Файл: Вдовин Суркова Валентинов Теория систем и системный анализ.pdf

434

435

ность работы, время наиболее раннего начала (позднего начала) 
работы, время наиболее раннего окончания (позднего окончания) 
работы, резервы времени работ (свободный резерв времени рабо-
ты, полный резерв времени работы). Кроме указанных характе-
ристик, каждая работа может характеризоваться затратами сил 
и средств, в том числе и финансовых. Именно последнее обстоя-
тельство делает возможным использование данной программы 
в качестве инструмента финансового планирования. Работа 
характеризуется следующими временными характеристиками:

T

i

oк

= Т

i

н

 ± t

i

,

где  Т

i

н

 — время начала i-й работы; 

Т

i

ок

 — время окончания i-й работы;

t

i

 — продолжительность i-й работы.

Работы могут быть последовательными и параллельными;
•событие — факт завершения одной или нескольких работ. 

Каждое событие характеризуется системой следующих пока-
зателей: номер события; наиболее раннее время наступления 
события; наиболее позднее время наступления события; резерв 
времени события;

•предшествующий событию путь — путь от исходного со-

бытия до данного события; 

•последующий путь — путь от данного события до события 

завершающего; 

•критический путь — путь максимальной продолжитель-

ности от исходного события до завершающего.

Различают два типа сетевых графиков:
•графики, в которых работам комплекса сопоставлены дуги, 

а вершинам — события (сети типа “работа-дуга”);

• графики, в которых работам комплекса сопоставлены 

вершины, а дуги отражают отношения предшествования между 
работами (сети типа “работа-вершина”).

В дальнейшем изложение будем вести применительно к 

сетям типа “работа-дуга”.

При составлении сетевого графика используются три 

основных понятия: работа, событие, путь. Работа представляет 
собой некоторую часть планируемого комплекса операций. Она 
выражается на графике в виде:

— действительной работы, т. е. трудового процесса или дей-

ствия, требующего затрат времени, труда, средств и ресурсов;

—  пассивной работы, не требующей затрат труда и ре-

сурсов, но для своего окончания требующей определенного 
времени- ожидание, отдых работников, отвердение бетона при 
строительстве и т. д.;

— фиктивной работы, не требующей затрат времени, труда 

и расхода ресурсов, но выполняющей роль “связки”, указываю-
щей на то, что какая-то работа (действительная или пассивная) 
не может быть начата, пока не окончена другая работа.

При расчете сетевых графиков числовые показатели фик-

тивных работ условно принимаются равными нулю. Работы на 
сетевом графике изображаются стрелками (дугами), причем 
действительная и пассивная-сплошной чертой, фиктивная-
пунктирной чертой. Над каждой работой могут делаться по-
ясняющие надписи, например, такие, как продолжительность 
работы во времени, требуемый материальный ресурс и т. д. 

Событие есть факт, фиксирующий завершение одной или 

нескольких предшествующих работ и готовность к выполнению 
одной или нескольких последующих работ. Считается, что со-
бытие, в отличие от работы, не является процессом, не требует 
затрат труда и ресурсов, наступает практически мгновенно. 
Различают три вида событий: исходное, промежуточное и за-
вершающее.

Исходное событие обозначает момент начала выполнения 

комплекса работ (комплекса операций). Оно не имеет пред-
шествующих работ. Завершающее событие обозначает момент 
окончания комплекса работ, соответствующий достижению 
конечной цели планируемого процесса,

Если планируемый процесс имеет несколько целей, то сете-

вой график имеет несколько завершающих событий. Промежу-
точные события фиксируют начало и окончание отдельных ра-

436

437

бот, всегда имеют непосредственно предшествующие (входящие) 
и непосредственно следующие (исходящие) работы. События на 
сетевом графике чаще всего обозначаются кружками, реже —
другими геометрическими фигурами. События нумеруются 
(кодируются) целыми положительными числами, начиная от 
исходного и кончая завершающим событием. При этом номер у 
начала любой стрелки должен быть меньше номера у ее конца. 
Каждая из работ (стрелок), таким образом, кодируется дву-
мя числами—номером i у начала стрелки и номером j у конца 
стрелки, т. е. получает код (i,j). Путь есть любая непрерывная 
последовательность работ сетевого графика.

Различают следующие пути: полный, предшествующий, 

последующий.

Полный путь — последовательность работ (стрелок) от ис-

ходного до завершающего события сетевого комплекса. Обычно 
сетевой график имеет несколько полных путей, которые обо-
значаются L

K

.

Предшествующий путь — последовательность работ (стрелок) 

от исходного до рассматриваемого события, обозначается L

i

.

Последующий путь — последовательность работ (стрелок) 

от рассматриваемого до завершающего события, обозначается 
L

п

. Временная длина полного пути представляет собой сумму 

продолжительностей составляющих его работ.

Критический путь  L

кр

 — наиболее продолжительный из 

всех полных путей. Время критического пути обозначается 
через t

кр

.

В сетевых моделях критический путь обязательно суще-

ствует, но не всегда единственный.

Понятия критического пути и критического времени яв-

ляются важнейшими в теории сетевого планирования, так как 
определяют завершение планируемого комплекса работ. Для 
сокращения сроков всего комплекса работ необходимо прежде 
всего принять меры к сокращению сроков выполнения работ, на-
ходящихся на критическом пути и называющихся критическими 
работами. Понятие критического пути и критического времени 
лежит в основе оптимизации сетевого графика по конечному 

времени проведения всего комплекса работ. На графиках работы 
критические пути обозначаются жирными стрелками.

13.2. Разработка сетевой модели системы

В основе построения сетевой модели системы лежат сле-

дующие основные правила:

• в сети не должно быть событий (кроме исходного), в кото-

рые не входит ни одна дуга;

• в сети не должно быть события (кроме завершающего), из 

которого не выходит ни одной дуги;

•сеть не должна содержать контуров;

•любая пара событий сетевого графика может быть соеди-

нена не более чем одной дугой. Для изображения параллельно 
выполняемых работ с одними и теми же предыдущими и по-
следующими событиями строятся дополнительные события и 
фиктивные работы (связи);

• если некоторые работы могут быть начаты до полного 

окончания непосредственно предшествующей им работы, то 
последнюю можно представить как ряд последовательно вы-
полняемых работ, завершающихся определенными событиями.

Пример.  Определить продолжительность всех путей для 

сетевого графика, приведенного на рис. 3.16.

 
 
 
                                                   45 
 
                                                     
                                                           30                         100 
                             5 
 
 
 
     20                         30                     20                         60                      20 
 
 
        
                                  40                     30                        40 
 
 
 
 
                                                  30 
 

0 

3

5

2

1 

4

6

8 

9

7

Рис. 3.16. Пример сетевого графика для определения 

продолжительности всех путей

436

437

бот, всегда имеют непосредственно предшествующие (входящие) 
и непосредственно следующие (исходящие) работы. События на 
сетевом графике чаще всего обозначаются кружками, реже —
другими геометрическими фигурами. События нумеруются 
(кодируются) целыми положительными числами, начиная от 
исходного и кончая завершающим событием. При этом номер у 
начала любой стрелки должен быть меньше номера у ее конца. 
Каждая из работ (стрелок), таким образом, кодируется дву-
мя числами—номером i у начала стрелки и номером j у конца 
стрелки, т. е. получает код (i,j). Путь есть любая непрерывная 
последовательность работ сетевого графика.

Различают следующие пути: полный, предшествующий, 

последующий.

Полный путь — последовательность работ (стрелок) от ис-

ходного до завершающего события сетевого комплекса. Обычно 
сетевой график имеет несколько полных путей, которые обо-
значаются L

K

.

Предшествующий путь — последовательность работ (стрелок) 

от исходного до рассматриваемого события, обозначается L

i

.

Последующий путь — последовательность работ (стрелок) 

от рассматриваемого до завершающего события, обозначается 
L

п

. Временная длина полного пути представляет собой сумму 

продолжительностей составляющих его работ.

Критический путь  L

кр

 — наиболее продолжительный из 

всех полных путей. Время критического пути обозначается 
через t

кр

.

В сетевых моделях критический путь обязательно суще-

ствует, но не всегда единственный.

Понятия критического пути и критического времени яв-

ляются важнейшими в теории сетевого планирования, так как 
определяют завершение планируемого комплекса работ. Для 
сокращения сроков всего комплекса работ необходимо прежде 
всего принять меры к сокращению сроков выполнения работ, на-
ходящихся на критическом пути и называющихся критическими 
работами. Понятие критического пути и критического времени 
лежит в основе оптимизации сетевого графика по конечному 

времени проведения всего комплекса работ. На графиках работы 
критические пути обозначаются жирными стрелками.

13.2. Разработка сетевой модели системы

В основе построения сетевой модели системы лежат сле-

дующие основные правила:

• в сети не должно быть событий (кроме исходного), в кото-

рые не входит ни одна дуга;

• в сети не должно быть события (кроме завершающего), из 

которого не выходит ни одной дуги;

•сеть не должна содержать контуров;

•любая пара событий сетевого графика может быть соеди-

нена не более чем одной дугой. Для изображения параллельно 
выполняемых работ с одними и теми же предыдущими и по-
следующими событиями строятся дополнительные события и 
фиктивные работы (связи);

• если некоторые работы могут быть начаты до полного 

окончания непосредственно предшествующей им работы, то 
последнюю можно представить как ряд последовательно вы-
полняемых работ, завершающихся определенными событиями.

Пример.  Определить продолжительность всех путей для 

сетевого графика, приведенного на рис. 3.16.

 
 
 
                                                   45 
 
                                                     
                                                           30                         100 
                             5 
 
 
 
     20                         30                     20                         60                      20 
 
 
        
                                  40                     30                        40 
 
 
 
 
                                                  30 
 

0 

3

5

2

1 

4

6

8 

9

7

Рис. 3.16. Пример сетевого графика для определения 

продолжительности всех путей

438

439

Сетевой график имеет 8 полных путей. Номера полных 

путей, коды работ каждого пути и их продолжительности при-
ведены в табл. 3.17.

 Таблица 3.17 

Полные пути

L

k

Коды работ полных путей

 (i,j)

k

Продолжительности

полных путей t (L

K

)

L

1

 (0,1), (1,2), (2,5), (5,8), (8,9)

190

L

2

 (0,1), (1,2), (2,6), (6,8), (8,9)

135

L

3

 (0,1), (1,4), (4,5), (5,8), (8,9)

170

L

4

 (0,1), (1,4), (4,6), (6,8), (8,9)

150

L

5

 (0,1), (1,3), (3,4), (4,5), (5,8), (8,9)

180

L

6

 (0,1), (1,3), (3,4), (4,6), (6,8), (8,9)

160

L

7

 (0,1), (1,3), (3,6), (6,8), (8,9)

170

L

8

 (0,1), (1,3), (3,7), (7,8), (8,9)

150

Наибольшим по продолжительности является полный 

путь L

1

, так как max {t (L

k

)}={190, 135, 170, 150, 180, 160, 170, 

150}=190.

Следовательно, L

1

 является критическим путем сетевого 

графика с критическим временем t

кр

=190 мин.

В заключение отметим, что построение сетевого графика 

является наиболее ответственной и трудоемкой частью работы 
по сетевому планированию. Она требует привлечения специали-
стов разных направлений.

13.3. Расчет параметров сетевой модели

Основу всех систем СП составляет временнáя сетевая модель 

комплекса работ, так как время выступает здесь в качестве глав-
ной характеристики процесса. Поэтому расчет сетевого графика 
подразумевает расчет временных параметров и осуществляется 
на основе заданных оценок продолжительности отдельных работ. 
К временным параметрам систем СП относятся: продолжитель-
ность критического пути, наиболее ранние из возможных и наи-
более поздние из допустимых времена наступления событий и 

все резервы времени. Методику расчета основных временных 
параметров рассмотрим на примере приведенного ниже сетевого 
графика (рис. 3.17).

22

 30

12

 40

18

 22

10

                   30                         30                            32                               48 

15

25

                                                             35 

                            9

                                                20 

5

4

3

6

2

9

7

8

0

1

11

10

Рис. 3.17. Пример сетевого графика 

для расчета временных параметров

Продолжительность критического пути
Сетевой график имеет 7 полных путей 
L

1

 (0, 1, 4, 5, 9, 11), t (L

1

)= 140;

L

2

 (0, l, 5, 9, 11), t (L

2

)=100;

L

3

 (0, 1, 4, 5, 10, 11), t (L

3

)=120;

L

4

 (0, 1, 5, 10, 11), t (L

4

)=80;

L

5

 (0, 2, 7, 8, 9, 11), t (L

5

)=170;

L

6

 (0, 2, 8, 9, 11), t (L

6

)=140;

L

7

 (0, 3, 6, 7, 8, 9, 11), t (L

7

) =159.

Критическим является полный путь L

5

, так как его продол-

жительность t{L

5

) максимальна.

Времена наступления событий
В общем случае любому событию i из сетевого графика пред-

шествует несколько путей. Например, событию 8 предшествует 
три пути: (0, 2, 8); (0, 2, 7, 8) и (0, 3, 6, 7, 8). Событие i произойдет в 

438

439

Сетевой график имеет 8 полных путей. Номера полных 

путей, коды работ каждого пути и их продолжительности при-
ведены в табл. 3.17.

 Таблица 3.17 

Полные пути

L

k

Коды работ полных путей

 (i,j)

k

Продолжительности

полных путей t (L

K

)

L

1

 (0,1), (1,2), (2,5), (5,8), (8,9)

190

L

2

 (0,1), (1,2), (2,6), (6,8), (8,9)

135

L

3

 (0,1), (1,4), (4,5), (5,8), (8,9)

170

L

4

 (0,1), (1,4), (4,6), (6,8), (8,9)

150

L

5

 (0,1), (1,3), (3,4), (4,5), (5,8), (8,9)

180

L

6

 (0,1), (1,3), (3,4), (4,6), (6,8), (8,9)

160

L

7

 (0,1), (1,3), (3,6), (6,8), (8,9)

170

L

8

 (0,1), (1,3), (3,7), (7,8), (8,9)

150

Наибольшим по продолжительности является полный 

путь L

1

, так как max {t (L

k

)}={190, 135, 170, 150, 180, 160, 170, 

150}=190.

Следовательно, L

1

 является критическим путем сетевого 

графика с критическим временем t

кр

=190 мин.

В заключение отметим, что построение сетевого графика 

является наиболее ответственной и трудоемкой частью работы 
по сетевому планированию. Она требует привлечения специали-
стов разных направлений.

13.3. Расчет параметров сетевой модели

Основу всех систем СП составляет временнáя сетевая модель 

комплекса работ, так как время выступает здесь в качестве глав-
ной характеристики процесса. Поэтому расчет сетевого графика 
подразумевает расчет временных параметров и осуществляется 
на основе заданных оценок продолжительности отдельных работ. 
К временным параметрам систем СП относятся: продолжитель-
ность критического пути, наиболее ранние из возможных и наи-
более поздние из допустимых времена наступления событий и 

все резервы времени. Методику расчета основных временных 
параметров рассмотрим на примере приведенного ниже сетевого 
графика (рис. 3.17).

22

 30

12

 40

18

 22

10

                   30                         30                            32                               48 

15

25

                                                             35 

                            9

                                                20 

5

4

3

6

2

9

7

8

0

1

11

10

Рис. 3.17. Пример сетевого графика 

для расчета временных параметров

Продолжительность критического пути
Сетевой график имеет 7 полных путей 
L

1

 (0, 1, 4, 5, 9, 11), t (L

1

)= 140;

L

2

 (0, l, 5, 9, 11), t (L

2

)=100;

L

3

 (0, 1, 4, 5, 10, 11), t (L

3

)=120;

L

4

 (0, 1, 5, 10, 11), t (L

4

)=80;

L

5

 (0, 2, 7, 8, 9, 11), t (L

5

)=170;

L

6

 (0, 2, 8, 9, 11), t (L

6

)=140;

L

7

 (0, 3, 6, 7, 8, 9, 11), t (L

7

) =159.

Критическим является полный путь L

5

, так как его продол-

жительность t{L

5

) максимальна.

Времена наступления событий
В общем случае любому событию i из сетевого графика пред-

шествует несколько путей. Например, событию 8 предшествует 
три пути: (0, 2, 8); (0, 2, 7, 8) и (0, 3, 6, 7, 8). Событие i произойдет в