Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 22716
Скачиваний: 342
115
функции в соответствии с целевым предназначением) фиксиру-
ются значения параметров функционирования.
•После многократного повторения опытов (формирования
банка статистической информации) осуществляется обработка
опытов.
•В результате обработки результатов опытов определяются
значения условных вероятностей перехода системы в критиче-
ское состояние.
Такой подход к определению значений условных вероятно-
стей перехода системы в критическое состояние требует боль-
ших затрат сил, средств и времени. На практике он может быть
реализован при исследованиях небольших и преимущественно
технических систем. При исследованиях сложных, в том числе
и экономических систем, реализация данного подхода весьма
затруднительна. В этом случае для решения задачи использу-
ется метод экспертных оценок или же аналитические методы
исследования систем.
Пример. Фактическое состояние системы характеризуется
пятью основными параметрами, которые в ходе ее функциониро-
вания изменяются в результате воздействия внешних условий
и естественных возмущений, сформированных внутри системы.
При этом система выполняет возложенные на нее функции, если
эти изменения происходят в пределах некоторых допусков или
же не достигают критических значений. Из опыта эксплуатации
системы известно, что она переходит в критическое состояние
(прекращает выполнять возложенные на нее функции), если
хотя бы один из параметров примет критическое значение.
На основе прогнозирования процессов, происходящих в
системе, определить время и условия перехода системы в кри-
тическое состояние.
Фактические и критические значения параметров системы,
а также интенсивности внешних воздействий и возмущений,
переводящих систему в различные состояния (начальные усло-
вия для t = 0), приведены в табл. 10. Интервал прогнозирования
30 суток. Прогнозирование выполнить с шагом 1 сутки. Интенсив-
ности внешних воздействий и возмущений (возд./сут.) принять
116
зависящими от текущих значений параметров системы. Вели-
чины средних квадратических отклонений ошибок определения
критических значений параметров системы принять равными
10% от их величин. Функционирование системы описывается
системой дифференциальных уравнений, параметры которой
приведены в табл. 1.10
Таблица 1.10
№
п/п
Условная норма
параметров
системы
Фактическое зна-
чение параметров
системы
Критические зна-
чения параметров
системы
Интенсивности внешних
воздействий и возмущений
П
1
П
2
П
3
П
4
П
5
1
П
1
1200
100
0,05
0,02
0,015 0,05 0,015
2
П
2
1500
200
0,08
0,015 0,004 0,05 0,008
3
П
3
2800
400
0,03
0,09
0,008 0,09 0,002
4
П
4
1000
400
0,01
0,012
0,03
0,05 0,005
5
П
5
2000
900
0,03
0,051
0,03
0,01 0,025
Решение задачи
1. Для оценки текущих значений параметров системы ре-
шаются уравнения:
5
51
4
41
3
31
2
21
1
11
1
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
dt
dɉ
=
;
5
52
4
42
3
32
2
22
1
12
2
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
dt
dɉ
=
;
5
53
4
43
3
33
2
23
1
13
3
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
dt
d ɉ
=
;
5
54
4
44
3
34
2
24
1
14
4
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
dt
d ɉ
=
;
5
55
4
45
3
35
2
25
1
15
5
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
-
ɉ
Ȝ
dt
d ɉ
=
.
117
Дисперсии ошибок в оценке текущих значений параметров
системы вычисляются путем решения следующей системы
уравнений:
5
51
4
41
3
31
2
21
1
11
ɉ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
-
dt
dD
1
+
+
+
+
=
;
5
52
4
42
3
32
2
22
1
12
ɉ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
-
dt
dD
2
+
+
+
+
=
;
5
53
4
43
3
33
2
23
1
13
ɉ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
-
dt
dD
3
+
+
+
+
=
;
5
54
4
44
3
34
2
24
1
14
ɉ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
-
dt
dD
4
+
+
+
+
=
;
5
55
4
45
3
35
2
25
1
15
ɉ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
ɉ
Ȝ
-
dt
dD
5
+
+
+
+
=
.
2. Подготавливается расчетная таблица на листе “Excel”.
В таблице указываются ячейки для вычисления: начальных
фактических и текущих параметров системы П
1
–П
5
; дисперсий
и средних квадратических отклонений ошибок прогнозирования
текущих параметров системы
(
5
D
$
ɉ
ɉ
1
D
,
)
–
ɉ
ɉ
1
5
V
V
;
средних
значений критических параметров и средних квадратических
отклонений ошибок определения этих параметров; средних
квадратических отклонений суммарных ошибок прогнозирова-
ния текущих и критических параметров системы; вероятностей
принятия параметрами системы критических значений; вероят-
ностей перехода системы в критическое состояние (интегральная
функция распределения времени перехода системы в крити-
ческое состояние); плотность вероятностей перехода системы в
критическое состояние (дифференциальная функция распреде-
ления времени перехода системы в критическое состояние).
3. Выполняются расчеты, в результате которых вычисля-
ются все интересующие нас параметры системы. Для решения
дифференциальных уравнений используется метод прямоу-
гольников (табл. 1.11).
118
Таблица 1.11
119
Вычисляются:
• текущие значения параметров, характеризующих со-
стояние системы:
=ЕСЛИ(C27+($P$3*C27-$Q$3*$D27-$R$3*E27-$S$3*F27-
-$T$3*G27)*M3>0; C27+($P$3*C27-$Q$3*$D27-$R$3*E27-
-$S$3*F27-$T$3*G27)*M3;0)
=ЕСЛИ(D27-$P$4*C27+$Q$4*D27-$R$4*E27-$S$4*F27-
-$T$4*G27>0;D27-$P$4*C27+$Q$4* D27-$R$4*E27-$S$4*F27-
-$T$4*G27;0)
=ЕСЛИ(E27-$P$5*C27-$Q$5*D27+$R$5*E27-$S$5*F27-
-$T$5*G27>0;E27-$P$5*C27-$Q$5*D27+$R$5*E27-$S$5*F27-
-$T$5*G27;0)
=ЕСЛИ(F27-$P$6*C27-$Q$6*D27-$R$6*E27+$S$6*F27-
-$T$6*G27>0;F27-$P$6*C27-$Q$6*D27-$R$6*E27+$S$6*F27-
-$T$6*G27;0)
= Е С Л И ( G 2 7 - $ P $ 7 * C 2 7 - $ Q $ 7 * D 2 7 - $ R $ 7 * E 2 7 -
-$S$7*F27+$T$7*G27>0;G27+-$P$7*C27-$Q$7*D27-$R$7*E27-
-$S$7*F27+$T$7*G27;0);
•дисперсии ошибок вычисления параметров, характери-
зующих состояние системы;
•вероятности принятия параметрами критических значе-
ний;
=НОРМРАСП($O$3;C29;(H28+1)^0.5;ИСТИНА)
=НОРМРАСП($O$4;D29;(I28+1)^0.5;ИСТИНА)
=НОРМРАСП($O$5;E28;(J28+1)^0.5;ИСТИНА)
=НОРМРАСП($O$6;F28;(K28+1)^0.5;ИСТИНА)
=НОРМРАСП($O$7;G28;(L28+1)^0.5;ИСТИНА);
•параметры интегральной и дифференциальной функций
распределения времени перехода системы в критическое со-
стояние.
4. По результатам расчетов строятся графики интегральной
и дифференциальной функций времени перехода системы в
критическое состояние (рис. 1.18).
Для условий приведенного выше примера критическое со-
стояние системы может наступить через 10–13 суток ее функ-
ционирования (см. рис. 1.18). Зная это время можно определить