Файл: Матан(Блок 1).doc

Функции нескольких переменных.

Ограничимся случаем функций от 3-х переменных.

Пусть в некоторой области D имеем функцию , возьмем точку в этой области. Если мы припишем и постоянные значения и и будем изменять , то и будет функцией от одной переменной в окрестности . Можно поставить вопрос о вычислении её производной в точке . Придадим значение приращение , тогда - частное приращение. По определению производной, она представляет собой предел

Эта производная называется частной производной функции по в точке .

Част. производ. обозначается : .

При условии

функция называется дифференцируемой в точке и (только в этом случае) выражение

---

,

т.е линейная часть приращения функции называется её (полным) дифференциалом и обозначается или или

Д. условие диф-ти. Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то функция диф-ма в этой точке.

Н. условие диф-ти. Если функция диф-ма в точке , то она непрерывна в этой точке.

Геометрический смысл производной.

Производная функций в точке геометрически представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в точке равен приращению “ординаты касательной” MS к графику этой функции в точке , а приращение функции есть приращение “ординаты самой функции” в точке , соответствующее приращению аргумента, равному .

---

В.3. Определённый интеграл и его свойства. Основная формула интегрального исчисления.

Пусть функция определена на , . Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками: . Обозначим это разбиение через , а точки называются точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим разность , который называют длинной частичного отрезка .

Обозначим сумму:

,(1) которая называется интегральной суммой для функции на , соответствующей данному разбиению на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек .

Геометрический смысл суммы :

- это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами если >0. Обозначим через - длину наибольшего частичного отрезка разбиения .

---

Опр.: если существует конечный предел I интегрирования суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции по отрезку , обозначается:или .

Свойства :

1) 2) если функция интегрируема на е, то она интегрируема на

3) если функция интегрируема на и существует число , то

4) если и интегрируемы на , то :

5) если и интегрируемы на , то их производные будут интегрируемы на .

6) если функция интегрируема и на отрезке , то 7)

---

8)

9) если и интегрируемы на , и , то

10) если интегрируема на , и если во всем этом промежутке имеет место неравенство , то справедливо:

11) Т. (о среднем): Пусть функция интегрируема на , и на выполняется , тогда , .

Т. Ньютона – Лейбница. (основная формула).

Если функция непрерывна на , то какая бы ни была её первообразная на , справедлива формула:

Опр.: Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство: .

---