Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf

390

391

выполнения заказа (определяется значение комбинированного 
прогноза). Для этого используются следующие формулы:

 
                               ;                                         . 

y

y

ɤ

i

i

i

n

i

n

i

¦

¦

V

V

2

2

1

1

¦

V

V

n

1

i

2
i

k

1

1

11.5. Использование корректируемых моделей 

Согласно требованию корректируемости модель должна 

иметь элементы, изменяющие ее структуру, по результатам 
фактической информации, характеризующей условия функ-
ционирования системы.

Задача на разработку корректируемой модели экономиче-

ского процесса формулируется следующим образом.

1. Разработана модель экономического процесса, исполь-

зующаяся в ходе его реализации.

2. В ходе экономического процесса имеют место фактиче-

ские результаты и расчетные, полученные с помощью модели. 
Фактические отличаются от моделируемых.

Требуется определить:
Каким образом требуется осуществить коррекцию модели, что-

бы в последующем свести до минимума ошибки прогнозирования.

Эта задача может быть решена путем вычисления соот-

ветствующих поправочных коэффициентов в аналитических 
соотношениях, положенных в основу модели.

Значения их вычисляются путем решения следующей си-

стемы уравнений:

>

@

>

@

>

@

°

°

°

°

¯

°

°

°

°

®

­

¿

¾

½

¯

®

­

'

'

¿

¾

½

¯

®

­

¿

¾

½

¯

®

­

¦

¦

¦

,

ǻɎ

Ɏ

,

,

ǻɎ

Ɏ

f

K

)

Ɏ

d(

d

)

Ɏ

d(

dz

;

ǻɎ

Ɏ

,

,

ǻɎ

Ɏ

f

Ʉ

ǻɎ

d

d

ǻɎ

d

dz

:

;

ǻɎ

Ɏ

,

,

ǻɎ

Ɏ

f

Ʉ

min

Z

n

1

i

2

n

n

1

1

(Ɏ)
ɷ

n

n

n

1

i

2

n

n

1

1

)

ɮ

(
ɷ

1

1

n

1

i

2

n

n

1

1

)

ɮ

(
ɷ

где 

'

'

Ɏ

1

, . . . , Ɏ

n

 — поправочные коэффициенты (коррекция 

модели);

n — количество измерений (результатов);
К

э

(ф)

 — фактические значения критерия (показателя моде-

лируемого процесса).

Пример. Ход протекания процесса прогнозируется с по-

мощью простейшей модели К

п

=Ф. В ходе эксплуатации модели 

получен ряд характеристик процесса в точках, указанных в 
табл. 3.3.

Таблица 3.3

 Фактор

Результат

1

2

3

4

5

Прогнозируемый результат (К

п

)

1

2

3

4

5

Фактический результат (К

Ф

)

0,7

2,2

3,3

3,8

4,8

Осуществить коррекцию модели в виде 

Ɏ

)

Ɏ

1

(

K

ɮ

'

. 

После коррекции с помощью модели будет прогнозироваться 
результат К

ф

*.

Решение.
1.  Значение поправочного коэффициента должно быть 

таким, чтобы сумма квадратов разностей между фактическим 
результатом и значением критерия имела бы минимальное 
значение, т. е. 

>

@

2

5

1

Ɏ

 ·

 )

Ɏ

1

(

Ɏ

ɦɢɧ

Ʉ

¦

'

6

.

2. Значение 

Ф может быть найдено с использованием про-

граммы “Ехсеl” (рис. 3.8).

Поиск значения осуществляется с помощью технологии 

“Поиск решения”.

При этом ячейка Е7 — целевая, а ячейка А9 — изменяе-

мая.

Вывод. С учетом коррекции модель будет иметь вид 

К

ф

*=0,9582Ф.

390

391

выполнения заказа (определяется значение комбинированного 
прогноза). Для этого используются следующие формулы:

 
                               ;                                         . 

y

y

ɤ

i

i

i

n

i

n

i

¦

¦

V

V

2

2

1

1

¦

V

V

n

1

i

2
i

k

1

1

11.5. Использование корректируемых моделей 

Согласно требованию корректируемости модель должна 

иметь элементы, изменяющие ее структуру, по результатам 
фактической информации, характеризующей условия функ-
ционирования системы.

Задача на разработку корректируемой модели экономиче-

ского процесса формулируется следующим образом.

1. Разработана модель экономического процесса, исполь-

зующаяся в ходе его реализации.

2. В ходе экономического процесса имеют место фактиче-

ские результаты и расчетные, полученные с помощью модели. 
Фактические отличаются от моделируемых.

Требуется определить:
Каким образом требуется осуществить коррекцию модели, что-

бы в последующем свести до минимума ошибки прогнозирования.

Эта задача может быть решена путем вычисления соот-

ветствующих поправочных коэффициентов в аналитических 
соотношениях, положенных в основу модели.

Значения их вычисляются путем решения следующей си-

стемы уравнений:

>

@

>

@

>

@

°

°

°

°

¯

°

°

°

°

®

­

¿

¾

½

¯

®

­

'

'

¿

¾

½

¯

®

­

¿

¾

½

¯

®

­

¦

¦

¦

,

ǻɎ

Ɏ

,

,

ǻɎ

Ɏ

f

K

)

Ɏ

d(

d

)

Ɏ

d(

dz

;

ǻɎ

Ɏ

,

,

ǻɎ

Ɏ

f

Ʉ

ǻɎ

d

d

ǻɎ

d

dz

:

;

ǻɎ

Ɏ

,

,

ǻɎ

Ɏ

f

Ʉ

min

Z

n

1

i

2

n

n

1

1

(Ɏ)
ɷ

n

n

n

1

i

2

n

n

1

1

)

ɮ

(
ɷ

1

1

n

1

i

2

n

n

1

1

)

ɮ

(
ɷ

где 

'

'

Ɏ

1

, . . . , Ɏ

n

 — поправочные коэффициенты (коррекция 

модели);

n — количество измерений (результатов);
К

э

(ф)

 — фактические значения критерия (показателя моде-

лируемого процесса).

Пример. Ход протекания процесса прогнозируется с по-

мощью простейшей модели К

п

=Ф. В ходе эксплуатации модели 

получен ряд характеристик процесса в точках, указанных в 
табл. 3.3.

Таблица 3.3

 Фактор

Результат

1

2

3

4

5

Прогнозируемый результат (К

п

)

1

2

3

4

5

Фактический результат (К

Ф

)

0,7

2,2

3,3

3,8

4,8

Осуществить коррекцию модели в виде 

Ɏ

)

Ɏ

1

(

K

ɮ

'

. 

После коррекции с помощью модели будет прогнозироваться 
результат К

ф

*.

Решение.
1.  Значение поправочного коэффициента должно быть 

таким, чтобы сумма квадратов разностей между фактическим 
результатом и значением критерия имела бы минимальное 
значение, т. е. 

>

@

2

5

1

Ɏ

 ·

 )

Ɏ

1

(

Ɏ

ɦɢɧ

Ʉ

¦

'

6

.

2. Значение 

Ф может быть найдено с использованием про-

граммы “Ехсеl” (рис. 3.8).

Поиск значения осуществляется с помощью технологии 

“Поиск решения”.

При этом ячейка Е7 — целевая, а ячейка А9 — изменяе-

мая.

Вывод. С учетом коррекции модель будет иметь вид 

К

ф

*=0,9582Ф.

392

393

Рис. 3.8. Рабочий лист для расчета условного управления

При решении ряда практических задач моделируемый 

процесс характеризуется как правило с помощью нескольких 
критериев или характеристик. По фактическим полученным 
характеристикам определить другие.

В ходе экономического процесса характеристики моделиру-

емого процесса могут быть получены с помощью такой модели: 

B

B

;

B

B

;

Ɏ

Ɏ

;

Ɏ

Ɏ

f

x

n

1

n

1

1

1

'

'

'

'

;

B

B

;

B

B

;

Ɏ

Ɏ

;

Ɏ

Ɏ

f

x

n

1

n

1

2

2

'

'

'

'

; 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  

B

B

;

B

B

;

Ɏ

Ɏ

;

Ɏ

Ɏ

f

x

n

1

n

1

n

n

'

'

'

'

. 

С помощью модели вычисляются также текущие значения 

корреляционных функций К

ij

 и дисперсий D

i

 в каждом сечении 

моделируемого процесса.

В ходе деятельности могут быть получены фактические 

значения моделируемого процесса x

i

(Ф)

 (но не все, а некоторые), 

например x

1

 и x

2

. Формулируется задача: какие значения при-

няли другие характеристики моделируемого процесса? Для 
того чтобы определить их, необходимо выполнить коррекцию 
моделей, решив следующую систему уравнений:

°

°

°

°

°

°

°

°

°

¯

°°

°

°

°

°

°

°

°

®

­

V

V

V

V

V

V

V

V

).

x

x

(

r

x

x

);

x

x

(

r

x

x

.

.

.

);

x

x

(

r

x

x

);

x

x

(

r

x

x

x

x

x

x

2

)

ɮ

(
2

x

x

n

,

2

n

)

n

,

2

(
n

1

)

ɮ

(

1

x

x

n

,

1

n

)

n

,

1

(
n

2

)

ɮ

(
2

x

x

3

,

2

3

)

3

,

2

(
3

1

)

ɮ

(

1

x

x

3

,

1

3

)

3

,

1

(
3

)

™

(
2

2

)

™

(

1

1

2

n

1

n

2

3

1

3

Окончательное значение искомых величин может быть 

определено с помощью следующих соотношений:

°

°

°

¯

°°

°

®

­

.

2

x

x

x

.

.

.

;

2

x

x

x

)

n

,

2

(

)

n

,

1

(
n

n

)

3

,

2

(

)

3

,

1

(
3

3

Пример. Разработана модель для прогнозирования четырех 

характеристик (показателей) системы. В ходе эксплуатации 
модели вычисляются математические ожидания и средние 
квадратические отклонения ошибок указанных показателей, а 
также коэффициенты корреляции между ними.

В момент времени t

i

 значения этих показателей и характе-

ристик (вычисляемые с помощью модели) приняли значения, 
приведенные в табл. 3.4.

;

;

392

393

Рис. 3.8. Рабочий лист для расчета условного управления

При решении ряда практических задач моделируемый 

процесс характеризуется как правило с помощью нескольких 
критериев или характеристик. По фактическим полученным 
характеристикам определить другие.

В ходе экономического процесса характеристики моделиру-

емого процесса могут быть получены с помощью такой модели: 

B

B

;

B

B

;

Ɏ

Ɏ

;

Ɏ

Ɏ

f

x

n

1

n

1

1

1

'

'

'

'

;

B

B

;

B

B

;

Ɏ

Ɏ

;

Ɏ

Ɏ

f

x

n

1

n

1

2

2

'

'

'

'

; 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  

B

B

;

B

B

;

Ɏ

Ɏ

;

Ɏ

Ɏ

f

x

n

1

n

1

n

n

'

'

'

'

. 

С помощью модели вычисляются также текущие значения 

корреляционных функций К

ij

 и дисперсий D

i

 в каждом сечении 

моделируемого процесса.

В ходе деятельности могут быть получены фактические 

значения моделируемого процесса x

i

(Ф)

 (но не все, а некоторые), 

например x

1

 и x

2

. Формулируется задача: какие значения при-

няли другие характеристики моделируемого процесса? Для 
того чтобы определить их, необходимо выполнить коррекцию 
моделей, решив следующую систему уравнений:

°

°

°

°

°

°

°

°

°

¯

°°

°

°

°

°

°

°

°

®

­

V

V

V

V

V

V

V

V

).

x

x

(

r

x

x

);

x

x

(

r

x

x

.

.

.

);

x

x

(

r

x

x

);

x

x

(

r

x

x

x

x

x

x

2

)

ɮ

(
2

x

x

n

,

2

n

)

n

,

2

(
n

1

)

ɮ

(

1

x

x

n

,

1

n

)

n

,

1

(
n

2

)

ɮ

(
2

x

x

3

,

2

3

)

3

,

2

(
3

1

)

ɮ

(

1

x

x

3

,

1

3

)

3

,

1

(
3

)

™

(
2

2

)

™

(

1

1

2

n

1

n

2

3

1

3

Окончательное значение искомых величин может быть 

определено с помощью следующих соотношений:

°

°

°

¯

°°

°

®

­

.

2

x

x

x

.

.

.

;

2

x

x

x

)

n

,

2

(

)

n

,

1

(
n

n

)

3

,

2

(

)

3

,

1

(
3

3

Пример. Разработана модель для прогнозирования четырех 

характеристик (показателей) системы. В ходе эксплуатации 
модели вычисляются математические ожидания и средние 
квадратические отклонения ошибок указанных показателей, а 
также коэффициенты корреляции между ними.

В момент времени t

i

 значения этих показателей и характе-

ристик (вычисляемые с помощью модели) приняли значения, 
приведенные в табл. 3.4.

;

;

394

395

Таблица 3.4

x

1

x

2

x

3

x

4

x

i

10

20

15

30

i

ɯ

V

2

4

3

4

Коэффициенты корреляции: r

1,3

 = r

2,3

 = r

1,4

 = r

2,4

 = 0,8. 

В этот же момент времени были получены фактические 

значения показателей x

1

(Ф)

 = 8, x

2

(Ф)

 = 22.

Выполнить пассивную коррекцию результатов моделиро-

вания.

1. x

1

(Ф)

 = 8, x

2

(Ф)

 = 22.

2. Вычисляются уточненные значения параметра х

3

:

;

4

,

17

)

10

8

(

2

3

8

,

0

15

)

x

x

(

r

x

x

1

)

Ɏ

(

1

x

x

13

3

)

3

,

1

(
3

1

3

V

V

.

8

,

13

)

20

–

22

(

4

3

8

,

0

–

15

)

x

–

x

(

r

–

x

x

2

)

Ɏ

(
2

x

x

23

3

)

3

,

2

(
3

2

3

V

V

3. Вычисляются уточненные значения параметра х

4

:

;

2

,

33

)

10

8

(

2

4

8

,

0

30

)

x

x

(

r

x

x

1

)

Ɏ

(

1

x

x

14

4

)

4

,

1

(
4

1

4

V

V

.

4

,

28

)

20

22

(

4

4

8

,

0

30

)

x

x

(

r

x

x

2

)

Ɏ

(
2

x

x

24

4

)

4

,

2

(
4

2

4

V

V

4. Оцениваются значения комбинированного прогноза па-

раметров х

3

 и х

4

.

х

3

=(17,4+13,8)/2=15,6; х

4

=(33,2+28,4)/2=30,8.

Рассмотрим один из подходов построения корректируемых 

моделей, работающих в реальном масштабе времени.

Если эти модели предназначены для оценки текущих зна-

чений показателей системы, то механизм коррекции может быть 
следующим

1

:

1 

Здесь рассмотрена модель взаимодействия двух систем (Н) и (П), каж-

дая из которых состоит из определенного количества элементов. Для количе-
ственной оценки состояния систем использован метод динамики моментов.

1. Для вычисления показателей состояния системы (m

i

(п)

 и 

m

i

(н)

) разработана и используется ее модель, например, на основе 

дифференциальных уравнений: 

;

,t

R

m

dt

dm

ɧ

n

1

i

)

ɧ

(

j

i

)

ɧ

(

i

j

i

)

ɧ

(

)

ɧ

(

ij

)

ɩ

(
i

¦

F

[

O

,

,

t

R

m

dt

dm

)

ɩ

(

ij

)

ɩ

(

i

)

ɩ

(
ij

n

1

i

(ɩ)

ij

)

ɧ

(
i

ɩ

F

[

O

¦

, 

где 

)

,

t

(

R

),

,

t

(

R

)

ɩ

(
ij

)

ɧ

(
ij

F

F

 — совокупность параметров, харак-

теризующая условия функционирования системы;

)

ɧ

(
ij

)

ɩ

(
ij

ȟ

,

ȟ

, — управления системы;

)

ɩ

(

ij

)

ɧ

(

ij

,

O

O

 — интенсивности воздействия i-го элемента на j-й 

элемент каждой из подсистем.

n

н

, n

п

 — количество элементов подсистем (Н) и (П) соот-

ветственно;

Ввиду наличия методических погрешностей модели теку-

щие численности вычисляются с ошибками.

Для количественной оценки этих ошибок с помощью этой же 

модели оцениваются К

i,j

, D

i

, Г

i,j

 (К

i,j

 — корреляционный момент, 

D

i

 — дисперсия, Г

i,j 

— первый смешанный начальный момент).

2. В начальный момент времени

)

ɩ

(

i

m

=   m

iɮ 

(ɩ)

;  

)

ɧ

(

i

m

=   m

iɮ 

(ɧ)

;     

,

0

;

0

D

;

0

K

0

t

j

i

0

t

i

0

t

j

i

*

где m

iф 

(п)

,

  m

iф 

(н)

 — фактические значения текущих значений 

взаимодействующих элементов системы.

3. В момент ввода корректирующих данных (пассивная 

коррекция):

>

@

0

m

– 

m

k

t

t

)

ɧ

(
ip

)

ɧ

(

ɮ

i

;                       

>

@

0

m

–

m

k

t

t

)

ɩ

(
ip

)

ɩ

(

ɮ

i

; 

0

D

k

t

t

)

ɧ

(
i

;             

0

D

k

t

t

)

ɩ

(
i

;         

,

0

m

m

– 

k

t

t

)

ɩ

(
i

)

ɧ

(
i

j

i

*