Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

65 номерную сходимость интегралов в (2.8) и (2.10) всюду относи- тельно x
1
, …, x
N
Кроме того, из равномерной сходимости (2.12) следует непре- рывность одномерных ПВ
1
( )
n
X
n
x

и их производных порядка не выше K + 1 во всей области существования. Другими словами, предполагая в дальнейшем выполненными условия (2.11), будем рассматривать одномерные ПВ, непрерывные вместе со своими производными порядка не выше K и имеющие K-й порядок сопри- косновения с осью абсцисс на концах области существования. В случае конечного K ряд (2.7) будем усекать и рассматривать сумму первых K

1 членов.
Дифференцируя выражение (2.8) по переменным x
n
и x
m
, убеж- даемся, что результат с точностью до множителя (−b
n,m
) совпадает с общим членом суммы (2.10), т. е.


1
,
1
,
1 1
,
1 1
( ,
,
)
( ,
,
)
,
N
N
N k
N
N k
N
n m
n
m
n
m
n
Q
x
x
Q
x
x
b
x x



 

 
 
 


откуда по индукции находим выражение для общего члена ряда (2.7):


1 1
1 1
1 1
1
,
1 1
,
1 1
1 1
1 2
,0 1
( ,
,
)
( 1)
,
,
v
v
k
k
k
k
k
k
N
N
N
N
k
N k
N
n m
n
m n
n
m
n
v
k
N
N
n
m
n
m
Q
x
x
b
Q
x
x
x
x
x
x




 





 



 
 
 
  



(2.13)
Подставив формулу (2.13) в выражение (2.7) и записав резуль- тат в форме степенного ряда по элементам ковариационной матри- цы, с учетом начальной аппроксимации (2.9) окончательно полу- чим ковариационное приближение многомерной ПВ:






(
1),
1, 2 1, 2 1 ,
1,2
(
1),
(2)
1 1,2 1 ,
1 1
1 1
( ,
,
)
!
!
( ) .
N
N
N
N
m
m
m
k
k
N
N
N
N
k
k
N
N
N
k
X
m
k
m
m
b
b
x
x
k
k
d
x
dx



















(2.14)

66
Здесь
1
( )
m
X
m
x

— одномерная интегральная ФР случайной величи- ны
m
X , а индексы суммирования — элементы верхней треугольной матрицы
 
(
1),
,
1, (
1)
m
n
N
n m n
N
k




, принимающие целые неотрицательные значения из области
1 1
,
,
,
1 1
1 1
0
;
N
N
m
N
n m
m
n m
m n
n
m
n
n
n
m
k
K
k
k
k



 

 




 


Выражение (2.14) аппроксимирует многомерную ПВ СВ взве- шенной суммой произведений одномерных плотностей и их произ- водных с весовыми коэффициентами в виде степеней недиагональ- ных элементов ковариационной матрицы.

67 3)
(2)
1
lim
( ,
,
)
0
n
N
N
x
x
x
 



(n = 1, …, N);
4)
 


2 1
,
,
N
N
x
x


и
(2)
1
( ,
,
)
N
N
x
x


— всюду непрерывны по
x
1
, …, x
N
, а также дополнительным свойствам:
5)
(2)
1 1
,
( ,
,
)
n m N
N
N
n m
n
m
x x
x
x dx
dx
b
X
X
 
 
 
 










{n = 1 ,…, (N − 1); m = (n + 1), …, N};
6)
,
(2)
(2)
1 1
1 1
1 1
0
lim
( ,
,
)
( )
( ,
,
,
,
,
),
n
n m
X
N
N
n
N
n
n
N
b
x
x
x
x
x
x
x






 



m = 1, …, N; n

m.
В последнем равенстве значение
n фиксировано. Вместе с тем усечение бесконечного ряда совместных кумулянтов системы СВ
X
1
, …,
X
N
, а также усечение ряда (2.7) конечным числом членов разложения
K может привести к отрицательным значениям модель- ного приближения ПВ, в особенности на ее «хвостах». Кроме того, ряд (2.14) может вести себя нерегулярно в том смысле, что сумма K его членов может давать худшее приближение к истинной ПВ, чем сумма (
K − 1) членов.
Выясним, каким ограничениям должны удовлетворять корре- ляционные связи и одномерные кумулянты случайных величин
X
1
, …,
X
N
, чтобы функция (2.6) была положительно определенной, т.
е. действительно являлась характеристической. Для этого мо- дельное приближение (2.6) представим в виде
( )
(2)
( )
1 1
1 1
1
( ,
,
)
( ,
,
| )
(
),
( ,
,
),
C
n
N
X
G
N
N
N
N
n
n
n
N
u
u
u
u
h
u
h
h
h
h



 







(2.16) где квадратичная форма
( )
2 1
,
1 1
( ,
,
| )
exp
2
N
G
N
N
n n n n
n
u
u
h
h b u
U
















(2.17)

68 по своей структуре совпадает с ХФ N-мерного гауссовского распре- деления с нулевым вектором МО и матрицей ковариации
 
1 1, 1 1, 2 1,
1, 2 2 2, 2 2,
1,
2,
,
N
N
N
N
N N N
h b
b
b
b
h b
b
B h
b
b
h b






 















(2.18)
Функция
( )
2 1
1
,
1
(
)
( ) exp
2
C
n
n
X
X
n
n
n
n n n n
u
h
u
h b u



 




(2.19) получена из ХФ СВ X
n
путем уменьшения ее дисперсии
2 2
,
1 1
( )
( )
n
n
X
X
n n
n
n
n
n
n
n
b
x
x dx
x
x dx
 
 
 
 














на величину h
n
b
n, n
, 0

h
n

1. Из равенства (2.19) непосредственно следует
( )
2 1
1
,
1
( )
(
) exp
,
2
C
n
n
X
X
n
n
n
n n n n
u
u
h
h b u



 





откуда в соответствии со свойствами преобразования Фурье не- трудно получить интегральное уравнение Фредгольма первого рода типа свертки:
 
2 1
1
,
,
1
(
)
(
) exp
( )
2 2
C
n
n
n
n
X
X
n
n
n
n
n n n
n n n
z
x
z
h
dz
x
h b
h b
 
 







 








(2.20) относительно распределения
 
1
(
)
C
n
X
n
n
x h

с фурье-образом
 
1
(
).
C
n
X
n
n
u
h

Иными словами, параметры h
1
, …, h
N
удобно интер- претировать как параметры сужения истинных одномерных плотно-

69 стей
1 1
1
( )
X
x

, …,
1
( )
N
X
N
x

[32]. Таким образом, задача анализа по- ложительной определенности модельного приближения (2.6) сво- дится к поиску значений вектора параметров сужения
1
( ,
,
)
N
h
h
h



, при которых функции (2.17) и (2.19) положительно определены.
Известно, что симметричная матрица т
( )
( ) ( )
( )
B h
U h
h U h






является положительно определенной, если все диагональные эле- менты ( )
n
h


(n = 1, …, N ) матрицы собственных значений
( )
h


положительны [33]. Здесь ( )
U h

— матрица собственных векторов.
В этом случае матрица
( )
B h

является ковариационной, а функция
(2.17) представляет собой ХФ системы гауссовских СВ
( )
( )
1
,
,
G
G
N
X
X

[34].
Однако если h
n
= 0, то функция (2.19) тождественно совпадает с истинной ХФ
1
( )
n
X
n
u

. Геометрически это означает, что в бесконеч- номерном пространстве кумулянтных коэффициентов точка, отоб- ражающая вероятностное распределение
1
( )
n
X
n
x

, находится внутри подпространства — так называемого P-множества, точкам которого отвечает положительная определенность ХФ [31]. По мере увеличе- ния параметра сужения h
n
дисперсия (1 − h
n
)h
n,т
некоторой СВ
( )
C
n
X
будет уменьшаться, а кумулянтные коэффициенты




,
/2
,
( )
(
3, 4, )
1
n
X
s
n s
n
s
n
n n
h
s
h b






расти. Точка, отображающая функцию
( )
1
(
)
C
n
X
n
n
u
h

, будет удалять- ся от начала координат бесконечномерного пространства кумулянт- ных коэффициентов и приближаться к границе P-множества.
С практической точки зрения поиск области допустимых зна- чений параметров сужения одномерных плотностей
1 1
1
( )
X
x

, …,
1
( )
N
X
N
x

, при которых функции (2.17) и (2.19) положительно опре-

70 делены, рационально выполнять на сетке
N-мерного пространства
1
( ,
,
)
N
N
h
h

 с помощью численного анализа собственных зна- чений ( )
n
h


(
n = 1, …, N) матрицы
( )
B h

и решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода методами регуляризации
А.Н. Тихонова [35, с. 267].
2.2.3. Смесь одномерных распределений с многомерным
гауссовским ядром
В соответствии со свойствами преобразования Фурье ковариа- ционному приближению (2.16) истинной ХФ ( )
N
u


отвечает мо- дель
P-смеси [36, с. 187]


( )
(2)
( )
т
1 1
1
( )
(
)
,
( ,
,
) ,
C
n
N
X
G
N
N
n
n
N
n
x
z x h
z
h dz
z
z
z
 
 

 
 








 







одномерных распределений
( )
1
(
)
C
n
X
n
n
x h

(
n = 1, …, N) с многомер- ным гауссовским ядром
 


т
1
( )
exp
( ) 2
(2 ) det
( )
G
N
N
x B
h x
x h
B h















С этой точки зрения исходную систему СВ пытаются аппрок- симировать суммой двух структурных составляющих:
( )
( )
G
C
X
X
X





Здесь
( )
( )
( ) т
1
(
,
,
)
G
G
G
N
X
X
X



— гауссовская сово- купность с нулевым вектором МО и ковариационной матрицей
( )
B h

;
( )
( )
( ) т
1
(
,
,
)
C
C
C
N
X
X
X



— случайный вектор со статистиче- ски независимыми компонентами, каждая из которых может иметь негауссовскую ПВ
( )
1
(
)
C
n
X
n
n
x h

(
n = 1, …, N). Такое представление удобно, например, для цифрового моделирования случайного век- тора с заданными негауссовскими одномерными законами распре- деления и ковариационными связями его компонентов.

71
В конечном итоге решение задачи аппроксимации случайного вектора
X

суммой гауссовской
( )
G
X

и негауссовской
( )
C
X

состав- ляющих рационально свести к двум вычислительным этапам. На первом этапе анализируют собственные значения
( )
n
h


(
n = 1, …, N) матрицы ( )
B h

на сетке
N-мерного единичного куба в пространстве параметров сужения 0

h
1
, …,
h
N

1. Результатом этого численного анализа является дискриминантная гиперповерх- ность
1
det
( )
( )
0
N
n
n
B h
h


 







(назовем ее

-границей), точкам которой отвечает положительная полуопределенность матрицы
( )
B h

. Иными словами,

-граница указывает минимально возмож- ные значения параметров сужения
(min)
(min)
min
1
(
,
,
)
N
h
h
h



, при ко- торых все собственные значения матрицы
( )
B h

неотрицательны: min
(
)
0
n
h



(
n = 1, …, N), и хотя бы одно из них является бесконеч- но малой величиной.
Практический интерес представляет область значений парамет- ров сужения (назовем ее
H-множеством), обеспечивающих положи- тельную определенность матрицы ( )
B h

. Ясно, что эта область со- держит вершину куба
h
1
=…=
h
N
= 1 и в окрестности ее

-границы матрица ( )
B h

имеет неполный ранг, в лучшем случае (
N − 1). Вы- числительные затраты первого этапа в некоторых случаях можно существенно сократить, если анализировать часть
H-множества в виде усеченного гиперкуба h
min

h
n

1 (
n = 1, …, N). Здесь наименьшее значение параметров сужения
(min)
(min)
1
min
N
h
h
h
 

выбирают из условия


min{

1
(
h
min
), …,

N
(
h
min
)} > 0, где

—
заданный пользователем уровень значимости наименьшего соб- ственного значения матрицы min
(
)
B h

На втором этапе решают интегральные уравнения (2.20) для выбранных значений параметров сужения
h
1
, …,
h
N
из
H-множества.
Очевидно, что по мере удаления от

-границы этого множества и приближения к вершине куба
h
1
=…=
h
N
= 1 обусловленность кова-

72 риационной матрицы
( )
B h

улучшается. Однако увеличение пара- метра сужения
h
n
приводит к уменьшению дисперсии (1 −
h
n
)
b
n, n
СВ
( )
C
n
X
, что, в свою очередь, может приводить к появлению отрица- тельных выбросов на «хвостах» решения
( )
1
(
)
C
n
X
n
n
x h

уравнения
(2.20). В такой ситуации рациональным является применение прин- ципа реализуемости, содержание которого состоит в следующем.
В качестве тестовых параметров сужения исходных одномер- ных ПВ выбирают значения из центральной области H-множества, например h
n
= (
h
min
+ 1)

2 (
n = 1, …, N ). Простой и, как правило, эффективный в вычислительном отношении алгоритм решения уравнения (2.20) основан на методе обращения свертки [37, с. 134].
Метод состоит в замене интеграла (2.20) его квадратурным при- ближением:




( )
1 1
0 2
,
,
(
)
(
)
(
);
(
)
1
exp
(
0,
,
).
2 2
n
C
n
n
M
X
X
nm
n
n
n
nk
m
n
n
n
n
n n n
n n n
x
h g k m x
h
x
k x
g k x
h
k
M
h b
h b




 








 








Здесь M
n
и


(max)
(min)
n
n
n
n
x
x
x
M



— количество интервалов дис- кретизации и их величина для ПВ
1
( )
n
X
n
x

, заданной в диапазоне
(min)
(max)
n
n
n
x
x
x


набором значений
1
(
)
n
X
nk
nk
x
  
, для дискретных отсчетов
(min)
nk
n
n
x
x
k x

  . Полученную систему линейных урав- нений относительно неизвестных значений
( )
( )
1
(
)
C
n
X
C
nk
nk
n
x
h

 
(k = 0, …, M
n
) модифицированного распределения
( )
1
(
)
C
n
X
n
n
x h

удобно представить в матричной форме:
( )
( )
( )
( )
т т
1 1
,
(
,
,
) ,
(
,
,
) ,
n
n
C
C
C
C
n
n
n
n
n
n
n
nM
nM
G

 
  

  







где
 
( )
,
n
n
k m
G
g

(k, m = 0, 1, …, M
n
) — симметричная матрица Грина размером (M
n
+ 1) × (M
n
+ 1). В соответствии с теоремой Мичелли