Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 22676
Скачиваний: 342
400
401
ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɢ ɮɭɧɤɰɢɨɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ
ȼɪɟɦɹ,
ɫɭɬɤɢ
ɋɪɟɞɧɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɢ
ɂɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɢ
ɜɨɡɞɟɣɫɬɜɢɣ
(ɪɚɫɱɺɬɧɵɟ
ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ)
Ɏɚɤɬɢɱɟɫɤɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟɣ (ɩɚɫɫɢɜɧɚɹ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɹ)
ɍɫɥɨɜɧɵɟ
ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ
(ɚɤɬɢɜɧɚɹ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɹ)
Ɏɚɤɬɢɱɟɫɤɢɟ
ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟɣ
(ɚɤɬɢɜɧɚɹ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɹ)
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɢ ɩɨɫɥɟ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ
m
(ɧ)
m
(ɩ)
D
ɧ
D
ɩ
m
ɮ
(ɧ)
m
ɮ
(ɩ)
m
ɮ
(ɧ)
m
ɮ
(ɩ)
D
ɧ
*
D
ɩ
*
0
1000
1500 0 0
0,03
0,05
1000 1500
0,03
0,05
1000
1500 0 0
1
925
1470 75 30
0,03
0,05
925 1470
0,03
0,05
925 1470 75 30
2
851,5
1442,25 148,5 57,75
0,03 0,05 851,5 1442,25 0,03
0,05
851,5 1442,25 148,5 57,75
3
779,3875 1416,70 220,612 83,295
0,03 0,05 779,387
1416,705 0,03 0,05 779,38 1416,705 220,61
83,29
4
708,5523 1393,32 291,447 106,676
0,03 0,05 708,552 1393,32338 0,03 0,05 708,55 1393,32 291,4
106,67
5
638,8861 1372,06 361,113 127,933
0,03 0,05 638,886 1372,06681 0,03 0,05 638,88 1372,06
361
127
6
570,2827 1352,9 429,717 147,099
0,03 0,05
650
1100 0,03 0,05 650
1100
0
0
7
502,6377 1335,79 497,362 164,208
0,03 0,05
595
1080,5 0,102
0,053 591,7
1033,7 54,7861 60,3534
8
435,8481 1320,71 564,151 179,287
0,03 0,05 540,975
1062,65 0,102
0,053 536,91
973,34 106,3735 115,1186
9
369,8125 1307,63 630,187 192,362
0,03 0,05 487,842 1046,42075 0,102
0,053 485,32 918,58138 155,0583 164,6219
10
304,4307 1296,54 695,569 203,457
0,03 0,05 435,521 1031,78548 0,102
0,053 436,64 869,07807 201,1194 209,1594
11
239,6035 1287,41 760,396 212,590
0,03 0,05 383,932 1018,71983 0,102
0,053 390,58 824,54062 244,8201 248,9986
12
175,233 1280,22 824,767 219,778
0,03 0,05 332,996 1007,20187 0,102
0,053 346,87 784,70140 286,4092 284,3804
13
111,2219 1274,96 888,778 225,035
0,03 0,05 282,636 997,21198 0,102
0,053 305,29 749,31964 326,1232
315,52
14
47,47369 1271,62 952,526 228,371
0,03 0,05 232,775 988,732896 0,102
0,053 265,57 718,17999 364,1867 342,6088
15
-16,1077 1270,20 1016,10 229,796
0,03 0,05 183,338 981,749631 0,102
0,053 227,51 691,09115 400,8146 365,8152
ɧɩ
O
ɩɧ
O
*
ɩɧ
Ȝ
*
ɧɩ
Ȝ
Рис. 3.11. Рабочий лист для расчета параметров коррекции модели системы:
Рис. 3.12. Зависимости показателей, характеризующих состояние системы от времени
* 1. Точка коррекции модели — 6 сут.; до точки коррекции фактические показатели системы
равны расчётным, а расчётные управления равны условным.
2. Условные управления учтены так:
=
Ȝ
*
ɧɩ
)
(
)
ɧ
(
j
i
)
ɧ
(
j
i
)
ɧ
(
ij
[
'
[
O
=
Ȝ
*
ɩɧ
)
ȟ
ǻ
+
ȟ
(
Ȝ
)
ɩ
(
ij
j
i
)
ɩ
(
)
ɩ
(
ij
.
;
400
401
ɉɨɤɚɡɚɬɟɥɢ ɮɭɧɤɰɢɨɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ
ȼɪɟɦɹ,
ɫɭɬɤɢ
ɋɪɟɞɧɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɢ
ɂɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɢ
ɜɨɡɞɟɣɫɬɜɢɣ
(ɪɚɫɱɺɬɧɵɟ
ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ)
Ɏɚɤɬɢɱɟɫɤɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟɣ (ɩɚɫɫɢɜɧɚɹ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɹ)
ɍɫɥɨɜɧɵɟ
ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ
(ɚɤɬɢɜɧɚɹ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɹ)
Ɏɚɤɬɢɱɟɫɤɢɟ
ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟɣ
(ɚɤɬɢɜɧɚɹ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɹ)
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɢ ɩɨɫɥɟ
ɤɨɪɪɟɤɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ
m
(ɧ)
m
(ɩ)
D
ɧ
D
ɩ
m
ɮ
(ɧ)
m
ɮ
(ɩ)
m
ɮ
(ɧ)
m
ɮ
(ɩ)
D
ɧ
*
D
ɩ
*
0
1000
1500 0 0
0,03
0,05
1000 1500
0,03
0,05
1000
1500 0 0
1
925
1470 75 30
0,03
0,05
925 1470
0,03
0,05
925 1470 75 30
2
851,5
1442,25 148,5 57,75
0,03 0,05 851,5 1442,25 0,03
0,05
851,5 1442,25 148,5 57,75
3
779,3875 1416,70 220,612 83,295
0,03 0,05 779,387
1416,705 0,03 0,05 779,38 1416,705 220,61
83,29
4
708,5523 1393,32 291,447 106,676
0,03 0,05 708,552 1393,32338 0,03 0,05 708,55 1393,32 291,4
106,67
5
638,8861 1372,06 361,113 127,933
0,03 0,05 638,886 1372,06681 0,03 0,05 638,88 1372,06
361
127
6
570,2827 1352,9 429,717 147,099
0,03 0,05
650
1100 0,03 0,05 650
1100
0
0
7
502,6377 1335,79 497,362 164,208
0,03 0,05
595
1080,5 0,102
0,053 591,7
1033,7 54,7861 60,3534
8
435,8481 1320,71 564,151 179,287
0,03 0,05 540,975
1062,65 0,102
0,053 536,91
973,34 106,3735 115,1186
9
369,8125 1307,63 630,187 192,362
0,03 0,05 487,842 1046,42075 0,102
0,053 485,32 918,58138 155,0583 164,6219
10
304,4307 1296,54 695,569 203,457
0,03 0,05 435,521 1031,78548 0,102
0,053 436,64 869,07807 201,1194 209,1594
11
239,6035 1287,41 760,396 212,590
0,03 0,05 383,932 1018,71983 0,102
0,053 390,58 824,54062 244,8201 248,9986
12
175,233 1280,22 824,767 219,778
0,03 0,05 332,996 1007,20187 0,102
0,053 346,87 784,70140 286,4092 284,3804
13
111,2219 1274,96 888,778 225,035
0,03 0,05 282,636 997,21198 0,102
0,053 305,29 749,31964 326,1232
315,52
14
47,47369 1271,62 952,526 228,371
0,03 0,05 232,775 988,732896 0,102
0,053 265,57 718,17999 364,1867 342,6088
15
-16,1077 1270,20 1016,10 229,796
0,03 0,05 183,338 981,749631 0,102
0,053 227,51 691,09115 400,8146 365,8152
ɧɩ
O
ɩɧ
O
*
ɩɧ
Ȝ
*
ɧɩ
Ȝ
Рис. 3.11. Рабочий лист для расчета параметров коррекции модели системы:
Рис. 3.12. Зависимости показателей, характеризующих состояние системы от времени
* 1. Точка коррекции модели — 6 сут.; до точки коррекции фактические показатели системы
равны расчётным, а расчётные управления равны условным.
2. Условные управления учтены так:
=
Ȝ
*
ɧɩ
)
(
)
ɧ
(
j
i
)
ɧ
(
j
i
)
ɧ
(
ij
[
'
[
O
=
Ȝ
*
ɩɧ
)
ȟ
ǻ
+
ȟ
(
Ȝ
)
ɩ
(
ij
j
i
)
ɩ
(
)
ɩ
(
ij
.
;
402
403
Анализ полученных результатов (рис. 3.12) показывает, что
точность прогнозирования состояния системы при выполнении ее
активной коррекции возрастает в данных условиях в 3–3,5 раза.
11.6. Верификация моделей
экономических систем
Проверка адекватности модели реальному процессу осу-
ществляется в случаях, когда можно определить результаты
процесса с использованием натурных моделей.
Задача проверки формулируется следующим образом.
1. Пусть в ходе реальныой деятельности получено (n) ха-
рактеристик (результатов) исследуемого процесса. Обозначим
их
k
n
K
. Количество опытов на реальной системе N
1
.
2. Эти же характеристики получают с помощью модели
экономического процесса (N
2
и
K
n
k
*
).
3. По результатам фактических и моделируемых характе-
ристик процесса требуется оценить адекватность модели.
Последовательность оценки адекватности:
По выборкам вычисляются оценки математического ожи-
дания и дисперсии характеристик процесса, полученных в ходе
натурных испытаний и с помощью модели.
K
N
K
n
n
k
N
k
k
¦
1
1
1
1
;
K
N
K
n
n
k
N
k
k
*
*
¦
1
2
1
2
;
D
N
K
K
n
n
n
k
N
k
k
k
¦
1
1
1
2
1
1
;
D
N
K
K
nk
k
k
n
n
k
N
*
*
*
¦
1
1
2
2
1
2
.
Основой проверки гипотезы является разность между фак-
тическими значениями и значениями, полученными в ходе моде-
лирования. Дисперсия этой разности определяется по формуле
D
N
D
N
D
N
N
n
n
n
k
k
1
2
1
2
2
*
.
Для окончательной оценки адекватности модели исполь-
зуется t-статистика, величина которой оценивается с помощью
следующего соотношения:
2
1
n
2
1
*
n
n
cɬɚɬ
N
N
D
N
N
K
K
t
k
k
.
Если значение t
стат
меньше критического значения статисти-
ки, то модель адекватно отражает реальный процесс. Критиче-
ское значение t
стат
находится с помощью специальных таблиц,
исходными данными для использования которых является
количество степеней свободы N
1
+N
2
-2 и
-потребная точность
моделирования.
Результаты расчетов можно представить в виде табл. 3.6.
Таблица 3.6
Обозначение
Значения выборки
Среднее
D
п
D
сп
t
стат
результата
К = 1 К = 2 К = 3 К = 4 К= 5 значение
Для решения задачи верификации модели экономического
процесса с помощью технологий “Excel” используется специаль-
ная встроенная функция — f(x) — “Статистические” — ТТЕСТ.
Функция ТТЕСТ используется, чтобы определить, насколько
вероятно, что две выборки взяты из генеральных совокупностей,
которые имеют одно и то же среднее значение.
402
403
Анализ полученных результатов (рис. 3.12) показывает, что
точность прогнозирования состояния системы при выполнении ее
активной коррекции возрастает в данных условиях в 3–3,5 раза.
11.6. Верификация моделей
экономических систем
Проверка адекватности модели реальному процессу осу-
ществляется в случаях, когда можно определить результаты
процесса с использованием натурных моделей.
Задача проверки формулируется следующим образом.
1. Пусть в ходе реальныой деятельности получено (n) ха-
рактеристик (результатов) исследуемого процесса. Обозначим
их
k
n
K
. Количество опытов на реальной системе N
1
.
2. Эти же характеристики получают с помощью модели
экономического процесса (N
2
и
K
n
k
*
).
3. По результатам фактических и моделируемых характе-
ристик процесса требуется оценить адекватность модели.
Последовательность оценки адекватности:
По выборкам вычисляются оценки математического ожи-
дания и дисперсии характеристик процесса, полученных в ходе
натурных испытаний и с помощью модели.
K
N
K
n
n
k
N
k
k
¦
1
1
1
1
;
K
N
K
n
n
k
N
k
k
*
*
¦
1
2
1
2
;
D
N
K
K
n
n
n
k
N
k
k
k
¦
1
1
1
2
1
1
;
D
N
K
K
nk
k
k
n
n
k
N
*
*
*
¦
1
1
2
2
1
2
.
Основой проверки гипотезы является разность между фак-
тическими значениями и значениями, полученными в ходе моде-
лирования. Дисперсия этой разности определяется по формуле
D
N
D
N
D
N
N
n
n
n
k
k
1
2
1
2
2
*
.
Для окончательной оценки адекватности модели исполь-
зуется t-статистика, величина которой оценивается с помощью
следующего соотношения:
2
1
n
2
1
*
n
n
cɬɚɬ
N
N
D
N
N
K
K
t
k
k
.
Если значение t
стат
меньше критического значения статисти-
ки, то модель адекватно отражает реальный процесс. Критиче-
ское значение t
стат
находится с помощью специальных таблиц,
исходными данными для использования которых является
количество степеней свободы N
1
+N
2
-2 и
-потребная точность
моделирования.
Результаты расчетов можно представить в виде табл. 3.6.
Таблица 3.6
Обозначение
Значения выборки
Среднее
D
п
D
сп
t
стат
результата
К = 1 К = 2 К = 3 К = 4 К= 5 значение
Для решения задачи верификации модели экономического
процесса с помощью технологий “Excel” используется специаль-
ная встроенная функция — f(x) — “Статистические” — ТТЕСТ.
Функция ТТЕСТ используется, чтобы определить, насколько
вероятно, что две выборки взяты из генеральных совокупностей,
которые имеют одно и то же среднее значение.
404
405
Рассмотрим синтаксис функции ТТЕСТ, взятый из спра-
вочной системы Excel.
ТТЕСТ(массив1;массив2;хвосты;тип), Массив1 — первое
множество данных. Массив2 — второе множество данных.
Хвосты — число хвостов распределения. Если хвосты = 1, то
функция ТТЕСТ использует одностороннее распределение. Если
хвосты = 2, то функция ТТЕСТ использует двустороннее рас-
пределение. Тип — вид исполняемого t-теста (табл. 3.7).
Таблица 3.7
Тип
Выполняемый тест
1
Парный
2
Двухвыборочный с равными дисперсиями (гомоскедастический)
3
Двухвыборочный с неравными дисперсиями (гетероскедастический)
Если массив 1 и массив 2 имеют различное число точек
данных, а тип = 1 (парный), то функция ТТЕСТ возвращает
значение ошибки #Н/Д.
Аргументы хвосты и тип усекаются до целых.
Если хвосты или тип не являются числом, то функция
ТТЕСТ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если хвосты имеет значение, отличное от 1 и 2, то функция
ТТЕСТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Пример. Выполнить верификацию результатов моделиро-
вания системы для показателей, приведенных в табл. 3.8.
Таблица 3.8
Номер
реализации
А (результаты,
полученные с помощью
модели экономического
процесса)
B (результаты ,
полученные с помощью
натурного эксперимента)
1
3
6
2
4
19
3
5
3
Номер
реализации
А (результаты,
полученные с помощью
модели экономического
процесса)
B (результаты,
полученные с помощью
натурного эксперимента)
4
8
2
5
9
14
6
1
4
7
2
5
8
4
17
9
5
1
10
6
6
=ТТЕСТ(A2:A10;B2:B10;2;1) Вероятность, соответствующая парному
критерию Стьюдента, с двухсторонним рас-
пределением (0,196016)
1. Выделите пример в разделе справки. Не выделяйте за-
головок строки или столбца.
2. На листе “Exel” выделите ячейку A1 и нажмите сочетание
клавиш CTRL+V.
3. Чтобы переключиться между просмотром результатов и
просмотром формул, возвращающих эти результаты, нажмите
сочетание клавиш CTRL+` (апостроф) или в меню Сервис укажи-
те на пункт Зависимости формул и выберите Режим проверки
формул.
В результате моделирования системы может быть получен
не один, а несколько показателей. В этом случае количество
анализируемых рядов будет равно количеству показателей и
верификация модели с помощью ТТЕСТА выполняется для
каждой пары показателей. Вероятность соответствия модели
реальной системе (процессу) определяется так
n
1
i
i
ɜɟɪ
Ɋ
Ɋ
, где
n — количество показателей оцениваемых в ходе верификации
модели; Р
i
- вероятность, вычисленная с помощью ТТЕСТА.
Окончание табл. 3.8