Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

51
2.1. УНИФИЦИРОВАННАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАМЕТНОСТИ ЦЕЛЕЙ
В ЛОКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Опыт цифрового моделирования ЭПР и ИКЯ для широкого класса космических, воздушных и наземных антропогенных объек- тов показал, что вероятностные законы указанных характеристик заметности близки к классу бета-распределений. Отметим, что дан- ная закономерность в поведении статистик ЭПР проявляется не только в оптическом, но и в радиолокационном диапазоне спектра электромагнитных волн.
В практических приложениях гистограммные оценки распреде- лений ЭПР A(

,

) и размера цели T
(

,

) в однопозиционной ло- кации [19, 20], равно как и аналогичные оценки ИКЯ в двухпозици- онной локации [4], не всегда удобны. Рассмотрим простую систему непрерывных распределений, аппроксимирующих одномерные за- коны указанных характеристик отражения зондирующего излуче- ния объектом локации [21]. Пусть v =

(u) — дифференцируемая, монотонно возрастающая функция нормированной ЭПР цели
u = (a − A
min
)

(A
max
− A
min
), распределенная в интервале 0

v

1 в соответствии с некоторым стандартным законом F
B
(v). Здесь
A
min

A(

,

)

A
max
— интервал изменения ЭПР объекта. Тогда функция F
A
(a) распределения ЭПР удовлетворяет правилу нелиней- ного безынерционного преобразования [22], а именно min max min
(
)
( )
(
)
A
B
a
A
F a
F
A
A




















Иными словами, функция min max min
(
)
(
)
a
A
v
A
A



  




преобразует стандартное распределение в распределение ЭПР цели. Заменим функцию F
A
(a) ее кусочно-линейной интерполяционной оценкой,

52 полученной на основе гистограммы распределения ЭПР [20].
В этом случае решение численными методами трансцендентного уравнения ( )
( )
B
A
F v
F u
 
относительно v (для каждого фиксирован- ного u) даст интерполяционное приближение функции v =

(u).
Здесь функция распределения нормированной ЭПР имеет вид min max min
1 1
( )
{
(
)}
( |
,
),
M
A
A
m
m
m
m
F u
F A
u A
A
P
u u
u









(2.1) где min max min
;
m
m
a
A
u
A
A



1 1
1 1
0,
,
(
)
( |
,
)
,
,
(
)
1,
;
m
m
m
m
m
m
m
m
m
u
u
u u
u u u
u
u
u
u
u
u
u











 






a
m

a

a
m + 1
— m-й разрядный интервал гистограммы ЭПР [20].
Расчеты коэффициентов асимметрии

3A
и эксцесса

4A
распре- делений ЭПР и размеров цели для разнообразных по конфигурации космических, воздушных и наземных объектов локации обнаружи- ли устойчивую тенденцию в поведении параметров Пирсона
2 1
3A
   и
2 4
3
A
    . Эти статистики удовлетворяют неравен- ствам
1 2
1 1
6 3 2
      
. Поэтому в качестве формирующего разумно выбрать бета-распределение
1 2
1 2
1 2
0
(
2)
( )
(1
)
; 0 1.
(
1) (
1)
v
g
g
B
g
g
F v
x
x
dx
v
g
g





 

 


(2.2)
Показатели степени g
1
> −1 и g
2
> −1 формирующего бета- распределения целесообразно оптимизировать по критерию мини- мума абсолютной невязки распределений (2.1) и (2.2) с помощью метода деформируемого многогранника Нелдера — Мида [23].

53
Начальные приближения параметров g
1
и g
2
в процедуре поиска экстремума удобно рассчитывать методом моментов [22]:
1
min max
1 1
2 2
max min
2
max min
2 1
2 1
1 2
2 1
2 1
;
;
(
)
(
)
(
3)
2 3
6
;
10 12 18 10 12 18
A
A
A
b
A
m
A
m
b
g
g
b A
A
b A
A
b
b








  

   
 
 
   
   
(2.3)
Параметры и расчетные значения статистик формирующего бета-распределения для ЭПР некоторых аэродинамических объек- тов локации представлены в табл. 2.1.
Таблица 2.1

54
Отметим, что характер рассеяния излучения покрытием суще- ственно влияет на моментные функции и распределение ЭПР [19].
Например, переход от гипотетического идеально рассеивающего
(A

0

1) диффузного покрытия истребителя МиГ-17 (с параметрами индикатрисы обратного отражения на длине волны 1,06 мкм
k
B

0,08052, k
D

0,8589, k
R

1,036, n


1,56 [3]) к ярко выраженно- му направленному (k
B

7,1825, k
D

0,8314, k
R

0,03134, n


1,58) приводит к увеличению диапазона изменения ЭПР и ее наибольшего значения более чем в два раза. При этом плотность распределения вероятности (ПРВ) из плоской трансформируется в существенно обостренную и скошенную в область больших значений ЭПР.
В качестве примера на рис. 2.1 представлена формирующая функция v


(u) ЭПР аэрокосмического корабля Space Shuttle.
Трансцендентное уравнение ( )
( )
B
A
F v
F u
 
решалось численными методами с помощью подпрограммы ZEROIN [24]. Абсолютная по- грешность вычисления корня не превышала 0,001.
Расчеты формирующих функций v


(u) для различных по конфигурации объектов локации показали, что поправку {

(u) − u}, характеризующую отклонение распределения ЭПР цели от форми- рующего бета-распределения (2.2), как правило, достаточно точно аппроксимирует отрезок ряда Фурье — Чебышева:
0 1
0
( )
(2 1);
2 { ( )
} (2 1) (2 1) ,
K
k k
k
k
k
u
u
h q
u
h
u
u q
u
w u
du


 








(2.4) где w(t) — весовая функция полинома q
k
(t) [25].
Выбор первого или второго рода ортонормированных полино- мов Чебышева q
k
(t) несущественно влияет на погрешность прибли- жения рядом (2.4) и в определенной степени зависит от конфигу- рации объекта. Так, для самолета СУ-7Б наибольшую точность приближения обеспечивают полиномы Чебышева первого рода
q
k
(t)

T
k
(t) [25, c. 75]. Абсолютная невязка

дискретного прибли- жения (2.1) функции распределения ЭПР объекта СУ-7Б и ее ап- проксимации системой непрерывных распределений для шести–
восьми членов ряда (2.4) во всех случаях не превышает 0,04 (рис. 2.2).

55
Напротив, для вертолета МИ-4 лучшие результаты дают полиномы
Чебышева второго рода q
k
(t)

U
k
(t) [25, c. 104] (


0,07 при K

9; рис. 2.3). Наконец для самолета МиГ-17 и крылатой ракеты ALKM точность приближения существенно не зависит от рода полиномов
Чебышева (


0,05 при K

5…8; см. рис. 2.2 и 2.3).
Коэффициенты ряда Фурье — Чебышева h
k
, k

0, 1, …, K, вы- числялись с помощью адаптивной квадратурной подпрограммы численного интегрирования QUANC8 [24]. Поправки {

(u) − u} в подынтегральном выражении заменялись линейным интерполяци- онным приближением по дискретным точкам, полученным при ре- шении уравнения
( )
( ).
B
A
F v
F u
 
Для полиномов Чебышева первого рода интервал интегрирования в силу разрыва весовой функции на его концах принимался равным
7
| 2 1 |
1 10 .
u


 
Относительная точность интегрирования во всех случаях была не хуже 10
−5
В табл. 2.2 приведены значения коэффициентов разложения (2.4) для объектов локации и параметров расчета из табл. 2.1.
Таблица 2.2
Коэффициенты ряда Фурье — Чебышева
Коэффициент
Объект
ALCM
СУ-7Б
МИ-4
МиГ-17
h
0 1,428
−0,8299
−5,26
−1,086
−2,059
h
1 0,01843
−3,339
−1,888 0,4784 −2,494
h
2
−1,747 1,394 0,3972 0,7761
−1,194
h
3 0,4032 0,8013 0,3048 −0,442 2,308
h
4 0,4057
−0,7592 0,6044 0,00866 2,511
h
5
−0,4642 0,6372 0,405 −0,3016 0
h
6 0
−0,0067 0,2271 −0,1131 0
h
7 0 1,25 0,1279 0 0
h
8 0 0 0,06675 0 0
h
9 0 0 0,04024 0 0

56
Рис. 2.1 (начало). Система распределений ЭПР объекта Space Shuttle

57
Рис. 2.1 (окончание).

58
Рис. 2.2 (начало). Система распределений ЭПР объектов Миг-17 и СУ-7Б

59
Рис. 2.2 (окончание).

60
Рис. 2.3 (начало). Система распределений ЭПР объектов:
1 — ALCM; 2 — Ми-4

61
Рис. 2.3 (окончание).

62
2.2. КОВАРИАЦИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
МНОГОМЕРНОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
При решении многих задач статистической радиофизики и ра- диотехники, теории управления и систем передачи информации возникает необходимость в представлении многомерных плотно- стей вероятностей (ПВ) случайных величин (СВ) в виде, удобном для отыскания аналитических выражений интегральных функций распределения (ФР). Известные способы аппроксимации вероят- ностных законов, как правило, охватывают одномерный и двумер- ный случаи [22, 26] или многомерное нормальное распределение.
Так, в [27] приведено выражение интегральной функции нормаль- ного закона в виде степенного ряда по ковариациям.
Известны также общие методы асимптотических аппроксимаций многомерных распределений. В работе [28] предложены алгоритмы, обобщающие разложение Эджворта в теории возмущений на много- мерный случай. Применение указанных методов в целях аналитиче- ского описания интегральных ФР не всегда оправданно, так как при- водит к неприемлемо большим вычислительным затратам. В работе
[29] получено v-связное приближение N-мерной интегральной функ- ции распределения СВ (N

v

1). Однако его практическое примене- ние требует знания v- и (v

1)-мерных интегральных ФР, нахождение которых в конечном виде при значениях v

2 для подавляющего большинства вероятностных законов оказывается сложным. В данном разделе представлен удобный метод аналитического описания много- мерных плотностей вероятностей СВ и их интегральных ФР [30].
2.2.1. Кумулянтное описание вероятностного
распределения
Полной и вместе с тем удобной формой задания вероятностного распределения системы СВ X
1
, …, X
N
является бесконечный набор их совместных кумулянтов
1 1
, ,
, ,
N
N
X
X
n
n



порядков n
1
+…+ n
N
= 1, 2, … [31].
Кумулянтному описанию распределения соответствует N-мерная характеристическая функция вида
1 1
1 1
,
,
,
,
1 1
1
( ,
,
)
exp
(
)
(
)
!
!
N
N
N
N
X
X
n
n
n
n
N
N
N
n
n
N
u
u
ju
ju
n
n









 




 



(2.5)

63
На практике основной, а иногда и единственной информацией о системе СВ X
1
, …, X
N
, которую удается надежно оценить, являются их одномерные плотности вероятности
1 1
1
( )
X
x

, …,
( )
N
X
N
N
x

и ко- вариационная матрица


(
1),
,
1,1 1, (
1)
n
m
m
n
N
X X
n
N





, характеризующая стати- стические связи первого порядка. Вместе с тем известен широкий класс вероятностных распределений, высшие кумулянты которых достаточно малы. Таким образом, одним из возможных способов приближенной аппроксимации многомерных вероятностных зако- нов является пренебрежение взаимными статистическими связями второго и последующих порядков, т. е. замена истинного распреде- ления модельным распределением второго порядка, у которого совместные кумулянты третьего и последующих порядков равны нулю [31]. Модельное приближение характеристической функции в этом случае найдем из выражения (2.5):
1
(2)
1 1
,
1 1
1
( ,
,
)
( ) exp(
);
,
v
N
N
N
X
N
N
v
n m
n
m
v
n
m
n
u
u
u
U
U
b
u u



 






 

(2.6) где
1
( )
v
X
v
u

— одномерная характеристическая функция СВ X
v
;
,
,
1,1
n
m
X X
n m
b
 
— ковариация СВ X
n
и X
m
Разлагая экспоненту в ряд по степеням U и почленно интегри- руя по формуле обращения (это возможно, так как в силу свойств одномерных характеристических функций (ХФ)
1
( )
v
X
v
u

члены ряда непрерывны, а сам ряд по признаку Абеля сходится равномерно), получим модельное приближение ПВ второго порядка (в смысле
А.Н. Малахова [31]) для системы СВ:
(2)
1
,
1 0
( 1)
( ,
,
)
( ,
,
),
!
k
N
N
N k
N
k
x
x
Q
x
x
k








(2.7)
,
1
( ,
,
)
N k
N
Q
x
x


 
1 1
1 1
( ) exp(
)
2
n
N
X
k
n
n n
N
N
n
u
ju x U du
du











 

(2.8)

64
В частности, при k = 0 из выражения (2.8) по формуле обращения находим приближение многомерной ПВ, не учитывающее стати- стических связей системы СВ:
, 0 1
1 1
( ,
,
)
( ).
n
N
X
N
N
n
n
Q
x
x
x





(2.9)
Члены ряда (2.7) связаны между собой рекуррентным диффе- ренциальным соотношением. Из (2.8) и (2.6) получим
1
,
1 1
,
1 1
1 1
1 1
( ,
,
)
(2 )
( ) exp(
)
v
N
N
N k
N
n m
N
n
m n
N
X
k
n m
v
v v
N
v
Q
x
x
b
u u
u
ju x U du
du



 












 

 


(2.10)
Нетрудно показать, что достаточными условиями возможности дифференцирования по переменным x
n
(n = 1, …, N) под знаком ин- теграла в (2.8) является сходимость интегралов
1 1
0
( )
n
X
k
n
n
n
u
u
du



 

(2.11)
Действительно, из приведенного условия и четности функций
1
( )
n
X
n
u

при s = 0, …, k +1 следует сходимость интегралов
1 1
1 1
1 0
1
( )
2
( )
2
( )
,
v
v
v
X
X
X
s
s
k
v
v
v
v
v
v
v
v
v
u
u du
u
u du
u
u du












которые мажорируют интегралы
1 1
1 1
1 0
0 1
( )
2
( )
2
( )
n
n
n
X
X
X
s
s
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
du
u
u
du
u
u
du











(2.12)
Это с учетом непрерывности подынтегрального выражения в (2.12) влечет за собой равномерную сходимость правой части последнего равенства всюду относительно переменных x
n
и, как следствие, рав-