Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf

275

)

1

n

(

n

)

1

j

n

(

2

j

Z

 ,     

).

n

,

1

(

j

Этот принцип применяется в случае, когда статистик может 

расположить состояния системы в порядке убывания их правдо-
подобности, т. е. указать, что всего правдоподобнее состояние B

i

, 

затем В

n-1

 и т. д. и менее всего правдоподобно состояние В

n

.

Придерживаясь концепции оптимизации в среднем ста-

тистическом, оперирующая сторона должна в качестве своей 
оптимальной стратегии принять такую, которая максимизирует 
ее средний выигрыш

¦

Z

n

1

j

j

ij

i

ɫɪ

a

max

a

max

ɚ

 (i =1, m) .

Критерий а

ср

называется критерием максимума среднего 

выигрыша. Оптимальную стратегию при известных вероятностях 
состояний системы можно найти, используя и показатель риска. Для 
этого по матрице риска необходимо найти среднее значение риска

¦

Z

n

1

j

j

ij

i

r

r

и в качестве оптимальной стратегии выбрать ту, которая обе-
спечивает минимальную величину среднего риска, т. е.

¦

Z

n

1

j

j

ij

ɫɪi

r

min

r

.

Доказывается, что стратегия, максимизирующая средний 

выигрыш, совпадает со стратегией, минимизирующей средний 
риск, т. е. стратегия, оптимальная в смысле максимума среднего 
выигрыша, является оптимальной и в смысле минимума среднего 
риска. Если а

ср

 обращается в максимум, то r

i

 принимает мини-

мальное значение. 

 Вторая группа критериев
Эта группа критериев выступает индикатором оптималь-

ности в условия полной статистической неопределенности.

276

Рассмотрим некоторые из них.
Максиминный критерий Вальда. Это критерий крайнего 

пессимизма. Он ориентирует лицо, принимающее решение, на 
наихудшие условия и рекомендует ту стратегию, для которой в 
наихудших условиях выигрыш максимален, т. е. максиминную 
стратегию:

.

ij

j

a

min

max

a

i

Минимаксный критерий Сэвиджа. Этот критерий в условиях 

полной неопределенности рекомендует выбирать ту стратегию, 
при которой величина риска принимает наименьшее значение в 
самой неблагоприятной ситуации, т. е. такую, которая гаранти-
рует минимум максимального риска

.

r

max

min

r

ij

j

i

Сущность критерия Сэвиджа состоит в том, чтобы любыми 

путями избежать большого риска. Поэтому данный критерий 
можно также отнести к критерию крайнего пессимизма. Отличие 
его от критерия Вальда состоит в том, что худшим здесь счита-
ется не минимальный выигрыш, а максимальный риск.

Критерий обобщенного максимума Гурвица. Критерий 

Гурвица рекомендует рассчитывать на нечто среднее между 
крайним пессимизмом и крайним оптимизмом. Он имеет вид

]

a

max

)

1

(

a

min

[

max

S

ij

j

ij

j

i

O

O

,

При 

 = 1 критерий Гурвица вырождается в критерии край-

него пессимизма Вальда, при 

 = 0 — в критерии крайнего опти-

мизма, рекомендующего выбирать ту стратегию, при которой в 
наилучших условиях выигрыш максимален. Промежуточные 
значения коэффициента 

 представляют собой меру пессимизма 

лица, принимающего решение. Выбор критерия субъективен и 
во многом определяется личными качествами лица, принимаю-
щего решение. Для пояснения механизма работы статистических 
критериев приведем несколько примеров.

Критерий осторожного выбора. Этот критерий соответству-

ет правилу “рассчитывай на худший случай”, отсюда в качестве 

277

коэффициентов важности i-го варианта решения следует вы-
брать наихудшее значение показателя, который будет получен 
в результате принятия данного варианта, т. е.

ij

C

min

max

*

Y

j

i

,

где C

ij

 — результаты, которые будут получены по i-му варианту 

в j-й ситуации.

В соответствии с этим правилом последовательно выполня-

ются операции нахождения минимальных значений результатов 
во всех ситуациях, и затем из полученных вариантов находится 
тот, что имеет максимальное значение. Его номер и определит 
наилучшее решение. Такой критерий называют максиминным.

Критерий оптимистичного выбора. Он ориентирован на 

правило “рассчитывай на лучший случай”. Наилучший вариант 
определяется по формуле

,

ij

C

min

max

*

Y

j

i

где C

ij

 — результаты, которые будут получены по i-му варианту 

в j-й ситуации.

В соответствии с этим правилом последовательно выпол-

няются операции нахождения максимальных значений ре-
зультатов во всех ситуациях, и затем из полученных вариантов 
находится тот, что имеет максимальное значение. Его номер и 
определит наилучшее решение.

Критерий максимума среднего выигрыша. Он используется 

тогда, когда известны вероятности возникновения той или иной 
ситуации. Если предпочтения измеряются в шкале отношений, то 
средний выигрыш при каждом варианте рассчитывается так:

,

)

C

P

M

(

um

extrem

*

Y

ij

j

i

ij

6

где M

 i

 — математическое ожидание выигрыша в случае при-

нятия i-го решения;

P

j

 — вероятность появления j-й ситуации;

C

ij

 — результаты, которые будут получены по i-му варианту 

в j-й ситуации.

278

Пример. Фермерское хозяйство имеет три участка земли: 

повышенной влажности А

1

, средней влажности А

2

 и сухой — 

А

3

. Один из них планируется использовать для выращивания 

картофеля, другие — для посева кормовой массы. Известно, что 
для получения хорошего урожая картофеля при прочих равных 
условиях требуется содержание в почве определенного коли-
чества влаги в период вегетации. Не допускается как излишек 
влаги, так и ее недостаток. Требуется за руководителя принять 
решение о выборе участка для выращивания картофеля на пред-
стоящий сельскохозяйственный год, если известна его средняя 
урожайность в центнерах с гектара на каждом из участков в 
зависимости от погодных условий. Значения урожайностей 
сведены в табл. 2.11.

Таблица 2.11

Участки земли

Погодные условия

В

1

 — осадков

меньше нормы

В

2

 — осад-

ков норма

В

3

 — осадков

больше нормы

А

1 

влажный

250

200

110

А

2 

средней влажности

210

240

140

А

3 

сухой

90

190 260

В соответствии с условием задачи оперирующая сторона А 

имеет три стратегии:

А

1

 — выращивать картофель на влажном участке;

А 

2 

и А

3

 — выращивать картофель на участке средней влаж-

ности и сухом.

Стратегиями системы выступают фактические объемы 

выпадающих осадков: меньше нормы, норма и больше нормы. 
Выигрыш оперирующей стороны (подсобного хозяйства) при 
каждой паре стратегий А и В задается урожайностью картофеля 
в центнерах с одного гектара.

279

Решение.
Производим пересчет матрицы выигрышей в матрицу риска. 

Для этого находим значения:





=max (250, 210, 90) =250;





=max (200, 240, 190) =240;





= max (110, 140, 260) =260.

Далее, вычисляем значения r

ij 

и сводим их в матрицу ри-

ска:

r

11

=250–250=0; r

21

 =250–210=40; r

31 

=250–90=160;

r

12

=240–200=40; r

22

=240–240=0; r

32

=240–190 =50;

r

13

=260–110=150; r

23

=260–140=120; r

33

= 260–260=0. 

 r =

0

50

160

120

0

40

150

40

0

 . 

2. Вводим вектор вероятностей выпадения осадков соот-

ветствующих интенсивностей 















= (0,25; 0,45; 0,3) и 

вычисляем максимум выигрыша и минимум риска:

а

1

=250 · 0,25+200 · 0,45+110 · 0,3= 185,5 ц;

а

2

=210 · 0,25+240 · 0,45+140 · 0,3=202,5 ц;

а

3

=90 · 0,25+190 · 0,45+260 · 0,3=186 ц;

a = max (185,5; 202,5; 186) =202,5 ц.
Из анализа приведенных результатов следует, что макси-

мум критерия среднего выигрыша, равного 202,5 ц, имеет место 
для участка средней влажности. Этот участок и выбирается для 
выращивания картофеля. Выполняя те же операции для крите-
рия риска, получаем

r

1

=0 · 0,25+40 · 0,45+150 · 0,3==63 ц;

r

2

=40 · 0,25+0 · 0,45+120 · 0,3 = 46 ц;

r

3

=160 · 0,25+50 · 0,45+0 · 0,3=62,5 ц;

r = min (63; 46; 62,5) = 46 ц, что также соответствует второй 

стратегии стороны А. Выбор решения в интересах этой страте-
гии гарантирует оперирующей стороне недобор картофеля не 
более 46 ц с гектара при любых состояниях системы, заданных 
вектором вероятностей.