Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

73 гауссовские веса


( )
,
(
)
n
k m
n
n
g
g k m x h



обеспечивают несингу- лярность матрицы G, т. е. ее обратимость.
В дальнейшем для сокращения записи там, где это не вызвано необходимостью, индекс n одномерного распределения будем опус- кать. Регуляризованная система линейных уравнений имеет вид
( )
1
,
,
C
M
F
F
G
I


 

 


где I
M + 1
— единичная матрица размером (M

1)

(M

1);



— параметр регуляризации, значение которого выбирают методом скользящей проверки. Численное решение полученной системы уравнений находят, например, с помощью итерационного алгорит- ма Гаусса — Зейделя [37, с. 138]:
 
 
 
 
 
( )
( )
( )
1 1 ,
1 1 (
1, 2, )
C
C
C
i
i
E i
E i
F
i
i

 
  

    









и ограничений типа неравенств
( )
( )
1 0,
,
0,
C
C
M





где i — номер итерации; 1



2 — параметр скорости сходимости алгоритма. Вычисления продолжают, если выполняются критерии наибольшего числа итераций i

I
max и заметного изменения СКО:
2
[
1]
[ ]
[ ],
[ ]
[ ]
,
e i
e i
e i
e i
E i
 
 


где

> 0 — заданный пользователем уровень значимости.
В соответствии с принципом реализуемости в качестве началь- ного приближения
( )
[0]
C


модифицированного распределения есте- ственно выбрать результат масштабирования исходной ПВ


, т.
е.
 
( )
1
(min)
(max)
1
(min)
(min)
(max)
(max)
,
;
(
)
0,
n
C
n
X
nk
n
nk
n
X
n
nk
n
n
nk
n
n
nk
n
x
y
y
y
y
h
x
y
y
y
y
x






 







(2.21)

74
Здесь y
nk
=

n
+

n
(x
nk
−

n
) (k = 0, …, M
n
) — сетка дискретизации модифицированной ПВ, заданной в диапазоне
(min)
(max)
n
n
n
y
y
y


, где
(min)
(min)
(max)
(max)
(
);
(
).
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x
   
 
   
 
Опыт цифрового моделирования показал, что характеристики положения

n
и масштаба

n
в преобразовании (2.21) целесообразно согласовывать с соответствующими робастными статистиками ис- ходной ПВ. Например, в случае унимодального распределения
1
( )
n
X
n
x

рациональным является выбор


1
max
( )
( );
1
( ).
n
X
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
a h
h
d h
 


 


Параметры подгонки a
n
(h
n
) и d
n
(h
n
) оптимизируют по критерию ми- нимума СКО
 
2
( )
opt
,
( , )
arg min
0
C
a d
a d
F

  


Метод обращения свертки хорошо согласуется с выборочной оценкой распределения
1
( )
n
X
n
x

в виде гистограммы, сглаженной сдвигом (Average Shifted Histogram — ASH) [38]:


1 1
1
(min)
(max)
(min)
1
(
)
( )
;
(
0,
,
);
n
n
n
m
X
nk
k m
n m
m
nk
n
n
n
n
n
n
n
x
w m
K
x
x
k x
k
M
x
x
M
x


 





 
 




Здесь K — объем выборки;
3 2
n
n
IQ
K
 
— робастная оценка ши- рины разрядных интервалов (bins) Фридмана — Дьякониса [38];
IQ
n
— интерквартильный диапазон n-й СВ;
x
n
=

n

m
n
и m
n
—
ширина суженных интервалов (narrow bins) и их количество;
k
 —
количество наблюдений, попавших в k-й суженный интервал

75
(
0
k
  , если k < 0 или k

M
n
). Окно данных w(m) выбирают из условия
1 1
( )
n
n
m
n
m
m
w m
m

 


В этом случае гистограмма интегрируема с единицей. Такой нормировке удовлетворяет обобщенное окно вида




1 1
Ker
( )
,
Ker
n
n
n
n
m
n
i
m
m
m m
w m
i m

 


где Ker
(u) — положительная четная функция ядра, заданная на стандартном интервале [−1; 1] и интегрируемая с единицей. Попу- лярные модели ядерных функций приведены в [38, с. 140].
В качестве ядра рационально выбрать атомарную функцию
up(t) Кравченко — Рвачева [39,
40] или ее обобщение

n
(t)
(n

1, 2, …). Уникальность атомарных функций состоит в том, что они финитны (имеют конечный носитель [−1, 1]) и вместе с тем дифференцируемы бесконечное число раз. Иными словами,
ASH-оценка плотности распределения вероятности также беско- нечно дифференцируема и имеет бесконечный порядок соприкос- новения с осью абсцисс на своих «хвостах».

76 распределения будем рассматривать эллипсоидально симметричное распределение из параметрического семейства т
1 1
1
(
)
( )
,
det
N
N
f X R X
X
S
R








где
1
(2
)/ ( /2)
N
S
N



— площадь поверхности единичной сферы в

N
; f
(
y
2
) — одномерное, монотонно убывающее при y


рас- пределение с конечным (N − 1)-м моментом
1 2
1 0
( )
N
N
f
d









;
R

{r
n, m
} — матрица коэффициентов корреляции размером N

N.
Погрешности ковариационного приближения будем оценивать по критерию абсолютной ошибки, нормированной на значение истин- ной ПВ в точке МО:
(2)
( | ) 0
max
( )
( )
( | )
,
(0,
, 0)
N
N
F X d
N
X
X
D d K



 






где значение погрешности берется с положительным знаком, если
(2)
( )
( ),
N
N
X
X

 


и с отрицательным в противном случае. Результа- ты численного анализа представляют собой параметрическое се- мейство функции D
(d
|
K), рассчитанной по множеству точек на по- верхностях гиперэллипсоидов равной плотности: т
1
( 1)
0 0
1 1
( | )
(
)
0;
(0,
, 0) det .
N
N
F X d
X R X
f
dJ
J
S
R






  




Здесь f
(−1)
(dJ
0
) — функция, обратная к радиальному распределению.
Уровни истинной плотности рационально задавать в долях от ее значения в точке математического ожидания d

N
(0, …, 0). Это обеспечивает инвариантный анализ пространства для различных значений коэффициентов корреляции и одинаковые масштабы по осям d и D.

77
Рассмотрим специальную задачу вычисления интеграла по
N-мерному параллелепипеду X
n

x
n
(n = 1, …, N ), важную в прило- жении к оценкам характеристик выбросов случайных процессов
[29, 41−44]. Интегрирование выражения (2.14) приводит к оценке многомерного интеграла вероятностей
(
1),
1, 2
(
1),
1, 2
(
1),
1 1
(2)
1 1,2 1
1,2
(
1),
(
,
,
)
( ,
,
)
( ),
!
!
N
N
N
N
m
m
N
N
N
N
N
N
k
k
N
X
m
k
k
k
m
N
N
P X
x
X
x
P
x
x
b
b
G
x
k
k










 

 








(2.22) где


1 1
1 1
1
( ),
0;
( )
( ) ,
0.
m
m
m
m
m
m
X
m
m
X
k
k
m
X
m
m
k
m
x
k
G
x
d
x
k
dx


  


 





Если одномерная плотность распределения

1
(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона и таким образом является весовой функцией соответствующей системы классических ортого- нальных полиномов P
k
(x) (k = 1, 2, …), то ее производные удобно вычислять с помощью обобщенной формулы Родрига [45]:


1 1
1 1
1 1
1
( )
( )
( )
( ) (
1, 2, ).
k
k
k
k
k
d
x q
x
c P
x
x
k
dx










Здесь c
k
— функциональный ряд; q(x) — многочлен не выше второй степени [45, с. 591].
Из приведенной формулы непосредственно следует
1 1 1
1 1
1
{ ( )}
( )
{ ( )}
( ) ( );
( )
,
( )
d q x
c P x
d
x
dx
x W x
W x
dx
q x


 


78 что по закону индукции дает
1 1
1 1
1
{ ( )}
( )
( ) (
2, 3, ).
k
k
k
d
x
x W
x
k
dx




 

 (2.23)
Раскрывая левую часть формулы Родрига по теореме Лейбница и подставляя в полученный результат равенство (2.23), получим ре- куррентное соотношение для вычисления функций W
k − 1
(x)
(k = 2, 3, …):


0 1
1 1
1 1
1 1
1
( ) 1;
1
(
1) !
( )
( )
( )
( ) .
( )
(
1) ! !
k
j
k
k
k
k
k j
k
j
j
W x
k
d
W
x
c P
x
W
x
q
x
q
x
k
j
j
dx





 












 



В случае гауссовского распределения выражение для производ- ных одномерных плотностей значительно упрощается:


1 1
1 1
1 1
,
,
1
( )
( ) (
1, 2, ).
n
n
k
k
X
X
n
n
n
k
n
k
n
n n
n n
x
a
d
x
H
x
k
dx
b
b














 











Здесь a
n


X
n

— математическое ожидание случайной величины
X
n
, а H
k
(x) — полином Чебышева — Эрмита степени k:
0 1
1 1
( ) 1;
( )
;
( )
( )
( ) (
1, 2, ).
k
k
k
H x
H x
x H
x
xH x
kH
x
k








В частном случае
2 1
2 1
exp(
/ 2)
0;
( )
(
1, ...,
)
2
n
X
N
x
x
x
x
x
n
N









оценка (2.22) тождественно совпадает с полученной ранее Кендал- лом [27] оценкой нормального многомерного интеграла.
Численный анализ сходимости рядов (2.14) и (2.22) проводился для трехмерного гауссовского распределения и значений коэффи- циентов корреляции r
1, 2

r
2, 3

−0,4…0,8 и r
1, 3

−0,6…0,6 с ша- гом 0,2 для всех возможных комбинаций, при которых обобщенная

79 дисперсия нормальной плотности положительна. В качестве истин- ных значений нормального тройного интеграла применялись значе- ния P
3
(x, x, x), табулированные в [29]. Типичные результаты вычис- лений приведены в табл. 2.3 и 2.4 и на рис. 2.4−2.9.
Таблица 2.3
Корреляционное приближение интеграла P
3
(x, x, x):
слабая корреляция (r
1,
2
= r
2,
3
= 0,4; r
1,
3
= 0,2)
x
K
0 1
2 3
4 5
P
3
(x, x, x)
0,2 0,074 0,139 0,143 0,143 0,144 0,144 0,144 0,4 0,041 0,088 0,095 0,094 0,096 0,095 0,095 0,6 0,021 0,051 0,060 0,059 0,060 0,060 0,060 0,8 0,010 0,027 0,036 0,035 0,036 0,036 0,035 1,0 0,004 0,013 0,019 0,020 0,020 0,020 0,020 1,2 0,002 0,006 0,010 0,010 0,011 0,011 0,011 1,4 0,001 0,002 0,004 0,005 0,005 0,005 0,005 1,6 0 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002
Таблица 2.4
Корреляционное приближение интеграла P
3
(x, x, x):
сильная корреляция (r
1,
2
= r
2,
3
= 0,8; r
1,
3
= 0,6)
x
K
0 1 2 3
4 5
P
3
(x, x, x)
0,2 0,074 0,216 0,237 0,236 0,252 0,242 0,251 0,4 0,041 0,144 0,182 0,169 0,197 0,184 0,188 0,6 0,021 0,088 0,132 0,118 0,149 0,146 0,136 0,8 0,010 0,049 0,089 0,082 0,106 0,113 0,094 1,0 0,004 0,024 0,055 0,056 0,069 0,079 0,063 1,2 0,002 0,011 0,030 0,036 0,042 0,046 0,04 1,4 0,001 0,005 0,015 0,021 0,024 0,024 0,025 1,6 0 0,002 0,007 0,011 0,013 0,011 0,015 1,8 0 0,001 0,003 0,005 0,007 0,006 0,008

80
Рис. 2.4. Относительная погрешность приближения нормальной ПВ в случае слабой корреляции r
1, 2
= r
2, 3
= 0,4; r
1, 3
= 0,2:
1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5
Рис. 2.5. Зависимость интеграла вероятностей P(x, x, x) от порогового зна- чения x в случае слабой корреляции r
1, 2
= r
2, 3
= 0,4; r
1, 3
= 0,2:
1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5; 4 — P(x, x, x)

81
Рис. 2.6. Относительная погрешность приближения нормальной ПВ в случае сильной корреляции r
1, 2
= r
2, 3
= 0,8; r
1, 3
= 0,6:
1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5
Рис. 2.7. Зависимость интеграла вероятностей P(x, x, x) от порогового зна- чения x в случае сильной корреляции r
1, 2
= r
2, 3
= 0,8; r
1, 3
= 0,6:
1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5; 4 — P(x, x, x)

82
Рис. 2.8. Относительная погрешность приближения нормальной ПВ в случае отрицательной корреляции r
1, 2
= r
2, 3
= 0,2; r
1, 3
= −0,6:
1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5
Рис. 2.9. Зависимость интеграла вероятностей P(x, x, x) от порогового зна- чения x в случае отрицательной корреляции r
1, 2
= r
2, 3
= 0,2; r
1, 3
= −0,6:
1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5

83
Численные эксперименты показали, что усечение ряда (2.14) конечным числом членов до K

5 не приводит к появлению отри- цательных значений ковариационного приближения трехмерной ПВ внутри эллипсоида равной плотности по уровню d

0,1 (графики функции D(d

K) не опускаются ниже биссектрисы четвертого квад- ранта).
В случае слабой корреляции (|
r
n, m
|)

0,5 ряды (2.14) и (2.22) ведут себя регулярно и уже при K

2 дают приемлемо точные при- ближения к истинным значениям (см. рис. 2.5). Для плотности рас- пределения

D
(d

K)


0,15, а наибольшее относительное отклоне- ние от истинного значения нормального тройного интеграла
(2)
3 3
( , , )
( | )
max
1 0, 2.
( , , )
x
P
x x x
x K
P x x x




В случае сильной корреляции ряды (2.14) и (2.22) ведут себя нерегулярно (см. рис. 2.6). Для 0,2

x

0,8 ряд (2.22) дает точность приближения к P
3
(x, x, x) не хуже

(x

K
)

0,25 при K = 2, а для
x > 0,8 при K = 3.
Дальнейшее увеличение числа членов разложения до K = 4, 5 не приводит к существенному увеличению точности ковариационного приближения нормального тройного интеграла в указанном диапа- зоне изменения аргумента x. Во всех случаях наблюдается смеще- ние ковариационной оценки многомерной ПВ в сторону увеличения ее масштаба.
2.3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ ОБОБЩЕННЫХ
АМПЛИТУДЫ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ
ИМПУЛЬСНОЙ ЭПР ЦЕЛИ
Обобщенные интегральные параметры временного профиля импульсной ЭПР представляют собой детерминированные функции случайных аргументов (

,

) и поэтому также являются случайны- ми величинами. Их собственные и смешанные начальные моменты,