ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 362
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
203
=
B
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
29. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
C =
C
1
, медианы CM и
C
1
M
1
равны, высоты CH и C
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники ABC
и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники CMH и C
1
M
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,
AMC =
A
1
M
1
C
1
. Если отрезок AM был бы, например, больше отрезка A
1
M
1
, то угол ACM был бы больше угла A
1
C
1
M
1
. Так как AM = BM и A
1
M
1
= B
1
M
1
, то в этом случае BM был бы больше B
1
M
1
, значит, угол BCM был бы больше угла
B
1
C
1
M
1
. Следовательно, угол C был бы больше угла C
1
, что противоречит условию. Аналогично показывается, что отрезок AM не может быть меньше отрезка A
1
M
1
. Таким образом, AM = A
1
M
1
и BM =
B
1
M
1
. Треугольники AMC и A
1
M
1
C
1
, BMC и B
1
M
1
C
1
, равны по двум сторонами углу между ними. Следовательно, AC = A
1
C
1
и BC = B
1
C
1
, значит, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по двум сторонам и углу между ними.
30. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
C =
C
1
, биссектрисы
CD и C
1
D
1
равны, высоты CH и C
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники CDH и C
1
D
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,
CDH =
C
1
D
1
H
1
. Значит,
ADC =
A
1
D
1
C
1
. Треугольники ADC и A
1
D
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AC = A
1
C
1
,
A =
A
1
204
Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
31. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства треугольников.
Рассмотрим треугольник ABC. Проведем окружность с центром в середине M стороны BC и радиусом AM. Обозначим A
1
точку пересечения этой окружности со стороной AC. В треугольниках ABC и
A
1
BC
С – общий, медианы AM и A
1
M равны, высота BH –общая.
Однако треугольники ABC и A
1
BC не равны.
32. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
C =
C
1
, медианы AM и
A
1
M
1
равны, высоты AH и A
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольниках AСH и A
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Следовательно, AC = A
1
C
1
и CH = C
1
H
1
Прямоугольные треугольниках AMH и A
1
M
1
H
1
равны по катету и гипотенузе. Следовательно, MH = M
1
H
1
, значит, CM = C
1
M
1
. Тогда BC =
B
1
C
1
. Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
33. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
C =
C
1
, биссектрисы
AD и A
1
D
1
равны, высоты AH и A
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
205
Действительно, прямоугольные треугольники AСH и A
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Следовательно, AC = A
1
C
1
и
CAH =
C
1
A
1
H
1
. Прямоугольные треугольники ADH и A
1
D
1
H
1
равны по катету и гипотенузе. Следовательно,
DAH =
D
1
A
1
H
1
. Значит,
CAD =
C
1
A
1
D
1
, тогда и
A =
A
1
. Следовательно, треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
34. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
C =
C
1
, биссектрисы
CD и C
1
D
1
равны, высоты BH и B
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники BСH и B
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Следовательно, BC = B
1
C
1
. Треугольники BCD
и B
1
C
1
D
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
B =
B
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
35. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
соответственно равны высоты AH и A
1
H
1
, BG и B
1
G
1
, CF и C
1
F
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a
1
, b
1
,
c
1
, а соответствующие высоты h
a
, b
b
, h
c
и h
1a
, h
1b
, h
1c
. Имеют место равенства ah
a
= bh
b
= ch
c
и a
1
h
1a
= b
1
h
1b
= c
1
h
1c
. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства
1 1
1
a
b
c
a
b
c
, из которых следует, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.
206 36. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
соответственно равны медианы AK и A
1
K
1
, BL и B
1
L
1
, CM и C
1
M
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны. Медианы OM и O
1
M
1
треугольников ABO и A
1
B
1
O
1
равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников. По признаку равенства треугольников
(см. задачу 3 данного раздела) треугольники ABO и A
1
B
1
O
1
равны, значит, AB = A
1
B
1
. Аналогично доказывается, что BC = B
1
C
1
и AC = A
1
C
1
Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по трем сторонам.
37. Повернем треугольник ACD вокруг вершины C на угол 60
о против часовой стрелки. Вершина A перейдет в вершину B, а D – в E.
Середина F отрезка AD перейдет в середину G отрезка BE.
Следовательно, треугольник CFG – равнобедренный с углом C, равным
60
о
. Значит, он равносторонний.
207
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3. Соотношения между элементами треугольника
Уровень В
45.
Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то из неравенства AB > BC следует неравенство
BAC <
BCA. Значит, для соответствующих смежных углов выполняется неравенство
1 >
2.
46.
Из неравенства
1 >
2 следует неравенство
BAC <
BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то выполняется неравенство AB > BC.
47.
В треугольниках AOC и BOD углы AOC и BOD равны как вертикальные. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из неравенства
1 <
2 следует неравенство
A <
B.
208 48.
В треугольниках AOC и BOD углы AOC и BOD равны как вертикальные. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из неравенства
A <
B следует неравенство
1<
2.
49.
Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и ее точку пересечения с прямой AB обозначим E. Так как
3 <
4 и
3 =
ACE, то точка E будет внутренней точкой отрезка AB. Четырехугольник ADCE – параллелограмм, следовательно, CD = AE < AB.
50.
На отрезке AB возьмем точку E так, что AE = CD. Четырехугольник
ADCE – параллелограмм. Следовательно,
3 =
ACE, значит,
3 <
4.
209 51.
В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольник ABC
– равнобедренный, следовательно,
BAC =
BCA.В треугольнике ACD
AD < CD, следовательно,
DAC >
DCA. Значит,
1 >
2.
52.
В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольник ABC
– равнобедренный, следовательно,
BAC =
BCA.Из неравенства
1 >
2 следует неравенство
DAC >
DCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ACD выполняется неравенство AD < CD.
53.
В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то
DAC >
DCA и
BAC >
BCA. Значит, в четырехугольнике ABCD
A >
C.
210 54.
В четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольники
ABC и ADC равны (по трем сторонам). Следовательно,
BAC =
DAC,
BCA =
DCA. Значит, из неравенства
A >
C следует неравенство
BAC >
BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB < BC.
55.
Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC выполняется неравенство
ACB <
ABC.
Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно,
DCB =
DBC.
Значит,
ACD <
ABD.
56.
Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно,
DCB =
DBC.
Значит,
ACB <
ABC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > AB.
211 57.
Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC выполняется неравенство
BAC <
BCA.
Треугольник CDE – равнобедренный, следовательно,
DEC =
DCE. Углы
BCA и DCE равны как вертикальные. Значит,
BAC <
DEC.
58.
Треугольник CDE – равнобедренный, следовательно,
DEC =
DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит,
BAC <
BCA.
Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB > BC.
59.
Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно,
B =
C. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из равенства углов B, C инеравенства
1 >
2 следует неравенство
3 >
4.
212 60.
Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно,
B =
C. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, то из равенства углов B, C инеравенства
3 >
4 следует неравенство
1 >
2.
61.
Обозначим внешние углы треугольника ABC при вершинах B и C
соответственно 2 и 3. Тогда
3 =
A +
B =
A + (180
o
–
2).
Откуда
2 +
3 =
A + 180
o
62.
Пусть в треугольнике ABC
C =
A +
B. Учитывая, что
A
+
B +
C = 180
o
, получаем 2
С = 180
о
, следовательно,
C = 90
o
, т.е. треугольник ABC – прямоугольный.
213 63.
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC
A = 30
o
, AC – гипотенуза. Рассмотрим треугольник ABD, равный треугольнику ABC, такой, что вершины C и D лежат по разные стороны от прямой AB.В треугольнике ACD AC = AD,
CAD = 60
o
. Следовательно, этот треугольник – равносторонний. Так как отрезок BC равен половине CD, а СD = AC, то BC равен половине AC.
64.
Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике ABC имеем: AB < AC + BC.
Прибавляя к обеим частям этого неравенства AB, получим 2AB < AB +
AC + BC. Следовательно, AB <
1 2
( AB + AC+ BC).
65.
Пусть CD – биссектриса внешнего угла при вершине C
равнобедренного треугольника ABC (AC = BC).Так как этот внешний угол равен сумме равных углов A и B, то угол BCD равен углу B. Эти углы являются накрест лежащими, значит, CD параллельна AB.