Файл: С. В. Кондаков 2019 г.pdf

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
37
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
{
????
????п
= ???? = ????
????
????????,
????
????п
= ???? = ????
????
????????,
????
????п
= ???? = ????
????
????????,
где
????
????
,
????
????
,
????
????
— аэродинамические коэффициенты лобового сопротивления, подъемной и боковой сил соответственно.
Сила лобового сопротивления Z направлена противоположно вектору скорости
????
р
и не может создавать поперечные ускорения. Подъемная Y и боковая X силы взаимоортогональны, лежат в плоскости, нормальной к вектору
????
р
и могут быть использованы как управляющие.
Аэродинамические коэффициенты силы лобового сопротивления, подъемной и боковой сил можно представить следующими зависимостями [9]:
{
????
????
= ????
????
(????, ????
????
, ????
????
),
????
????
= ????
????
(????, ????
????
),
????
????
= ????
????
(????, ????
????
),
где
???? =
????
????
????
з
— число Маха;
????
з
— скорость звука.
При
???? > 2 и небольших углах ????
????
можно полагать
????
????
≈ |
????????
????
????????
????
|
????
????
=0
∙ ????
????
= ????
????
????
????
∙ ????
????
Аналогичное соотношение имеет место и для коэффициента боковой силы
????
????
:
????
????
= ????
????
????
????
∙ ????
????
Поэтому для подъемной и боковой сил можно записать
???? = ????
????
????
????
????
????
????????, ???? = ????
????
????
????
????
????
????????.
Отсюда следует, что управляющие силы (поперечные ускорения
????
⃗⃗⃗
????
) можно создавать посредством изменения углов атаки и скольжения ракеты.
Основная доля подъемной и боковой сил образуется несущими плоскостями — крыльями. Поэтому управлять ракетой можно двумя способами: поворачивая относительно набегающего потока всю ракету или поворачивая только одни крылья.
По способу создания поперечного ускорения различают декартовое и полярное рулевые управления. При декартовом управлении рулевые органы ракеты создают поперечные ускорения
????
y и
????
r
, для чего она снабжается двумя парами крыльев и рулей (рисунок 16).

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
38
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Рисунок 16 – Управляющие силы и моменты
Ускорение
????
y создается при отклонении на угол
δ
в рулей высоты (тангажа)
(
????
1,
????
1,
), а ускорение
????
r
— при отклонении на угол
δ
н рулей направления (курса)
(
????
2,
????
2,
). Управляющий момент крена возникает при повороте электронов
Э
1
, Э
1
в противоположенные стороны на угол
±δ
э
Ракеты с декартовым управлением имеют осевую аэродинамическую симметрию и применяются в тех случаях, когда необходимые максимальные поперечные ускорения
????
y макс и
????
???? макс приблизительно равны. Сюда, например, относятся ракеты классов «земля — воздух» и «воздух — воздух».
Ракеты с полярным управлением имеют плоскую аэродинамическую симметрию (самолетная схема) и применяются в комплексах вида «земля — земля» и «воздух — земля».
При отклонении руля глубины РГ вверх (по часовой стрелке) набегающий на руль воздушный поток создает момент М
рг
, поворачивающий корпус летательного аппарата вокруг оси z р
против часовой стрелки. Поворот корпуса вокруг оси z
p пре- кращается, когда вращающий момент, создаваемый воздушным потоком, обтекаю- щим корпус (и действующий в данном случае по часовой стрелке), уравновешивает вращающий момент М
рг
, создаваемый рулем глубины. При этом установившееся значение угла α
а между продольной осью ракеты и вектором ее скорости V
р
(назы- ваемого углом атаки) оказывается примерно пропорциональным углу поворота руля δ (при небольших значениях углов).
Главный момент аэродинамических сил относительно центра масс выражается формулой
????
⃗⃗⃗⃗
а
= ????
⃗⃗ ????????????,

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
39
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
где
????
⃗⃗ — векторный коэффициент главного момента аэродинамических сил; ???? — характерный размер (расстояние между центром масс и центром давления).
Рисунок 17 – Схема полярного рулевого управления
Проектируя момент
????
⃗⃗⃗⃗
а
на оси связанной системы, получим:
{
????
????????
= ????
????
????????????
????
,
????
????????
= ????
????
????????????
????
,
????
????????
= ????
????
????????????
????
,
Здесь
????
????
????
????
????
????
— аэродинамические коэффициенты моментов вращения ракеты по крену (
γ), рысканию (ψ) и тангажу (ϑ) соответственно.
1.1.2 Математическая модель движения ЛА, линеаризация и передаточные функции
Системы координат.
Для анализа движения ЛА вводят в рассмотрение системы координат, которые позволяют определять положение ЛА как материальной точки и его положение в пространстве. Выделяют следующие основные виды СК: а) Земная СК (рисунок 18) используется для определения текущего положения
ЛА относительно места старта. Началом земной прямоугольной системы коорди- нат
????з можно считать центр масс Земли, точку старта или другую неподвижную относительно Земли точку. Ось
????
з
????
з расположена в касательной плоскости к по- верхности Земли в точке старта и ориентирована в направлении прицеливания. Ось
????
з
????
з направлена по линии отвеса вверх, а ось
????
з
????
з дополняет систему координат до правой. Плоскость
????
з
????
з
????
з называют плоскостью стрельбы, однако из-за вращения

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
40
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Земли траектория полета ЛА оказывается пространственной кривой, которая в об- щем случае не располагается в указанной плоскости. Земная СК жестко связана с
Землей и участвует в ее суточном вращении, поэтому не является инерциальной.
Рисунок 18 – Земная СК
Ориентация ЛА в земной СК определяется тремя углами: тангажа ϑ, крена γ и рысканья ψ. б) Стартовая СК
????
0
????
0
????
0
– в начальный момент времени совпадает по ориента- ции с Земной СК но, в отличие от Земной, остается неподвижной в инерциальном пространстве, то есть является инерциальной. Положение осей стартовой СК зада- ются на борту ЛА с помощью ГСП. в) Связанная СК характеризуется тем, что начало отсчета совмещено с центром масс ЛА. Ось Ox направлена по продольной оси (рисунок 19). Нормальная ось
???????? лежит в плоскости рулевых органов I–III. Ось
????????
замыкает правую прямоугольную систему координат.
Рисунок 19 – Связанная СК д) Начало скоростной СК (рисунок 20) расположено в центре масс ЛА, ось
????x a
направлена по направлению скорости аппарата,
????y a
и
????z a
расположены в плоско- сти, перпендикулярной вектору скорости.

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
41
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Рисунок 20 – Скоростная СК
Скоростная система координат чаще всего используется для анализа моментов и сил, действующих на аппарат в процессе полета.
Ориентация ЛА относительно вектора скорости V определяется двумя углами:
α – угол атаки и β – угол скольжения.
В некоторых ситуациях допустимо использование полускоростной СК. В этом случае ось OY всегда будет находиться в вертикальной плоскости
Уравнения движения ЛА. Задачи управления полетом и стабилизации можно решать лишь при наличии математического описания движения центра масс ЛА под действием приложенных сил.
Необходимо составить систему дифференциальных уравнений, включающую уравнения продольных и поперечных сил, уравнения моментов и кинематические соотношения углов.
Знание этих уравнений и их решений даёт возможность определить характер траектории полета, учесть факторы, влияющие на точность наведения, и определить соответствующие меры для достижения желаемых результатов.
Общее движение ЛА можно разделить на продольное и боковое. Продольным называется движение, характеризуемое вращением вокруг поперечной оси Oz и поступательным движением в направлении осей Ox и Oy.
Боковое движение составляют вращения вокруг осей Ox и Oy и перемещение в направлении оси
Oz .
В соответствии с рисунком 21 имеют место кинематические соотношения:
???? = ???? + ????; ????̇ = ????
????
;
Для случая полета в вертикальной плоскости полные уравнения движения центра масс принимают вид:
????
????????̅
????????
= ????̅ + ????̅ + ????̅;
I̅
????????
̅
????
????????
= ????
̅
????
;

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
42
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Рисунок 21 – К выводу уравнения сил, действующих на ЛА в полете: x
a
, y a
- оси скоростной системы координат; х - продольная ось связанной системы координат; x
з
- продольная ось земной системы координат; Р - сила тяги;
X
a
, Y
a
- сила лобового сопротивления и подъемная сила; G - сила тяжести; V- вектор скорости;θ - угол наклона траектории; α - угол атаки.
Нелинейная математическая модель продольного движения летательного аппарата в проекциях на оси скоростной системы координат:
????????????
р
????????
= ???????????????????? − ????
????
− ???????? ∙ ????????????????;
????????
р
????????
????????
= ???????????????????? + ????
????
− ???????? ∙ ????????????????.
Сила тяги
???? зависит от параметров двигателя, от внешних условий, характеризуемых скоростью полёта
????, высотой полёта ???? и параметра управления двигателем δ
р т. е. в общем виде
???? = ????(????, ????, δ
р
).
Аэродинамические силы
????
????
и
????
????
зависят от угла атаки
????, скорости полёта ????, плотности воздуха ρ и угла отклонения руля высоты δ
в
. Так как угол δ
в практически не влияет на величины
????
????
и
????
????
, то этим влиянием пренебрегают и представляют их обычно в виде:
????
????
= ????
????
????
????
????????
2 2
; ????
????
= ????
????
????
????
????????
2 2
, где
????
????
????
,
????
????
????
– коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы, зависящие от угла атаки и скорости полета.
Обозначим через
????
????
,
????
????
соответственно суммарный момент аэродинамических сил, действующий относительно поперечной оси, проходящей через центр масс,
(1.3)

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
43
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
момент инерции относительно той же оси. Уравнение моментов относительно по- перечной оси имеет вид
????
????
????
2
????
????????
2
= ????
????
ст
+ ????
????
демп
+ ????
????
упр
= ????
????
;
????̇ = ????
????
, где
????
????
ст
– статический момент,
????
????
демп
– демпфирующий момент,
????
????
упр
– активный вращающий момент
????
????
— коэффициент момента;
????
????
- хорда крыла;
???? – скоростной поток; S – площадь крыльев
Для определения движения ЛА по отношению к системе координат, связанной с Землей, к полученным уравнениям необходимо добавить кинематические уравнения:
????????
????????
= ????
р
????????????????,
????????
????????
= ????
р
????????????????, где
???? и ???? − соответственно высота полета и пройденное расстояние.
На основании полученной системы уравнений может быть построена структурная схема математической модели ракеты (рисунок 22).
Рисунок 22 – Исходная нелинейная структурная схема канала тангажа ракеты
Использовать полученные системы уравнений и их математические структуры для аналитических исследований в силу нелинейностей не предоставляется возможным. Поэтому следующим этапом является приведение полученной схемы и системы уравнений к линейному виду и нахождение передаточных функций.
Перепишем систему уравнений:
????????
р
????????
????????
= ???????????????????? + ????
????
− ???????? ∙ ????????????????;
δ

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
44
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
????
????
????
2
????
????????
2
= ????
????
ст
+ ????
????
демп
+ ????
????
упр
;
???? = ???? + ????.
С учетом этих выражений значения подъемных сил и моментов, входящих в систему, могут быть переписаны в виде:
????
????
= ????????????
????
????
(????);
????
????
ст
= ????????????????
????
????
(????);
????
????
упр
= ????????????????
????
????
(????);
????
????
демп
=
????
????
р
????????
2
????
????
????
????;
где
C
y и m z
− безразмерные коэффициенты подъемной силы и моментов (крыла и руля).
Эти аэродинамические коэффициенты полностью отражают нелинейную зависимость подъемной силы и моментов от угла атаки и угла руля, а также являются функцией скорости (числа Маха) и времени.
Примем некоторые допущения:
1) Исключим из уравнений движения в вертикальной плоскости операнд
???????? ∙
????????????????. Это объясняется следующими физическими соображениями. Сила тяжести является систематической, медленно изменяющейся силой, а потому в вертикаль- ной и горизонтальной плоскостях будут различны лишь условия движения в уста- новившемся режиме.
2) Допущение о малости угла атаки α. Непосредственным следствием этого допущения является возможность избавиться от второго тригонометрического члена в уравнениях сил, выразив sin α через аргумент α.
3) Допущения, связанные с линеаризацией аэродинамических коэффициен- тов подъемной силы и моментов
????
????
????
(????), ????
????
????
(????), ????
????
????
(????) входящих в выражение для моментов и сил. В пределах определенных углов атаки α и отклонений рулей δ это зависимости близки к линейным. Поэтому они могут быть в этих линейных пределах аппроксимированы в виде
????
????
????
(????) = ????
????
????
????;
????
????
????
(????) = ????
????
????
????;
????
????
????
(????) = ????
????
????
????, где коэффициенты
????
????
????
,
????
????
????
,
????
????
????
являются тангенсами углов касательных к

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
45
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
соответствующим кривым и называются производными аэродинамических коэффициентов от аргументов.
4) Условимся считать все аэродинамические коэффициенты положительными величинами. Тогда с учетом знаков функция в уравнениях сил все члены в правой части будут иметь положительный знак.
В уравнениях моментов в правой части будет знак минус перед, членом, пропорциональным ω.
С учетом линейной аппроксимации аэродинамических коэффициентов, а так же правил знаков исходная система уравнения перепишется в виде:
????????
р
????????
????????
= (????????????
????
????
+ ????) ∙ ????;
????
????
????
2
????
????????
2
= −????????????????
????
????
???? + ????????????????
????
????
???? −
????
????
р
????????
2
????
????
????
????;
???? = ???? + ????.
Для простоты дальнейших выкладок введем обозначения:
????
1
= ????????????
????
????
- коэффициент пропорциональности аэродинамической силы;
????
2
= ????????????????
????
????
– коэффициент пропорциональности активного вращающего момента (имеет размерность Н

м/рад)
????
3
= ????????????????
????
????
– – коэффициент пропорциональности стабилизирующего момента,
????
4
=
????
????
р
????????
2
????
????
????
коэффициент пропорциональности демпфирующего момента.
С учетом введенных обозначений система уравнений перепишется в следующем виде:
????????
р
????????
????????
= (????
1
+ ????) ∙ ????;
????
????
????̇ = −????
2
???? + ????
3
???? − ????
4
????;
???? = ???? + ????.
Уравнения сил, моментов и кинематическое соотношение системы могут быть представлены в виде структурной схемы (рисунок 23).
Для перехода к передаточным функциям необходимо сделать допущение о
«замораживании» коэффициентов, т.е. предположить, что на исследуемом участке времени можно считать систему стационарной, т.е. считать коэффициенты уравнений движения постоянными.

Изм. Лист
№ докум.
Подпись Дата
Лист
46
24.05.06.2019.356.00
ПЗ ВКР
Рисунок 23 – Линейная структурная схема ракеты с рулевым управлением
Из линеаризованных уравнений путем преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях можно получить передаточные функции:
W
????????
(s) =
????(????)
????(????)
=
????
????
????
2
+ 2???????????? + ????
2
;
W
????????
(s) =
????(????)
????(????)
=
1 ????
⁄
????
∗
????
????
????
2
+ 2???????????? + ????
2
Из выражения следует, что ЛА по отношению к углу атаки α является колебательным звеном, тогда как по отношению к углу наклона траектории θ его передаточная функция может быть представлена в виде последовательного соединения колебательного и интегрирующего звена. Входным сигналом модели является угол отклонения рулей
????, выходным – угол наклона траектории θ.
Структурная схема линеаризованной модели летательного аппарата имеет вид:
Рисунок 24– Структурная схема линеаризованной модели летательного аппарата