Файл: Образовательное учреждение высшего образования уфимский университет науки и технологий.docx

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«УФИМСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУКИ И ТЕХНОЛОГИЙ»ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙКАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИКурсовая работаАлгоритм построения параметрических рациональных сплайнов для описания произвольныхзамкнутых кривых.
Направление (01.04.02)- Прикладная математика и информатикаВыполнил: студент 2-го курсаФМиИТ факультетаочной формы обучениягруппа ММКиньябаев Фанус РадиковичНаучный руководитель:д-р физ.-мат. наук., проф.Болотнов Анатолий Миронович УФА – 2023

СОДЕРЖАНИЕ

Содержание 2Введение 3

1. 
   Сплайны первой степени, кубические и рациональные сплайны 6
   
   1. 
      Определение сплайна 6
      
   2. 
      Сплайн первой степени 9
      
   3. 
      Определение кубических сплайнов 10
      
   4. 
      Алгоритм построения интерполяционных кубических сплайнов 11
      
   5. 
      Определение рациональных сплайнов 13
      

1.6Алгоритмпостроения интерполяционногорациональногосплайна 141.7.Периодический случай 17

2. 
   Параметрические сплайны 21
   
   1. 
      Интерполяция кривых локальными сплайнами 22
      
   2. 
      Интерполяционный параметрический кубический сплайн 23
      
   3. 
      Интерполяционный параметрический рациональный сплайн 24
      
   4. 
      Метод прогонки 25
      

Списокиспользованных источниковилитературы 32

ВВЕДЕНИЕ

В вычислительной практике при работе с геометрическими объектами,кривымииповерхностями,зачастуювозникаетнеобходимостьиметьихописание, выраженное в универсальных категориях математических моделей.Стандартные способы анализа, доступные в рамках аналитической геометрии, вбольшей степени применимы в отношении простых объектов: прямых, кривых,плоскостей,поверхностей

---

второгопорядка,атакжерядадругих.Приисследованииповерхностейсложнойформы,напервыйпланвыдвигаетсязадачапостроениягладкихприближенийвысокойточности.Вотношениитакихобъектов, частным случаем которых могут быть обводы движителей, корпусавоздушныхиплавающихмашинилопастиэнергетическихустановок,классическиеметодыаналитическойгеометриимогутбытьнедостаточноэффективны. На данный момент оптимальные результаты в решении подобныхзадачпоказываютподходы,основывающиесянасплайнах [14,30].Применение сплайнов или гладких кусочно-полиномиальных функций –достаточноудобныйподходкрешениюнекоторыхзадачвычислительнойматематики, полезный как в теоретических разработках, так и в комплексныхвычислительныхприложениях.Например,данныефункцииотдвухпеременныхактивноиспользуютсявслучаенеобходимостиописанияповерхностейвцифровых системахмоделирования.Задействованиесплайновспособствуетрешениюкомплексныхзадачвприкладнойматематике,которыевызываютзатрудненияприиспользованиидругих способов. Одной из ключевых проблем для исследований в различныхобластях техники, естественных науках, картографии и архитектуре, являетсязадачапредставленияихраненияинформацииогеометрическихобъектах.В ситуациях со средним и выше среднего уровнях сложности, подобныезадачизачастуюрешаютсяграфическимпредставлениемсущностейилипроцессовнаплоскостиввидечертежейиграфиков.Подобныйподходкрешениюпоставленныхзадачнегарантируетсоблюдение

---

требованийкуровнюточности.Применениесплайнов,обладающихсамостоятельностьюиспособныхслужитьбазойдляпостроениятелсбольшейсложностью,позволяет с высокой степенью точности определить вид некоторой функции поизвестнымзначениям.Использованиегладкихкусочно-полиномиальныхфункцийвданныхцелях (как одной, так и многих переменных) позволяет хранить информацию огеометрических объектах в числовой форме с любой точностью. Кроме того,использованиесплайновэффективновслучаекомпьютернойобработкиинформации. Тут на руку играет единая методическая и методологическая база,которая позволяет создавать математическое обеспечение средств машиннойграфики(графопостроителиидисплеи).Моделированиесложныхобъектов(такихкаклопаститурбин,Рисунок1.)сопровождаетсяпроведениемвычислений, которые имеют зависимости с параметром на сетке с крупнымшагом.Вэтойсвязивозникаетнеобходимостьпоследующейинтерполяции,что,какправило,происходитсприменениемгладкихкусочно-полиномиальныхфункций. Дополнительно, значимым аспектом применения сплайн-функций взадачахаппроксимацииявляется«…возможностьрегуляризациизадачиспомощьюсвойствасамогосплайна».ЛопастьгидротурбиныРисунок1Математические модели, подобные представленной, являются значимымисоставляющими комплексного производственного процесса и применяются, вчастности, на этапе технологической подготовки. Согласно тезисам научнойконференции,

---

посвящённой 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова,

«Ключевым звеном подобных систем явились методы математического описания кривых и поверхностей сложной геометрической формы. Достаточно быстро стало ясно, что для кривых и поверхностей сложной формы теоретически разработанные способы представления многочленами и рациональными функциями не подходят, можно было работать только с кусочными многочленными функциями — сплайнами». Математические модели крайне необходимы для работы аппаратного комплекса на современном производстве, начиная со станков с числовым программным управлением и заканчивая современными промышленными роботами.

Заявленная тема, в настоящее время, представляет значительный исследовательский интерес, поскольку в вычислительной практике при работе с геометрическими объектами, кривыми и поверхностями, существует постоянная необходимость иметь их математическое описание. Вместе с тем, сплайны позволяют строить гладкие приближения с высокой точностью для кривых и поверхностей геометрических фигур, в числе которых узлы и детали машин и агрегатов авиационной, энергетической и других отраслей. Стандартные методы сплайн-аппроксимации не дают удовлетворительного решения этой задачи, из-за чего требуется постоянное совершенствование существующих в этой области методов и подходов.

Ключевая идея исследования состоит в построении алгоритмов с автоматическим выбором этих параметров. На основании данной концепции была определена цель выпускной квалификационной работы, которая состоит в разработке алгоритмов и программ

---

длярасчётаинтерполяционногопараметрическогосплайна.Объектомисследованияявляетсяизучениепространствсплайновинахождениенаиболееоптимальногосплайна.

1.   1   2   3   4

---