ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 365
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
164 62.
В треугольнике CDE угол D равен 95
о
, угол E равен 40
о
Значит, угол C равен 45
о
. В треугольнике ABC угол A равен 45
о
, угол C
равен 45
о
. Значит, угол B равен 90
о
. Следовательно, прямые a и b
перпендикулярны.
63.
В треугольнике EFG угол E равен 55
о
. В треугольнике
CDE угол C равен 50
о
. В треугольнике ABC угол B равен 90
о
Следовательно, прямые a и b перпендикулярны.
64.
В пятиугольнике ABEDC
B = 115
o
,
E = 100
o
,
D =
100
o
,
C = 135
o
. Так как сумма углов пятиугольника равна 540
о
, угол A
равен 90
о
. Следовательно, прямые a и b перпендикулярны.
165 65.
Пусть a и b – центрально-симметричные прямые относительно центра O. Точки B
1
, B
2
центрально-симметричны соответственно точкам A
1
, A
2
. Тогда треугольники OA
1
A
2
и OB
1
B
2
равны (по первому признаку равенства треугольников). Следовательно, угол OA
1
A
2
равен углу OB
1
B
2
. Так как эти углы являются накрест лежащими, прямые a и b параллельны.
66.
Пусть прямая b получена поворотом прямой a вокруг точки O на 90
о по часовой стрелке. Опустим из точки O на прямую a
перпендикуляр OA. При повороте он перейдет в отрезок OB. Так как поворот сохраняет углы между прямыми, то
OB
будет перпендикулярен прямой b. В четырехугольнике AOBC три угла прямые, следовательно, угол C также прямой, т.е. прямые a и b
перпендикулярны.
67.
Пусть a и b – параллельные прямые, A
1
B
1
, A
2
B
2
– перпендикуляры, опущенные из точек прямой a на прямую b. Тогда прямые A
1
B
1
, A
2
B
2
параллельны. Значит, A
1
A
2
B
2
B
1
– прямоугольник и, следовательно, отрезки A
1
B
1
, A
2
B
2
равны.
166 68.
Пусть A
1
B
1
, A
2
B
2
– перпендикуляры, опущенные из точек
A
1
, A
2
на прямую b. Из равенства отрезков A
1
B
1
и A
2
B
2
следует, что
A
1
A
2
B
1
B
2
– прямоугольник. Следовательно, прямые a и b параллельны.
167
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. Равенство треугольников
Уровень В
7.
Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (АВ=АС, АD = AE, угол A общий). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и CE этих треугольников.
8.
Треугольники OCE и ODE равны по первому признаку равенства треугольников (OC = OD,
COE =
DOE, сторона OE – общая).
Следовательно, равны соответствующие стороны EC и ED этих треугольников.
9.
Треугольники ABD и ACE равны по первому признаку равенства треугольников (AC = AD, АВ=АE,угол A – общий). Следовательно, равны соответствующие углы ABD и AEC. Из равенства этих углов следует равенство смежных с ними углов CBD и DEC.
168 10.
Треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (AO = BO, DO=CO,
AOD =
BOC). Следовательно, равны соответствующие стороны AD и ВС этих треугольников.
11.
Треугольник AOB – равнобедренный, следовательно,
OAB =
OBA. Учитывая равенство углов DAC и DBC, получаем равенство углов
ABD и BAC. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона,
ABC =
BAD,
BAC =
ABD).
Следовательно, равны соответствующие углы C и D этих треугольников.
12.
Треугольник AOB – равнобедренный, следовательно,
OAB =
OBA. Учитывая равенство углов DAC и DBC, получаем равенство углов
ABD и BAC. Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона,
ABC =
BAD,
BAC =
ABD).
Следовательно, равны соответствующие стороны AC = BD этих треугольников.
169 13.
Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных углов ACB
и DFE. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF.
Треугольники ACB и DFE равны по второму признаку равенства треугольников (AC = DF,
ВAC =
EDF,
ACB =
DFE).
14.
Треугольники AOC и DOB равны по второму признаку равенства треугольников (OC = OB,
ACO =
DBO,
AOC =
DOB).
15.
Треугольники AOB и COD равны по второму признаку равенства треугольников (AO = CO,
OAB =
OCD,
AOB =
COD).
170 16.
Из равенства углов 1 и 2 следует равенство смежных с ними углов ACO и BDO. Треугольники ACO и BDO равны по второму признаку равенства треугольников (CO = DO,
ACO =
BDO,
AOC =
BOD).
Следовательно, равны соответствующие стороны OA и OB этих треугольников.
17.
Треугольник ABC – равнобедренный. Следовательно,
B =
C.
Треугольники ABE и ACD равны по второму признаку равенства треугольников (AB = AC,
1=
2,
B =
C). Следовательно, равны соответствующие стороны AE и AD этих треугольников. Треугольник AED – равнобедренный. Следовательно,
3 =
4.
18.
Треугольник ADE – равнобедренный. Следовательно,
D =
E.
Треугольники ACD и ABE равны по второму признаку равенства треугольников (AD = AE,
D=
E,
CAD =
BAE). Следовательно, равны соответствующие стороны CD и BE. Значит, равны и отрезки BD и CE.
171 19.
Треугольники ABC и BAD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона,
ABC =
BАD,
BAC =
ABD.
Следовательно, равны соответствующие стороны АС и BD этих треугольников.
20.
Из равенства треугольников АВС и А
1
В
1
С
1
следует равенство соответствующих сторон BC и B
1
C
1
, а также соответствующих углов B и B
1
Треугольники BCD и B
1
C
1
D
1
равны по второму признаку равенства треугольников (BC = B
1
C
1
,
B =
B
1
,
BCD =
B
1
C
1
D
1
). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и B
1
D
1
этих треугольников. Из равенства треугольников АВС и А
1
В
1
С
1
следует равенство соответствующих сторон AB и A
1
B
1
. Следовательно, имеет место равенство отрезков AD и
A
1
D
1 21.
Треугольник ABC – равнобедренный. Следовательно,
A =
C.
Значит, равны и смежные с ними углы 1 и 2.
172 22.
Треугольник ABC – равнобедренный. Следовательно,
BAC =
1. Углы BAC и 2 равны как вертикальные. Значит,
1 =
2.
23.
Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD,
ADB =
ADC).
Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC – равнобедренный и, значит,
ACB =
ABC.
24.
Треугольники ABС и ABD равны по второму признаку равенства треугольников (AB – общая сторона,
ABC =
ABD,
BAC =
BAD).
Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD – равнобедренный, значит,
3 =
4.
173 25.
Треугольники ABC и DCB равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = DC, AC = DB, BC – общая сторона).
Следовательно, равны соответствующие углы BAC и CDB этих треугольников.
26.
В четырехугольнике
ABCD
проведем диагональ
AC.
Треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CD, BC = DA, AC – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABC и CDA этих треугольников.
27.
Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC – общая сторона,
BAC =
DCA).
Следовательно, равны соответствующие углы B и D этих треугольников.
174 28.
Треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC – общая сторона,
BAC =
DCA).
Следовательно, равны соответствующие стороны AD и BC этих треугольников.
29.
Треугольники ABC и ADC равны по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC – общая сторона,
BAC =
DAC).
Следовательно, равны соответствующие стороны BC и DC этих треугольников.
30.
Треугольники ABC и ADC равны по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC – общая сторона,
BAC =
DAC).
Следовательно, равны соответствующие углы B и D этих треугольников.
175 31.
Проведем отрезок BD. Треугольник ABD – равнобедренный (AB
= AD). Следовательно,
ABD =
ADB.Треугольник CBD – равнобедренный (CB = CD). Следовательно,
CBD =
CDB.Значит,
ABC =
ADC.
32.
Проведем отрезок BD. Треугольник BCD – равнобедренный (BC
= DC). Следовательно,
DBC =
BDC.Из этого равенства и равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB.Значит, треугольник
ABD – равнобедренный, следовательно, АВ = AD.
33.
Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно,
BAC =
BCA. Треугольник CDE – равнобедренный, следовательно,
DCE =
DEC. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Следовательно,
BAC =
DEC.
176 34.
Углы ACB и ECD равны, как вертикальные. Треугольники ABC
и EDC равны по второму признаку равенства треугольников (BC = DC,
ABC =
EDC,
ACB =
ECD). Следовательно, равны соответствующие стороны AC и EC этих треугольников.
35.
Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и
DF. Треугольники ABC и FED равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = FE, BC = ED, AC = FD). Следовательно, равны соответствующие углы ACB и FDE этих треугольников, значит, равны и смежные с ними углы 1 и 2.
36.
Проведем отрезок BD. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона). Следовательно, равны соответствующие углы 1 и 2 этих треугольников.
177 37.
Проведем отрезок AC. Треугольник ABC – равнобедренный (AB
= BC). Следовательно,
BAC =
BCA. Из этого равенства и равенства углов
1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC – равнобедренный, следовательно, AD = CD.
38.
Треугольники AOD и COD равны по третьему признаку равенства треугольников (AO = CO, AD = CD, OD – общая сторона).
Следовательно, равны соответствующие углы ADO и CDO. Треугольники
ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (AD = CD,
BD – общая сторона,
ADB =
CDB). Следовательно, равны соответствующие стороны AB и CB этих треугольников.
39.
Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая сторона).
Следовательно, равны соответствующие углы ABO и CBO. Треугольники
ABO и CBO равны по первому признаку равенства треугольников (AB = CB,
BO – общая сторона,
ABO =
CBO). Следовательно, равны соответствующие стороны AO и CO этих треугольников.
178 40.
Треугольники ABC и BAD равны по первому признаку равенства треугольников (AB – общая сторона, BC = AD,
ABC =
BAD).
Следовательно, равны соответствующие стороны AC и BD этих треугольников.
41.
Из равенства треугольников АВС и BAD следует равенство соответствующих сторон AC и BD, BC и AD. Треугольники CBD и DAC равны по третьему признаку равенства треугольников (CB = DA, BD = AC,
CD – общая сторона).
42.
Из равенства треугольников ABD
1
и ABD
2
следует равенство соответствующих сторон BD
1
и BD
2
, а также равенство соответствующих углов ABD
1
и ABD
2
. Из равенства указанных углов следует равенство смежных с ними углов CBD
1
и CBD
2
. Треугольники BCD
1
и BCD
2
равны по первому признаку равенства треугольников (BD
1
= BD
2
, BC – общая сторона,
CBD
1
=
CBD
2
).
179 43.
Из предыдущей задачи следует, что из равенства треугольников
ABE
1
и ABE
2
вытекает равенство треугольников BCE
1
и BCE
2
, которое, в свою очередь, влечет равенство треугольников CDE
1
и CDE
2 44.
Треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, BC = DA, AC – общая сторона).
Следовательно, равны соответствующие углы ABC и CDA, BAC и DCA. Из равенства углов ABC и CDA следует равенство углов ABE и CDF.
Треугольники ABE и CDF равны по второму признаку равенства треугольников (AB = CD,
BAE =
DCF,
ABE =
CDF).
45.
Из равенства сторон правильного треугольника и равенства отрезков AD, BE и CF следует равенство отрезков AF, CE и
BD. Треугольники ADF, BED и CFE равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF, AF = BD = CE,
A =
B =
C). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, ED и FE
этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.
180 46.
Из равенства сторон правильного треугольника ABC и равенства отрезков BD, CE и AF следует равенство отрезков AD, BE и
CF. Из равенства углов правильного треугольника ABC следует равенство углов FAD, DBE и ECF. Треугольники ADF, BED и CFE
равны по первому признаку равенства треугольников (AD = BE = CF,
AF = BD = CE,
FAD =
DBE =
ECF). Следовательно, равны соответствующие стороны DF, ED и FE этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.
47.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
, AC = A
1
C
1
, высота СH равна высоте С
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
A =
A
1
, следовательно, треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.