Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 22689
Скачиваний: 342
370
371
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
V
w
w
w
w
V
w
w
j
y
i
x
j
i
j
ɗ
i
i
i
ɗ
y
B
B
Ʉ
,
dx
Ɏ
d
Ɏ
Ʉ
— частные ошибки;
инстр
— инструментальная ошибка системы.
Выше была приведена методика оценки погрешностей вы-
числения критериев с помощью математических моделей. При
решении ряда практических задач возникает необходимость
дать вероятностную оценку этих погрешностей, т. е. определить
вероятность события, состоящего в том, что величина фактиче-
ской погрешности будет не более допустимой
ДОП
. Величина этой
вероятности определяется так:
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
V
H
6
H
H
Ʉ
ɞɨɩ
Ɏ
Ɋ
ɞɨɩ
.
Методику определения ошибок рассмотрим на простейшем
примере.
Пример. Пусть некоторый процесс может быть охарактери-
зован количественно с помощью следующего критерия:
Ʉ
Ɏ ȼ
Ɏ ȼ
1
2
2
2
,
где Ф
1
, Ф
2
— параметры, характеризующие условия протекания
процесса;
В — параметр управления (параметр, характеризующий
вариант деятельности).
Параметры, характеризующие условия протекания процес-
са, являются случайными величинами, средние квадратические
ошибки определения которых известны и соответственно равны
5 и 10 ед. Средние значения этих параметров соответственно
равны 75 и 125 ед.
Определить оптимальный параметр управления и его ошиб-
ку, среднее квадратическое отклонение ошибки вычисления
критерия.
Решение.
1. Вычисляется оптимальное значение параметра управ-
ления
;
0
Ɏ
B
Ɏ
2
dB
dK
2
2
1
2
2
1
Ɏ
ȼ
Ɏ
2
;
011
,
0
–
75
·
2
125
Ɏ
2
Ɏ
ȼ
2
2
1
2
.
2. Вычисляются частные ошибки (средние квадратические
отклонения частной ошибки) определения параметра управле-
ния за счет ошибок Ф
1
и Ф
2
:
dB
dɎ
Ɏ
2
1
2
1
2
;
V
V
2
2
1
Ɏ
B
75
·
2
10
Ɏ
2
2
2
Ɏ
0,00088 ɟɞ.
dB
dɎ
Ɏ
Ɏ
1
2
1
3
2
;
1
Ɏ
3
1
2
B
Ɏ
Ɏ
2
1
Ɏ
V
V
=
5
75
125
2
3
0,00296 ɟɞ.
2
Ɏ
ȼ
2
Ɏ
B
B
1
2
V
V
V
¦
=
003
,
0
)
00296
,
0
(
)
00088
,
0
(
2
2
ɟɞ.
3. Определяется среднее квадратическое отклонение
ошибки:
dK
dɎ
Ɏ ȼ
1
1
2
2
;
1
1
Ɏ
Ɏ
2
1
K
B
Ɏ
2
V
V
= 2 · 75 · 0,011
2
· 5=0,09 ɟɞ.;
dK
dɎ
ȼ
2
;
2
2
Ɏ
Ɏ
K
ȼ
V
V
=0,011 · 10=0,1 ɟɞ.;
2
Ʉ
2
K
K
2
Ɏ
1
Ɏ
V
V
V
¦
=
134
,
0
1
,
0
09
,
0
2
2
ɟɞ.
Пример. Фирме, осуществляющей выпуск спецтехники
для технического обслуживания автоматизированных инфор-
мационных систем, планируется заказ на изготовление серии
приборов в объеме от 800 до 1000 единиц. Генеральный директор
370
371
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
V
w
w
w
w
V
w
w
j
y
i
x
j
i
j
ɗ
i
i
i
ɗ
y
B
B
Ʉ
,
dx
Ɏ
d
Ɏ
Ʉ
— частные ошибки;
инстр
— инструментальная ошибка системы.
Выше была приведена методика оценки погрешностей вы-
числения критериев с помощью математических моделей. При
решении ряда практических задач возникает необходимость
дать вероятностную оценку этих погрешностей, т. е. определить
вероятность события, состоящего в том, что величина фактиче-
ской погрешности будет не более допустимой
ДОП
. Величина этой
вероятности определяется так:
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
V
H
6
H
H
Ʉ
ɞɨɩ
Ɏ
Ɋ
ɞɨɩ
.
Методику определения ошибок рассмотрим на простейшем
примере.
Пример. Пусть некоторый процесс может быть охарактери-
зован количественно с помощью следующего критерия:
Ʉ
Ɏ ȼ
Ɏ ȼ
1
2
2
2
,
где Ф
1
, Ф
2
— параметры, характеризующие условия протекания
процесса;
В — параметр управления (параметр, характеризующий
вариант деятельности).
Параметры, характеризующие условия протекания процес-
са, являются случайными величинами, средние квадратические
ошибки определения которых известны и соответственно равны
5 и 10 ед. Средние значения этих параметров соответственно
равны 75 и 125 ед.
Определить оптимальный параметр управления и его ошиб-
ку, среднее квадратическое отклонение ошибки вычисления
критерия.
Решение.
1. Вычисляется оптимальное значение параметра управ-
ления
;
0
Ɏ
B
Ɏ
2
dB
dK
2
2
1
2
2
1
Ɏ
ȼ
Ɏ
2
;
011
,
0
–
75
·
2
125
Ɏ
2
Ɏ
ȼ
2
2
1
2
.
2. Вычисляются частные ошибки (средние квадратические
отклонения частной ошибки) определения параметра управле-
ния за счет ошибок Ф
1
и Ф
2
:
dB
dɎ
Ɏ
2
1
2
1
2
;
V
V
2
2
1
Ɏ
B
75
·
2
10
Ɏ
2
2
2
Ɏ
0,00088 ɟɞ.
dB
dɎ
Ɏ
Ɏ
1
2
1
3
2
;
1
Ɏ
3
1
2
B
Ɏ
Ɏ
2
1
Ɏ
V
V
=
5
75
125
2
3
0,00296 ɟɞ.
2
Ɏ
ȼ
2
Ɏ
B
B
1
2
V
V
V
¦
=
003
,
0
)
00296
,
0
(
)
00088
,
0
(
2
2
ɟɞ.
3. Определяется среднее квадратическое отклонение
ошибки:
dK
dɎ
Ɏ ȼ
1
1
2
2
;
1
1
Ɏ
Ɏ
2
1
K
B
Ɏ
2
V
V
= 2 · 75 · 0,011
2
· 5=0,09 ɟɞ.;
dK
dɎ
ȼ
2
;
2
2
Ɏ
Ɏ
K
ȼ
V
V
=0,011 · 10=0,1 ɟɞ.;
2
Ʉ
2
K
K
2
Ɏ
1
Ɏ
V
V
V
¦
=
134
,
0
1
,
0
09
,
0
2
2
ɟɞ.
Пример. Фирме, осуществляющей выпуск спецтехники
для технического обслуживания автоматизированных инфор-
мационных систем, планируется заказ на изготовление серии
приборов в объеме от 800 до 1000 единиц. Генеральный директор
372
373
фирмы выполнил оценку возможностей по выполнению заказа.
В результате этой оценки было определено, что в зависимости
от складывающихся условий фирма может производить от 100
до 150 приборов в месяц.
Требуется:
1. Классифицировать процесс производства как систему.
2. Разработать математическую модель оценки эффектив-
ности выполнения заказа (простейшую модель производства).
Оценить показатели, характеризующие точность моделиро-
вания.
3. Определить вероятность события, состоящего в том, что
заказ будет выполнен не более чем через 7,5 мес. после начала
производства.
4. В какое время необходимо начать производство продук-
ции, чтобы с гарантийной вероятностью 0,95 заказ был выполнен
до 1.06. 2009 года?
Решение.
1. Выполняется классификация процесса производства как
системы (состав, структура, функции системы, цели, задачи,
проблемы, пути решения проблем, варианты деятельности, ме-
роприятия, работы, события).
2. Разрабатывается простейшая модель системы, в нашем
случае
)
ɉ
(
ɟɥɶɧɨɫɬɶ
ɉɪɨɢɡɜɨɞɢɬ
)
Ɂ
ɡɚɤɚɡ
(
Ɉɛɴɺɦ
)
Ɍ
(
ȼɪɟɦɹ
.
3. Определяются первичные ошибки, показателей, являю-
щихся исходными данными модели.
Среднее квадратическое отклонение первичной ошибки
определения величины заказа
6
/
)
Ɂ
-
Ɂ
(
ı
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɡ
=
=(1000-800)/6=
= 33,3 ед. прод.
Среднее квадратическое отклонение первичной ошибки
определения производительности
6
/
)
ɉ
-
ɉ
(
ı
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɩ
=
= (150-100)/6= 8,33 ед. прод./мес.
4. Вычисляется среднее время выполнения заказа:
2
/
)
ɉ
ɉ
(
ɉ
2
/
)
Ɂ
Ɂ
(
Ɂ
Ɍ
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɦɢɧ
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɦɢɧ
ɫɪ
-
-
=
.
ɦɟɫ
2
,
7
2
/
)
100
-
150
(
100
800)/2
-
1000
(
800
5. Вычисляется частная ошибка определения времени вы-
полнения заказа из-за ошибки в оценке величины заказа:
ɉ
1
d Ɂ
dT
=
, следовательно
ɉ
ı
ı
Ɂ
)
Ɂ
(
Ɍ
=
,
или
.
ɦɟɫ
266
,
0
.
ɦɟɫ
/
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
125
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
3
,
33
)
Ɂ
(
Ɍ
V
6. Вычисляется частная ошибка определения времени вы-
полнения заказа из-за ошибки в оценке производительности
предприятия:
2
ɋɊ
ɉ
Ɂ
-
dɉ
dT
=
, следовательно
ɉ
2
ɫɪ
)
ɉ
(
Ɍ
ɉ
Ɂ
V
V
,
или
.)
ɦɟɫ
/
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
(
125
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
900
2
2
)
ɉ
(
Ɍ
V
· 8,33 ед. прод./мес. = 0,479 мес.
Вычисляется суммарная ошибка определения времени
выполнения заказа:
.
ɦɟɫ
677
,
0
479
,
0
266
,
0
2
2
2
)
ɉ
(
Ɍ
2
)
Ɂ
(
Ɍ
V
V
V
6
.
Вычисляется вероятность события, состоящего в том, что
заказ будет выполнен не более чем через 7,5 мес. после начала
производства:
.
835
,
0
)
677
,
0
2
,
7
5
,
7
(
Ɏ
1
5
,
0
)
Ɍ
-
Ɍ
(
Ɏ
1
5
,
0
Ɋ
ɫɪ
ɡɚɞ
ɡɚɤ
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
V
6
Вычисляется момент времени, в который необходимо на-
чать производство продукции, чтобы к установленному сроку
выполнить заказ:
2008
.
9
.
6
)
3
,
1
5
,
7
(
2009
.
6
.
1
)
2
(Ɍ
-
2009
.
06
.
1
Ɍ
ɫɪ
ɧɩ
|
V
6
.
Пример. Фирме, осуществляющей выпуск спецтехники
для технического обслуживания автоматизированных инфор-
372
373
фирмы выполнил оценку возможностей по выполнению заказа.
В результате этой оценки было определено, что в зависимости
от складывающихся условий фирма может производить от 100
до 150 приборов в месяц.
Требуется:
1. Классифицировать процесс производства как систему.
2. Разработать математическую модель оценки эффектив-
ности выполнения заказа (простейшую модель производства).
Оценить показатели, характеризующие точность моделиро-
вания.
3. Определить вероятность события, состоящего в том, что
заказ будет выполнен не более чем через 7,5 мес. после начала
производства.
4. В какое время необходимо начать производство продук-
ции, чтобы с гарантийной вероятностью 0,95 заказ был выполнен
до 1.06. 2009 года?
Решение.
1. Выполняется классификация процесса производства как
системы (состав, структура, функции системы, цели, задачи,
проблемы, пути решения проблем, варианты деятельности, ме-
роприятия, работы, события).
2. Разрабатывается простейшая модель системы, в нашем
случае
)
ɉ
(
ɟɥɶɧɨɫɬɶ
ɉɪɨɢɡɜɨɞɢɬ
)
Ɂ
ɡɚɤɚɡ
(
Ɉɛɴɺɦ
)
Ɍ
(
ȼɪɟɦɹ
.
3. Определяются первичные ошибки, показателей, являю-
щихся исходными данными модели.
Среднее квадратическое отклонение первичной ошибки
определения величины заказа
6
/
)
Ɂ
-
Ɂ
(
ı
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɡ
=
=(1000-800)/6=
= 33,3 ед. прод.
Среднее квадратическое отклонение первичной ошибки
определения производительности
6
/
)
ɉ
-
ɉ
(
ı
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɩ
=
= (150-100)/6= 8,33 ед. прод./мес.
4. Вычисляется среднее время выполнения заказа:
2
/
)
ɉ
ɉ
(
ɉ
2
/
)
Ɂ
Ɂ
(
Ɂ
Ɍ
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɦɢɧ
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
ɦɢɧ
ɫɪ
-
-
=
.
ɦɟɫ
2
,
7
2
/
)
100
-
150
(
100
800)/2
-
1000
(
800
5. Вычисляется частная ошибка определения времени вы-
полнения заказа из-за ошибки в оценке величины заказа:
ɉ
1
d Ɂ
dT
=
, следовательно
ɉ
ı
ı
Ɂ
)
Ɂ
(
Ɍ
=
,
или
.
ɦɟɫ
266
,
0
.
ɦɟɫ
/
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
125
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
3
,
33
)
Ɂ
(
Ɍ
V
6. Вычисляется частная ошибка определения времени вы-
полнения заказа из-за ошибки в оценке производительности
предприятия:
2
ɋɊ
ɉ
Ɂ
-
dɉ
dT
=
, следовательно
ɉ
2
ɫɪ
)
ɉ
(
Ɍ
ɉ
Ɂ
V
V
,
или
.)
ɦɟɫ
/
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
(
125
.
ɩɪɨɞ
.
ɟɞ
900
2
2
)
ɉ
(
Ɍ
V
· 8,33 ед. прод./мес. = 0,479 мес.
Вычисляется суммарная ошибка определения времени
выполнения заказа:
.
ɦɟɫ
677
,
0
479
,
0
266
,
0
2
2
2
)
ɉ
(
Ɍ
2
)
Ɂ
(
Ɍ
V
V
V
6
.
Вычисляется вероятность события, состоящего в том, что
заказ будет выполнен не более чем через 7,5 мес. после начала
производства:
.
835
,
0
)
677
,
0
2
,
7
5
,
7
(
Ɏ
1
5
,
0
)
Ɍ
-
Ɍ
(
Ɏ
1
5
,
0
Ɋ
ɫɪ
ɡɚɞ
ɡɚɤ
»
¼
º
«
¬
ª
»
¼
º
«
¬
ª
V
6
Вычисляется момент времени, в который необходимо на-
чать производство продукции, чтобы к установленному сроку
выполнить заказ:
2008
.
9
.
6
)
3
,
1
5
,
7
(
2009
.
6
.
1
)
2
(Ɍ
-
2009
.
06
.
1
Ɍ
ɫɪ
ɧɩ
|
V
6
.
Пример. Фирме, осуществляющей выпуск спецтехники
для технического обслуживания автоматизированных инфор-
374
375
мационных систем, планируется заказ на изготовление серии
приборов в объеме от 800 до 1000 единиц. Генеральный директор
фирмы выполнил оценку возможностей по выполнению заказа.
Для этих целей была использована модель, в основу которой
были положены методы регрессионного анализа, и выполнена
обработка результатов производственной деятельности фирмы
в прошлый период. Эти результаты приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Показатель
Условный номер отчетного периода, мес.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Объем выпускаемой
продукции, усл. ед.
80 100 120 150 130 160 200 140 150 130 150 180
Суммарный объем,
усл. ед.
80 180 300 450 580 740 920 1060 1210 1340 1490 1670
Требуется:
1. Классифицировать процесс производства как систему.
2. С использованием технологии “Регрессия” (Еxcel) выполнить
прогнозирование возможностей фирмы по выполнению заказа.
3. Определить среднее время выполнения заказа и среднее
квадратическое отклонение ошибки определения времени вы-
полнения заказа.
Решение.
1. Выполняется классификация процесса производства как
системы (состав, структура, функции системы, цели, задачи,
проблемы, пути решения проблем, варианты деятельности, ме-
роприятия, работы, события).
2. Определяется уравнение регрессии, связывающее ве-
личину объема выпускаемой продукции с датами отчетного
периода. С использованием технологии “Регрессия” (Еxcel)
определяются коэффициенты уравнения регрессии и значе-
ние среднего квадратического отклонения ошибки вычисления
объема выпускаемой продукции с помощью этого уравнения.
Выполнить следующее:
подготовить рабочий лист Еxcel, на котором сформировать
таблицу исходных данных;
применив технологию “Регрессия”, получить коэффици-
енты уравнения регрессии и значение среднего квадратического
отклонения ошибки вычисления объема выпускаемой продукции
с помощью этого уравнения.
Результат выполнения операции по данной технологии
В ячейках С490, 491 — коэффициенты уравнения регрес-
сии ОБЪЕМ=-119,091+146*Т (рис. 3.1).
В ячейке С480 — стандартная ошибка (среднее квадра-
тическое отклонение ошибки вычисления объема выпушенной
продукции).
3. Вычисляются значения интегральной и дифференциаль-
ной функций распределения времени, в которое фирма может
выполнить заказ. Для решения этой задачи выполняются сле-
дующие операции:
Подготавливается таблица (см. рис. 3.4), в которой указы-
ваются (в столбце J — текущее время через 0,25 мес.; в столбце
К — объемы выпускаемой продукции, вычисленные с помощью
уравнения регрессии ОБЪЕМ = 119,091+146 ·
Т(х1); в столбце
L — среднее значение величины заказа; в столбце М — среднее
квадратическое отклонение суммарной ошибки определения
заказа и производства
>
@
.
)
6
/
)
Ɂ
-
Ɂ
(
2
ɦɢɧ
ɦɚɤɫ
2
ɩ
)
ɩ
(
ɡ
V
V
В столбце N вычисляются значения интегральной функ-
ции распределения времени выполнения заказа, а в столбце
О — дифференциальной. Для этого выполняются следующие
операции — f(x)-Статистические-НОРМРАСП. В диалоговом
окне устанавливаются следующие данные:
а) Для вычисления значений интегральной функции рас-
пределения времени выполнения заказа (рис. 3.2);
б) Для вычисления значений дифференциальной функции
распределения времени выполнения заказа (рис. 3.3).
В ячейки 461–485 осуществляется копирование ячеек
460-й строки (рис. 3.4).
4. По результатам вычислений строятся графики интеграль-
ной и дифференциальной функций распределения времени вы-
полнения заказа (рис. 3.4).