ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 364
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
181 48.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AС = A
1
С
1
, BC = B
1
C
1
, высота СH равна высоте С
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит, AH = A
1
H
1
. Прямоугольные треугольники BCH и B
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит, BH =
B
1
H
1
. Следовательно, AB = A
1
B
1
, итреугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по трем сторонам.
49.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
, AB = A
1
B
1
, высота СH равна высоте С
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Значит, AC = A
1
C
1
, следовательно,
треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
50.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
, AB = A
1
B
1
, высота AH равна высоте A
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
182
Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A
1
B
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
B =
B
1
, следовательно,треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
51.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
, BC = B
1
C
1
, высота CH равна высоте C
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Значит, AC = A
1
C
1
и AH = A
1
H
1
Прямоугольные треугольники BCH и B
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит, BH = B
1
H
1
, следовательно, AB = A
1
B
1
. Таким образом, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по трем сторонам.
52.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
,
B =
B
1
, высота CH равна высоте C
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Значит, AH = A
1
H
1
. Прямоугольные треугольники BCH и B
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Значит, BH
= B
1
H
1
, следовательно, AB = A
1
B
1
. Таким образом, треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
183 53.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
,
B =
B
1
, высота AH равна высоте A
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A
1
B
1
H
1
равны по катету и острому углу. Значит, AB = A
1
B
1
. Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
54.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
, высота BG
равна высоте B
1
G
1
, высота CH равна высоте C
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ABG и A
1
B
1
G
1
равны по катету и острому углу. Значит, AB = A
1
B
1
. Прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Значит, AC
= A
1
C
1
. Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
55.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
, высота AG
равна высоте A
1
G
1
, высота CH равна высоте C
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по катету и острому углу. Значит, AC = A
1
C
1
. Прямоугольные треугольники ACG и A
1
C
1
G
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
C
=
C
1
. Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
184 56.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
,
высота AH
равна высоте A
1
H
1
, высота BG равна высоте B
1
G
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A
1
B
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
B =
B
1
. Прямоугольные треугольники ABG и A
1
B
1
G
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
A =
A
1
. Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
57.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
,
высота AG
равна высоте A
1
G
1
, высота CH равна высоте C
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ABG и A
1
B
1
G
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
B =
B
1
и BH = B
1
H
1
. Следовательно,
AH = A
1
H
1
, значит, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по двум катетам. Следовательно,
A =
A
1
, и треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
185 58.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
,
AC = A
1
C
1
,
медиана CM равна медиане C
1
M
1
. Докажем, что треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, треугольники ACM и A
1
C
1
M
1
равны по трем сторонам. Значит,
A =
A
1
, следовательно, треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
59.
Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
A =
A
1
, AB = A
1
B
1
,
биссектриса AD равна биссектрисе A
1
D
1
. Докажем, что треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, треугольники ABD и A
1
B
1
D
1
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
B =
B
1
, следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
60.
Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
основание AB равно основанию A
1
B
1
,
С =
С
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, из равенства углов C и C
1
следует равенство углов при основаниях AB и A
1
B
1
треугольников. Таким образом, треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
186 61.
Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
основание AB равно основанию A
1
B
1
, высота CH равна высоте C
1
H
1
Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Так как высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, то прямоугольные треугольники ACH
и A
1
C
1
H
1
равны по двум катетам. Значит,
A =
A
1
. Прямоугольные треугольники BCH и B
1
C
1
H
1
равны по двум катетам. Значит,
B =
B
1
Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
62.
Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
равны боковые стороны AС и A
1
C
1
, высота CH равна высоте C
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
187
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит, AH = A
1
H
1
. Прямоугольные треугольники BCH и B
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит, BH =
B
1
H
1
и AB = A
1
B
1
. Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по трем сторонам.
63.
Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
основание AB равно основанию A
1
B
1
, высота AH равна высоте A
1
H
1
Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A
1
B
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
B =
B
1
. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
64.
Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
равны боковые стороны BС и B
1
C
1
, высота AH равна высоте A
1
H
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
равны по гипотенузе и катету. Значит,
С =
С
1
. Следовательно, треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
188 65.
Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
равны боковые стороны BС и B
1
C
1
, медиана AM равна медиане A
1
M
1
. Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, треугольники ACM и A
1
C
1
M
1
равны по трем сторонам. Значит,
С =
С
1
. Следовательно, треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
66.
Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
(
B =
B
1
= 90
о
) равны катеты AB и A
1
B
1
, медиана CM равна медиане C
1
M
1
Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, прямоугольные треугольники BCM и B
1
C
1
M
1
равны по гипотенузе и катету. Значит, BС = B
1
С
1
. Следовательно, прямоугольные треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум катетам.
67.
Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
(
B =
B
1
= 90
о
) равны катеты BС и B
1
C
1
, медиана CM равна медиане C
1
M
1
Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
189
Действительно, прямоугольные треугольники BCM и B
1
C
1
M
1
равны по гипотенузе и катету. Значит, BM = B
1
M
1
и, следовательно, AB = A
1
B
1
Таким образом, прямоугольные треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум катетам.
68.
Пусть в прямоугольных треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
(
C =
C
1
= 90
о
) равны катеты BС и B
1
C
1
, медиана CM равна медиане C
1
M
1
Докажем, что треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны.
Действительно, так как гипотенуза прямоугольного треугольника в два раза больше медианы, к ней проведенной, то из равенства медиан
CM и C
1
M
1
следует равенство гипотенуз AB и A
1
B
1
. Значит, треугольники
ABC и A
1
B
1
C
1
равны по гипотенузе и катету.
190
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Уровень С
1. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов треугольников ABC и A
1
B
1
C
1
недостаточно для равенства самих треугольников.
Рассмотрим окружность и ее хорду AB. С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C
1
. Тогда в треугольниках ABC и ABC
1
AB – общая сторона, AC = AC
1
,
С =
С
1
, однако треугольники ABC и ABC
1
не равны.
2. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов треугольников ABC и A
1
B
1
C
1
недостаточно для равенства самих треугольников.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A
1
B
1
H
1
, в которых
H =
H
1
= 90
o
, AH = A
1
H
1
, AB = A
1
B
1
. На продолжениях сторон BH и
B
1
H
1
отложим неравные отрезки соответственно HC и H
1
C
1
. Тогда в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AB = A
1
B
1
,
B =
B
1
, высоты AH и A
1
H
1
равны, однако сами треугольники не равны.
191 3. Пусть в треугольниках ABC и A
1
B
1
C
1
AC = A
1
C
1
, BC = B
1
C
1
, медиана СM равна медиане С
1
M
1
. Докажем, что треугольники ABC и
A
1
B
1
C
1
равны.
Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M
1
D
1
= C
1
M
1
Тогда четырехугольники ACBD и A
1
С
1
B
1
D
1
– параллелограммы.
Треугольники ACD и A
1
C
1
D
1
равны по трем сторонам. Следовательно,
ACD =
A
1
C
1
D
1
. Аналогично, треугольники BCD и B
1
C
1
D
1
равны по трем сторонам. Следовательно,
BCD =
B
1
C
1
D
1
. Значит,
С =
С
1
, и треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Приведем пример, показывающий, что равенство указанных в задаче элементов недостаточно для равенства самих треугольников.
Для этого рассмотрим окружность с центром в точке M. Проведем два диаметра AB и A
1
B
1
. Через точки A, A
1
, M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A
1
B
1
C AB = A
1
B
1
,
A =
A
1
, медиана СM – общая.
Однако треугольники ABC и A
1
B
1
C не равны.