Файл: Смирнов В. А., Смирнова И. М.pdf

192 5. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим угол и окружность с центром в вершине A этого угла.
На одной стороне угла отложим отрезок AB и через его середину K
проведем прямую, параллельную другой стороне и пересекающую окружность в точках M и M
1
. Через точку B проведем прямые BM и BM
1
, пересекающие сторону угла соответственно в точках C и C
1
. В треугольниках ABC и ABC
1
угол A – общий, AB – общая сторона, медианы AM и AM
1
равны, однако треугольники ABC и ABC
1
не равны.
6. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность с центром в точке O и окружность в два раза меньшего радиуса, касающуюся первой окружности внутренним образом в точке B. Напомним, что эта окружность без точки B является геометрическим местом середин хорд первой окружности, проходящих через точку B.Проведем хорду AB и окружность с центром в точке A, пересекающую вторую окружность в точках M и M
1
.Проведем прямые
BM и BM
1
, пересекающие первую окружность соответственно в точках C
и C
1
. В треугольниках ABC и ABC
1
сторона AB – общая,

С =

С
1
, медианы AM и AM
1
равны. Однако треугольники ABC и ABC
1
не равны.

193 7. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность и проведем равные хорды AB и AB
1
. Через точку M окружности проведем прямые BM и B
1
M и отложим на них отрезки MC и MC
1
, соответственно равные BM и B
1
M.В треугольниках
ABC и AB
1
C
1
AB = AB
1
,

B =

B
1
, медиана AM – общая, однако треугольники ABC и AB
1
C
1
не равны.
8. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1

A =

A
1
,

B =

B
1
, медиана AM равна медиане A
1
M
1
. Докажем, что треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, из равенства углов следует, что треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
подобны. Напомним, что преобразование подобия переводит медиану в медиану. Если бы AB

A
1
B
1
, то AM

A
1
M
1
, что противоречит условию. Значит, AB = A
1
B
1
, следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
9. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
10. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
, медиана AM
равна медиане A
1
M
1
, медиана BK равна медиане B
1
K
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, пусть O, O
1
– точки пересечения медиан данных треугольников. Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то треугольники ABO и A
1
B
1
O
1

194 равны по трем сторонам. Следовательно,

BAO =

B
1
A
1
O
1
, значит, треугольники ABM и A
1
B
1
M
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

ABC =

A
1
B
1
C
1
. Аналогично доказывается, что

BAC
=

B
1
A
1
C
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
11. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
, медиана AM
равна медиане A
1
M
1
, медиана СK равна медиане С
1
K
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, пусть O, O
1
– точки пересечения медиан данных треугольников. Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то треугольники AKO и A
1
K
1
O
1
равны по трем сторонам. Следовательно,

KAO =

K
1
A
1
O
1
, значит, треугольники ABM и A
1
B
1
M
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

ABC =

A
1
B
1
C
1
и MB = M
1
B
1
, следовательно, BC =
B
1
C
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
12. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O
1
и O
2
,
касающиеся друг друга в точке M. Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C.
Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую еев отношении 2:1, считая от вершины C. Проведем окружность с центром в точке O радиуса OC, пересекающую вторую окружность в точке C
1
. Проведем прямую C
1
M и обозначим A
1
точку ее пересечения с первой окружностью. Обозначим
K
1
точку пересечения хорды A
1
B и прямой C
1
O. В треугольниках ABC и

195
A
1
BC
1

A =

A
1
, медианы CK и C
1
K
1
равны, так как равны отрезки CO
и C
1
O, соответственно равные двум третям этих медиан, медиана BM – общая. Однако треугольники ABC и A
1
BC
1
не равны.
13. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O
1
и O
2
,
касающиеся друг друга в точке K.
Проведем в одной из них хорду AB и прямую AK, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC.
Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану BK и обозначим O точку, делящую еев отношении 2:1, считая от вершины B. Проведем окружность с центром в точке O радиуса OA, пересекающую первую окружность в точке A
1
. Проведем прямую A
1
K и обозначим C
1
точку ее пересечения со второй окружностью.
Получим треугольник A
1
BC
1
, в котором O – точка пересечения медиан. В треугольниках ABC и A
1
BC
1

196

A =

A
1
, медианы AM и A
1
M
1
равны, так как равны отрезки AO и A
1
O, соответственно равные двум третям этих медиан, медиана BK – общая.
Однако треугольники ABC и A
1
BC
1
не равны.
14. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
, AC = A
1
C
1
, биссектриса CD равна биссектрисе С
1
D
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Обозначим AB = A
1
B
1
= c, AC = A
1
C
1
= b, CD = C
1
D
1
= l, BC = a,
B
1
C
1
= a
1
. Докажем, что a = a
1
. Из этого будет следовать, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по трем сторонам. Воспользуемся формулой для биссектрисы треугольника
2 2
2
(
)
c ab
l
ab
a
b



Покажем, что при фиксированных b и c большему значению a
соответствует большее значение l биссектрисы. Производная правой части, как функции от a, равна
2 3
(
)
(
)
c b b
a
b
a
b



Из неравенства треугольника следует, что b – a < c и a + b > c.
Откуда получаем, что производная больше нуля, значит, функция строго возрастает, т.е. большему значению a соответствует большее значение l.
Таким образом, из равенства биссектрис следует равенство сторон a и
a
1
. Значит, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по трем сторонам.
15. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AC = A
1
C
1
, BC = B
1
C
1
, биссектриса CD равна биссектрисе С
1
D
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Продолжим стороны AC и A
1
C
1
и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C
1
E
1
= B
1
C
1
. Тогда BE =
AE
CD
AC
, B
1
E
1
=
1 1
1 1
1 1
A E
C D
A C
Треугольники BCE и B
1
C
1
E
1
равны по трем сторонам. Значит,

E =

E
1
. Треугольники ABE и A
1
B
1
E
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A
1
B
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по трем сторонам.

197 16. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1

A =

A
1
, AB = A
1
B
1
, биссектриса CD равна биссектрисе С
1
D
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Отложим данные треугольники так, что вершины A и A
1
, B и B
1
совпадают, а вершины C и C
1
лежат по одну сторону от AB.Докажем, что если AC < AC
1
, то биссектриса СD меньше биссектрисы C
1
D
1
Предположим, что AC

BC. Через вершину C
1
проведем прямую
C
1
E, параллельную прямой CD. Точка D
1
будет лежать между точками D
и E. При этом CD < C
1
E < C
1
D
1
. Аналогично доказывается, что CD <
C
1
D
1
в случае, если AC < BC. Таким образом, из условия равенства биссектрис следует, что вершины C и C
1
должны совпадать, значит, данные треугольники равны.
17. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1

A =

A
1
, AB = A
1
B
1
, биссектриса AD равна биссектрисе A
1
D
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, треугольники ABD и A
1
B
1
D
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,

B =

B
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

198 18. Пример треугольников, изображенных на рисунке, показывает, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства треугольников.
Действительно, в треугольниках ABC и ABC
1

B – общий, AB – общая сторона, биссектрисы AD и AD
1
равны. Однако треугольники ABC
и ABC
1
не равны.
19. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
равны основания AB, A
1
B
1
и медианы AM, A
1
M
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Проведем медианы CD и C
1
D
1
. Точки их пересечения с медианами
AM и A
1
M
1
обозначим соответственно O и O
1
Прямоугольные треугольники AOD и A
1
O
1
D
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

OAD =

O
1
A
1
D
1
. Треугольники ABM и A
1
B
1
M
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

B =

B
1

199
Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
20. Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
равны основания AB, A
1
B
1
и биссектрисы AD, A
1
D
1
. Докажем, что эти треугольники равны.
Для этого докажем, что при увеличении боковой стороны равнобедренного треугольника и постоянном основании биссектриса, проведенная к боковой стороне, увеличивается. Предположим, что AB =
1, AC = a. Тогда для биссектрисы l имеет место формула
3 2
2
(
1)
a
l
a
a
 

Производная функции, стоящей в правой части этого равенства, равна
3 2
3 3
1
(
1)
a
a
a



Эта производная больше нуля для всех положительных a.
Следовательно, большей боковой стороне соответствует большая биссектриса. Равенство биссектрис равнобедренных треугольников с равными основаниями возможно только в случае равенства боковых сторон, т.е. в случае равенства самих треугольников.
21. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
, медианы СM и
С
1
M
1
равны, высоты CH и C
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники ABC
и A
1
B
1
C
1
равны.

200
Действительно, прямоугольные треугольники CMH и C
1
M
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

CMH =

C
1
M
1
H
1
и, значит,

AMC =

A
1
M
1
C
1
. Треугольники AMC и A
1
M
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AC = A
1
C
1
и

A =

A
1
Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по двум сторонам и углу между ними.
22. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
(

C =

C
1
= 90
о
) AB = A
1
B
1
, высоты CH и C
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Проведем медианы CM и C
1
M
1
. Они равны, так как составляют половины гипотенуз. В силу решения задачи 21, треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны.
23. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
(

C =

C
1
= 90
о
)медианы CM и C
1
M
1
равны, высоты CH и C
1
H
1
равны.
Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, гипотенузы AB = A
1
B
1
равны, так как они в два раза больше соответствующих медиан. В силу решения задачи 21, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
24. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
, биссектрисы CD
и C
1
D
1
равны, высоты CH и C
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Предположим, что AC

BC и A
1
C
1

B
1
C
1
. Отложим данные треугольники так, что вершины A и A
1
, B и B
1
совпадают, а вершины C и
C
1
лежат по одну сторону от AB.Докажем, что если AC < AC
1
, то биссектриса СD меньше биссектрисы C
1
D
1

201
Проведем прямую C
1
E, параллельную CD. Угол ACB больше угла
AC
1
B, угол AC
1
E больше угла ACD. Следовательно, угол AC
1
E больше угла BC
1
E, значит, точка D
1
лежит между точками A и E. Следовательно,
DH < D
1
H
1
, значит, CD < C
1
D
1
. Таким образом, из условия равенства биссектрис следует, что вершины C и C
1
должны совпадать и, значит, данные треугольники равны.
25. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AC = A
1
C
1
, медианы CM и
C
1
M
1
равны, высоты CH и C
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники ABC
и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

A =

A
1 и AH = A
1
H
1
Прямоугольные треугольники CMH и C
1
M
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M
1
H
1
, откуда AM = A
1
M
1
,значит, AB =
A
1
B
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по двум сторонам и углу между ними.
26. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AС = A
1
С
1
, биссектрисы
CD, C
1
D
1
равны, высоты CH, C
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.

202
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

A =

A
1
,

ACH =

A
1
C
1
H
1
Прямоугольные треугольники DCH и D
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

DCH =

D
1
C
1
H
1
, откуда

ACD =

A
1
C
1
D
1
, значит,

С =

С
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
27. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства треугольников.
Рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности. Отложим на его стороне отрезок AB, больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла и пересекающую окружность в некоторых точках M и M
1
Проведем прямые BM, BM
1
и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C
1
. Тогда в треугольниках ABC и ABC
1
сторона AB – общая, высота BH – общая, медианы AM и AM
1
равны, однако треугольники ABC и ABC
1
не равны.
28. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
, биссектрисы AD
и A
1
D
1
равны, высоты BH и B
1
H
1
равны. Докажем, что треугольники ABC
и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A
1
B
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

A =

A
1
. Треугольники ABD и
A
1
B
1
D
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

B