,19625. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении случайной выборки принимается.

Расчёты критерия t представлены в Таблице №5.

Таблица 5

	X	Y=(X-Xср)/S	Ф(y)	F0(x)	F*(x)	F*(x)-F0(x)
1	2.661	-1.736890105	-0.4588	0.041203	0.021739	0.01946415
2	2.779	-1.683082535	-0.45382	0.04618	0.043478	0.0027013
3	2.801	-1.673050616	-0.45284	0.047159	0.065217	0.01805873
4	3.162	-1.508435933	-0.43428	0.065721	0.086957	0.02123503
5	3.604	-1.306885545	-0.40437	0.095626	0.108696	0.01306986
6	3.733	-1.248062016	-0.394	0.106004	0.130435	0.02443061
7	4.094	-1.083447332	-0.3607	0.139305	0.152174	0.01286895
8	4.213	-1.029183767	-0.3483	0.151697	0.173913	0.02221638
9	4.502	-0.897400821	-0.31525	0.184753	0.195652	0.01089964
10	4.505	-0.896032832	-0.31488	0.185118	0.217391	0.03227369
11	4.591	-0.856817145	-0.30423	0.195773	0.23913	0.04335746
12	4.662	-0.824441404	-0.29516	0.204844	0.26087	0.05602517
13	4.669	-0.82124943	-0.29425	0.205752	0.282609	0.07685659
14	4.888	-0.721386229	-0.26466	0.235336	0.304348	0.06901187
15	5.399	-0.488372093	-0.18736	0.312643	0.326087	0.0134438
16	5.421	-0.478340173	-0.1838	0.316204	0.347826	0.03162203
17	5.538	-0.4249886	-0.16458	0.335422	0.369565	0.03414272
18	5.912	-0.254445964	-0.10042	0.399576	0.391304	0.00827117
19	5.929	-0.246694026	-0.09743	0.402573	0.413043	0.01047096
20	6	-0.214318285	-0.08485	0.415149	0.434783	0.01963318
21	6.047	-0.192886457	-0.07648	0.423524	0.456522	0.03299779
22	6.065	-0.184678523	-0.07326	0.426741	0.478261	0.05152027
23	6.101	-0.168262654	-0.06681	0.433188	0.5	0.06681167
24	6.122	-0.158686731	-0.06304	0.436958	0.521739	0.08478128
25	6.188	-0.128590971	-0.05116	0.448841	0.543478	0.09463761
26	6.422	-0.021887825	-0.00873	0.491269	0.565217	0.07394867
27	6.735	0.120839033	0.048091	0.548091	0.586957	0.03886579
28	7.196	0.331053352	0.129698	0.629698	0.608696	0.02100225
29	7.355	0.403556772	0.156731	0.656731	0.630435	0.02629588
30	7.631	0.529411765	0.20174	0.70174	0.652174	0.04956617
31	7.853	0.630642955	0.235863	0.735863	0.673913	0.06194995
32	7.955	0.677154583	0.250846	0.750846	0.695652	0.05519389
33	7.993	0.694482444	0.25631	0.75631	0.717391	0.03891884
34	7.997	0.69630643	0.256882	0.756882	0.73913	0.01775109
35	8.146	0.764249886	0.277641	0.777641	0.76087	0.01677126
36	8.324	0.845417237	0.301061	0.801061	0.782609	0.01845234
37	8.494	0.922936617	0.32198	0.82198	0.804348	0.01763206
38	8.634	0.986776106	0.338124	0.838124	0.826087	0.01203684
39	8.723	1.027359781	0.347874	0.847874	0.847826	4.8372E-05
40	8.898	1.107159143	0.365887	0.865887	0.869565	0.00367778
41	9.151	1.22252622	0.389246	0.889246	0.891304	0.0020587
42	9.44	1.354309166	0.412181	0.912181	0.913043	0.00086236
43	9.637	1.444140447	0.42565	0.92565	0.934783	0.00913235
44	9.666	1.457364341	0.427492	0.927492	0.956522	0.02902966
45	10.689	1.923848609	0.472813	0.972813	0.978261	0.00544765
46	11.054	2.090287278	0.481704	0.981704	1	0.018296
					max	0.09463761
					tкр	0.19625

---