Файл: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей.pdf

84 с учетом правила статистического усреднения функций, удобно рассчитывать по формуле
2 2
2 0
2
( , )
( , )
( , )
( , ) ( , )
,
S
S
n
m
n
m
t
n
m
t
a
A
a
A
d
a
A
W
d





  
  


 
 
  


(2.24) где n = 0, 1, 2, …; m = 0, 1, 2, …, а угловые скобки

…

означают статистическое усреднение. Здесь и далее (с целью сокращения за- писи) не приводим выражения для начальных моментов других ста- тистик обобщенной длительности, предполагая по умолчанию, что эти выражения аналогичны.
В практических приложениях интерес представляют одномер- ные распределения и их кумулянты, а также ковариационная мат- рица интегральных параметров импульсной ЭПР объекта. Матема- тические ожидания m
a
(t
S
), m

(t
S
), СКО

a
(t
S
),


(t
S
), коэффициенты асимметрии

3a
(t
S
),

3

(t
S
) и эксцесса

4a
(t
S
),

4

(t
S
) оценивают по фор- мулам, представленным в работе [20]. Коэффициент корреляции обобщенной амплитуды импульсной ЭПР и ее значения при стаци- онарном облучении объекта оценивают по формуле


( )
{ ( )
}
aA S
a S
A
a A
a
A
t
t






 
В соответствии с приведенными выше формулами и методикой, изложенной в работах [20, 46], рассчитывали статистические харак- теристики параметров импульсной ЭПР аэрокосмического корабля
Space Shuttle со штатным ТЗП при его равновероятной ориентации относительно направления наблюдения-облучения. Для оценки ку- мулянтов с относительной погрешностью интегрирования не хуже
5 % потребовалось сформировать адаптивную сетку по углам

и

, содержащую 450…900 значений соответствующих параметров им- пульсной ЭПР объекта в зависимости от длительности зондирую- щего импульса. Результаты расчета кумулянтов сведены в табл. 2.5 и 2.6.
Полученные данные хорошо согласуются с экспоненциальной регрессионной зависимостью (1.10) обобщенной амплитуды им- пульсной ЭПР корабля от длительности зондирующего импульса.

85
Таблица 2.5
Статистики обобщенной амплитуды импульсной ЭПР
Статистика
t
s
, нс
5 10 20 50 100 200

m
a
, м
2 7,05 10,71 16,13 28,04 39,04 48,22 77,09

a
, м
2 9,85 13,33 16,68 23,24 28,95 32,2 46,75

3a
2,27 1,99 1,44 0,81 0,74 0,7 0,62

4a
4,11 3,17 1,18 –0,6 –0,29 –0,03 –0,068

aA
0,62 0,69 0,77 0,89 0,96 0,99 1,00
a
min
, м
2 0,2 0,28 0,41 0,81 1,34 1,99 5,46
a
max
, м
2 40,79 54,53 65,12 85,49 119,33 137,21 210,55
g
a1
–0,4 –0,33 –0,48 –0,1 0,12 0,5 0,74
g
a2 2,53 2,25 0,87 1,17 1,67 2,2 2,59
Таблица 2.6
Статистики обобщенной длительности импульсной ЭПР
Статистика
t
s
, нс
5 10 20 50 100 200
m

, м
2 55,88 70,1 82,71 101,6 129,87 192,2


, м
2 27,08 35,52 41,36 43,88 43,22 42,64

3

–0,29 –0,06 0,17 0,25 0,07 –1,4

4

–0,77 –0,8 –0,61 –0,35 0,82 7,87


A
–0,27 –0,34 –0,4 –0,41 –0,4 –0,28

min
, м
2 7,7 10,62 17,84 41,07 81,19 160,61

max
, м
2 115,07 157,5 193,51 217 262,29 326,3
g

1 1,28 1,31 0,98 0,8 — —
g

2 1,73 2,26 2,32 2,1 — —

86
Для границ распределения параметра a
min
(t
S
) и a
max
(t
S
), а также его кумулянтов
m
a
(t
S
),

a
(t
S
),

aA
(t
S
), и
1 3 3
( )
( )
a
S
a
S
t
t


,
1 4 4
( ){
( ) 3}
a
S
a S
t
t



расчетные точки в соответствующих логарифмических масштабах




min max
0
min
0
max
1
( )
1
( )
ln
;
ln
,
( )
( )
S
S
S
S
a
t
a
t
a t A
a t A
















а также




0 0
1
( )
1
( )
ln
;
ln
;
ln 1
( )
( )
( )
a S
a
S
aA S
S
A
S
A
m t
t
t
a t m
a t

 







 









и




1 4 1 3 3
4 1 4 1 3 0
3 0
4
( )
( )
( )
( ) 3
ln 1
;
ln 1
( )
( )
3
a S
a
S
a
S
a
S
S
A
A
S
A
a
t
t
t
t
a t
t

















 



  






хорошо ложатся на прямые (рис. 2.10, 2.11).
Иными словами, с приемлемой для практики точностью при
t
S
> 5 нс имеют место следующие эмпирические нелинейные ре- грессионные зависимости [46]:










(min)
(min)
min min 0 0
1
(max)
(max)
max max 0 0
1 0
0 1
0 0
1 3
30 31 3
3 3
3 0
3
( )
( ) 1 exp(
) ;
( )
( ) 1 exp(
) ;
( )
( ) 1 exp(
) ;
( )
( ) 1 exp(
) ;
1 exp(
)
( )
( )
;
( )
S
S
S
S
S
S
a
S
A
S
S
a
S
A
S
S
S
a
S
A
A
S
a S
a
t
A a t
a
a
t
a
t
A a t
a
a
t
m t
m a t
m
m t
t
a t
t
t
t
a t
t













 

  

  

  






4 40 41 4
4 4
4 0
4 0
1 1 exp(
)
( )
3 3
( )
;
( )
( ) 1 exp(
).
S
a
S
A
A
S
a S
aA S
S
t
t
a t
t
t
t

  
   
 


 
  
(2.25)

87

88
Оптимальные значения параметров, рассчитанные методом наименьших квадратов по данным табл. 2.5:
(min)
(min)
(max)
(max)
0 1
0 1
0,049;
0,003;
0,331;
0,011;
a
a
a
a




0 1
0,146;
0,0102;
m
m


0 1
0,337;
0,0173;
 
 
0 1
1,086;
0,019;
 
 
30 31 40 41 0,617;
0,018;
0,42;
0,016.
 
 
 
 
Кусочно-линейная интерполяционная оценка ФР, полученная на основе гистограммы интегрального параметра импульсной ЭПР, имеет вид
1 1
1 1
1 1
( )
( | ,
);
0,
;
(
)
( | ,
)
,
;
(
)
1,
,
M
a
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
F x
P x a a
x
a
x a
x a a
a
x
a
a
a
x
a















 







(2.26) где P
i
— вероятность попадания значения параметра в i-й сфериче- ский слой его пространственной диаграммы ( , )
S
t
a
  или ( , )
S
t
   .
На рис. 2.12 представлены приближения, аналогичные кусочно- линейной оценке (2.26), ФР 
( | )
a
S
F u t нормированной обобщенной амплитуды импульсной ЭПР корабля Space Shuttle




min max min
( , )
( )
( )
( )
S
t
S
S
S
a
a
t
a
t
a
t
  

для длительностей зондирующего импульса t
S
= 10; 50 и 200 нс со- ответственно.

89
Разрядные вероятности P
i
вычислялись в соответствии с выра- жением, представленным в работах [20, 46]. Границы областей ин- тегрирования D
i
уточнялись с помощью квадратичной интерполя- ции пространственных диаграмм обобщенной амплитуды по их значениям в узлах сетки по углам

и

. С целью сокращения вы- числительных затрат повторно применяли сетку, сформированную алгоритмом адаптивного интегрирования выражения (2.24). Интер- поляция выполнялась в соответствии с кубатурной формулой
Симпсона, представленной в работах [20, 46]. Это позволило задать до сорока разрядных интервалов (M = 40) и обеспечить приемлемую точность кусочно-линейных интерполяционных оценок (2.26).
Дискретные приближения ФР обобщенной амплитуды импульс- ной ЭПР корабля, отвечающие различным длительностям зондиру- ющего импульса t
S
, хорошо аппроксимируются системой непре- рывных распределений


( )
( ) |
a
B
S
F
u t

. Показатели степени g
a1
(t
S
) и
g
a2
(t
S
) формирующего бета-распределения (2.2) рассчитывали мето- дом моментов в соответствии с выражениями (2.3). Отметим, что этап оптимизации значений g
a1
(t
S
) и g
a2
(t
S
) намеренно исключали из процедуры идентификации параметров формирующего бета- распределения
( )
( | )
a
B
S
F
u t . Это упрощение существенно не увели- чило абсолютную невязку
( )
( | )
( | )
a
a
S
B
S
F u t
F
u t

и, в то же время, позволило получить регрессионную зависимость системы непре- рывных распределений


( )
( ) |
a
B
S
F
u t

от длительности зондирую- щего импульса t
S
. Значения параметров g
a1
(t
S
) и g
a2
(t
S
) для объекта
Space Shuttle приведены в табл. 2.5. На рис. 2.11 представлены ин- терполяционные приближения формирующей функции v =

(u)
ЭПР корабля для t
S
= 10; 50 и 200 нс, а в табл. 2.7 — соответствую- щие им значения коэффициентов ряда (2.4) по ортонормированным полиномам Фурье — Чебышева второго рода, аппроксимирующие поправку {

(u) − u}. Во всех случаях абсолютная невязка


( )
( | )
( ) |
a
a
S
B
S
F u t
F
u t



распределений для 5–11 членов ряда (2.4) не превышала 0,005.

90
Рис. 2.12 (начало). Система распределений обобщенной амплитуды импульсной ЭПР Space Shuttle:
1 — 10 нс; 2 — 50 нс; 3 — 200 нс

91
Рис. 2.12 (окончание).

92
Таблица 2.7
Коэффициенты ряда Фурье — Чебышева
для обобщенной амплитуды корабля Space Shuttle
Коэффициент
t
s
, нс
5 10 20 50 100 200
h
0
–0,825 –0,159 2,948 –1,551 –2,611 –4,27
h
1
–1,085 –0,689 2,686 –1,687 –2,777 –5,319
h
2
–0,937 –0,89 –1,031 –0,599 –1,177 –1,592
h
3
–0,431 –0,812 –1,778 0,462
—
—
h
4
–0,099 –0,387 –0,905 0,22
—
—
h
5 0,026 0,493 0,438 —
—
—
h
6
–0,283 0,248 0,493 —
—
—
h
7
–0,229 0,145 –0,468 —
—
—
h
8
— 0,422 0,056 — — —
h
9
— 0,073 0,343 — — —
h
10
—
–0,108
— — — —
Анализ расчетных данных обнаруживает слабую зависимость формирующей функции от длительности зондирующего импульса
(рис. 2.13). Указанное обстоятельство позволяет предложить в каче- стве интегральной модели реального времени импульсной ЭПР объ- екта локации ковариационное приближение двумерной функции рас- пределения [30] обобщенной амплитуды импульсной ЭПР ( , )
S
t
a
  и ее значения для стационарных условий облучения цели A(

,

):




(2)
2
( )
( )
0
( ,
| )
( )
( ) |
( ) ,
!
S
n
N
n
n
aA S
a
A
B
a
S
B
A
n
n
n
F
a A t
t
d
d
F
u
t
F
u
n
da
dA




 





 


 


(2.27) где




min max min
( )
( )
( )
S
a
S
S
a a
t
u
a
t
a
t



и




min max min
A
A A
u
A
A



— соответствующие нормированные значения.

93
Рис. 2.13. Формирующие функции системы распределений обобщен- ной амплитуды импульсной ЭПР Space Shuttle для различных длительностей зондирующего импульса:
1 — 10 нс; 2 — 50 нс; 3 — 200 нс; 4 — стационарное облучение
Подчеркнем, что запись
( )
( | )
a
B
S
F
u t акцентирует зависимость формирующего бета-распределения обобщенной амплитуды им- пульсной ЭПР объекта от длительности зондирующего импульса t
S
через зависимости соответствующих параметров a
min
(t
S
), a
max
(t
S
),
g
a1
(t
S
), g
a2
(t
S
) и, в конечном итоге, через регрессионные зависимости
(2.25). Отметим также, что ковариационное приближение (2.27) хо- рошо согласуется с системой двумерных распределений, предло- женной Бекманом (Beckmann) [26]. В частности, из приведенной в работе [26] теоремы следует, что в силу положительной коррелиро- ванности

aA
(t
S
) > 0 анализируемых отражательных характеристик приближение (2.27) удовлетворяет всем свойствам вероятностных распределений, в том числе неотрицательно в области определения

94
a
min
(t
S
)
 a  a
max
(t
S
) и A
min
 A  A
max
. Формулы для вычисления про- изводных распределений


( )
( ) |
a
B
a
S
F
u
t

и


( )
( )
A
B
A
F
u

приведены в приложении.
Из выражений (2.27) и (П.5) непосредственно следует ковариа- ционное приближение условной плотности вероятности обобщен- ной амплитуды импульсной ЭПР при ее фиксированном значении для стационарных условий облучения объекта:








2 1
(2)
( )
(2)
1 2
( )
1 1
0
( | , )
2 2 ( ) 1
,
|
( )
2 2 ( ) 1 |
( )
( ).
!
A
S
B
A
S
n
N
aA S
a
B
a
S
n
a
n
A
n
d
f
a t A
f
u
F
a A t
da dA
t
f
u
t
C
u C
u
n













(2.28)
Полученные оценки позволяют реализовать эффективную в вы- числительном отношении пошаговую процедуру статистического моделирования обобщенных интегральных параметров импульсной
ЭПР цели.
Шаг 1.
Статистическое моделирование ЭПР объекта.
1
min max min
(
) ,
( ) ,
A
A
A
A
A
A
A
u
u
v




 
где

−1
(v) — функция обратная формирующей функции v =

(u);
v
A
— реализация непрерывной случайной величины из генеральной совокупности, характеризуемой бета-распределением (2.2) с пара- метрами g
A1
и g
A2
. Экономичные алгоритмы моделирования бета- распределения представлены в [47].
Шаг 2.
Статистическое моделирование обобщенной амплитуды импульсной ЭПР объекта. Для больших длительностей зондирую- щего импульса t
S
, обеспечивающих сильную корреляцию отража- тельных характеристик

aA
(t
S
)
 0,8, естественно воспользоваться линейной регрессионной зависимостью
( ) ( )(
)
( )
( )
aA S
a S
A
S
a
S
A
t
t
A m
a t
m t






В противном случае двумерное распределение отражательных ха- рактеристик (2.27) не вырождено и ковариационный ряд (2.28) схо-

95 дится быстро. Поэтому моделирование целесообразно осуществлять по формуле


min max min
( )
( )
( )
( )
S
S
S
S
a
a t
a
t
a
t
a
t
u



Здесь u
a
— реализация непрерывной случайной величины из гене- ральной совокупности, характеризуемой условной плотностью рас- пределения вероятностей



 

1 2
1 2
( )
( )
(2)
1 1
2 1
1 0
( )
( ) 2
(
| ,
)
(1
)
( ) 1
( ) 1
( )
( )
( ).
!
a
S
a
S
a
S
a
S
g
t
g
t
a
S
A
a
a
a
S
a
S
n
N
aA S
n
a
n
A
n
g t
g
t
f
u t u
u
u
g t
g
t
t
C
u C
u
n










 




Метод кусочной аппроксимации Бусленко [48, с. 22] реализует удобный алгоритм моделирования одномерного распределения об- щего вида.
Шаг 3.
Статистическое моделирование обобщенной длительно- сти импульсной ЭПР объекта
0
( )
( )
( )
S
t
S
S
S
i t dt
t
A
a t



Отметим, что дискретные приближения функций распределе- ния обобщенной длительности импульсной ЭПР корабля Space
Shuttle, отвечающие длительностям зондирующего импульса
t
S
 50 нс, также хорошо аппроксимируются системой непрерывных распределений


( )
( )
B
F
u


. На рис. 2.14 представлены приближе- ния, аналогичные кусочно-линейной оценке (2.1), функции распре- деления ( )
F u


нормированной обобщенной длительности импульс- ной ЭПР корабля




min max min
( , )
S
t
    

 
соответственно для длительностей зондирующего импульса t
S
= 10 и 50 нс. В табл. 2.6 приведены оптимальные значения показателей степени g

1
и g

2
формирующего бета-распределения (2.2) для t
S
= 5; 10; 20 и 50 нс.