Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

Величина называется нормальным напряжением в торцевом сечении стержня. Пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям выражает закон Гука. Коэффициент пропорциональности называется

коэффициентом удлинения и для каждого материала определяется опытным путем. Так как численные значения гораздо меньше , то - весьма малая величина. Поэтому обычно вводят модуль упругости (модуль Юнга) , и

закон Гука окончательно записывают в виде

(1.19)

Опыт показывает, что этот закон выполняется лишь в определенном интервале напряжений. Если растягивать стержень, последовательно увеличивая от нуля возрастающую силу, то каждый раз, после снятия нагрузки, деформация исчезает. Однако при некотором напряжении появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение называется пределом упругости. На рис. (1.7) изображена зависимость деформаций от напряжений, называемая диаграммой растяжений. Следует отметить, что закон Гука выполняется только в части области упругости - области пропорциональности, когда .

Рис. 1.7.

При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т.е. внезапный рост удлинения образца при постоянной нагрузке , называемой пределом текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. За пределами области текучести дальнейшее удлинение стержня сопровождаетсяувеличением . Однако деформации будут распределены уже неодинаково по дине стержня (рис. 1.8.) - в некотором месте можно заметить образование шейки. При напряжении , называемом пределом прочности, в этом ослабленном сечении происходит разрыв.

Рис. 1.8.

То напряжение, которое данный материал может выдержать на практике, не

245

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допустимым и обозначают . Обычно , и все расчеты проводят на основе законов Гука.

Чтобы обеспечить прочность при всех обстоятельствах допустимое напряжение выбирается как часть предела прочности, в частности, для металлов , а для дерева . Следует отметить, что наибольшие деформации, которые может выдержать материал, не определяются протяженностью области текучести. Если область текучести велика, то материал называется пластичным. Такой материал, как, например, сталь, способен выдерживать большие нагрузки без разрушения. Наоборот, если область текучести невелика, то этот материал хрупок. Хрупкие материалы, как чугун, например, разрушаются при деформациях . Однако в ряде случаев пластичные материалы могут разрушаться и при малых деформациях (например, сталь при температуре ниже С). Аналогичными свойствами обладают и сдвиговые деформации. В частности,

в области пропорциональности связь между деформациями сдвига и касательным напряжением (рис. 1.2) задается соотношением

(1.20)

в котором - касательное напряжение, аналогичное по смыслу введенному выше нормальному напряжению, а G - модуль сдвига, являющийся, как и модуль Юнга, также характеристикой материала.

Из этого можно сделать два важных вывода. Во-первых, поскольку предел пропорциональности на 2-3 порядка меньше модуля упругости, то в области упругости деформации .

Рис. 1.9.

Во-вторых, просматривается связь между величиной модуля Юнга E и модуля сдвига G - чем больше E, тем больше и G. Это не случайно, т.к. между обеими величинами существует жесткая связь. Чтобы ее установить, рассмотрим растяжение маленького кубика с длиной стороны , как это было изображено на рис. 1.9. Обратим внимание, однако, на то, что квадратная грань ABCD параллелепипеда, находящегося внутри рассматриваемого кубика, превращается при деформациях в ромбическую

246

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

грань A'B'C'D'. Совершенно ясно, что параллелепипед испытывает сдвиговую деформацию, а его объем при этом практически не изменился (см. также формулу (1.17)). Величину угла сдвига можно легко связать с деформацией удлинения и коэффициентом Пуассона . Из треугольника A'OD' следует, что

(1.21)

Поскольку , то

(1.22)

Приравнивая правые части (1.21) и (1.22), находим

(1.23)

В последней формуле учтено, что .

Рис. 1.10.

Сила F, растягивающая кубик (рис. 1.10), создает нормальное напряжение . Это напряжение передается на грани AB и BC параллелепипеда, однако силы, действующие на каждую из его граней, имеют не только нормальную к грани, но и направленную вдоль грани параллельную составляющую . Касательное напряжение оказывается при этом равным

(1.24)

Поскольку деформации в формуле (1.23) пропорциональны напряжениям, a , то

(1.25)

Сравнивая последнее равенство с соотношением (1.20) при учете, что , находим искомую связь между модулями Юнга и сдвига:

(1.26)

В рассмотренном примере следует обратить внимание на то, что величина и направление силы, приложенной к некоторой площадке, зависит от ориентации и величины этой площадки. Так, на грань куба действует сила F, перпендикулярная к грани, в то время как на грань параллелепипеда действует сила F/2, направленная под углом к этой грани. Этот частный

247

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

вывод получит далее обобщение при обсуждении способов задания сил, действующих на каждый из элементов тела. Посмотрим, что будет происходить с тем же кубиком, если его растягивать одновременно силами, приложенными ко всем его граням. В этом случае

относительные удлинения каждой из его сторон будет задаваться соотношениями:

(1.27)

Формулы (1.27) описывают деформации кубика при его всестороннем растяжении или сжатии. Если напряжения одинаковы , то деформации также будут одинаковы: , и

В результате всесторонней деформации новый объем кубика станет равным

а его относительное изменение составит величину

(1.28)

Параметр

(1.28)

называется модулем всестороннего сжатия и играет важную роль в теории упругости. Важно отметить, что хрупкие материалы, подвергнутые всестороннему давлению, на которое дополнительно накладывается растяжение, сжатие или сдвиг, обнаруживают значительные пластические деформации. Такие деформации играют существенную роль, например, в процессах образования рельефа земной коры: граниты и базальты, хрупкие в обычных условиях, текут под действием колоссального давления в глубинных слоях Земли. Деформации растяжения и сдвига возникают в

практически важных случаях изгибов балок строительных конструкций и окруживания валов машин и механизмов.

Коэффициент Пуассона.

При всем многообразии случаев произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям - растяжению (сжатию) и сдвигу. Обратимся к опыту. Закрепим один конец резинового шнура длиной и потянем за другой конец с постоянной силой. Шнур придет в новое положение равновесия с длиной (рис. 1.1). Такую простейшую

деформацию можно охарактеризовать относительным удлинением

(1.1)

248

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

При этом растяжение соответствует , а сжатию - .

Рис. 1.1.

Деформацию сдвига можно наблюдать в опыте с резиновым кубиком, если закрепить, например, его нижнее основание, а к верхнему основанию приложить касательную силу. (рис. 1.2)Деформация в этом случае будет

характеризоваться параметром

(1.2)

зависящим от угла сдвига , который в большинстве практически важных случаев мал, и .

Рис. 1.2.

Отметим также известный факт, что при растяжении резинового шнура его поперечный размер d уменьшается до величины d1. Такое поперечное сжатие

характеризуется параметром

(1.3)

Опытным путем установлено, что отношение к приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. В теории упругости

материал характеризуется коэффициентом Пуассона

(1.4)

Каково численное значение коэффициента Пуассона? Чтобы ответить на этот вопрос, посчитаем изменение объема резинового шнура. В отсутствие деформации его объем , объем же деформированного шнура

(1.5)

В последнем выражении мы пренебрегли малыми величинами , и . С учетом (1.4) относительное изменение объема запишется в виде

249

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com