Файл: Матан(Блок 1).doc

Справедлива также следующая формула интегрирования по частям:

Формула замены:

Формула Эйлера:

подстановка

В.4.Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.

1)Пусть дана числовая последовательность . Выражение вида , называется числовым рядом или просто рядом.

Числа называются членами ряда, член с произвольным номером – общий член ряда.

Суммы конечного числа членов ряда называются частичными суммами ряда (1). Т.к. число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм (2)

Ряд (1) называется сходящимися, если посл-ть его частичных сумм (2) сх-ся к какому – нибудь числу S, назыв. Суммой ряда (1): или .

Если последовательность (2) расходится, то ряд (1) – расходящийся.

Если все числа положительны , то ряд называется знакоположительным.

Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знак:

---

2) Рассмотрим ряд среди членов которого имеется бесконечное множество как положительных так и отрицательных членов.

Ряд называется абсолютно – сходящимся, если сходится ряд .

Теорема. Пусть дан ряд с членами произвольных знаков. Если сходится ряд то сходится и данный ряд.

Если ряд сх-ся, но не абсолютно, то он называется условно – сходящимя.

Для ряда обознач. (3), (4) соот. его неотриц. и отриц. По модулю члены.

Лемма.

Если ряд условно сходится, то (3) и (4) расх-ся.

3) Теорема (признак Даламбера).

Пусть для ряда , существует предел ; тогда при ряд сходится, при расходится.

Теорема (интегральный признак).

Пусть дан ряд , члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда если сходится, то сходится и ряд ; если же расходится, то расходится и ряд .

---

Теорема (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член ряда стремиться к 0: , то ряд сходится.

В.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

---

1) Пусть дана последовательность, элементами которой являются функции (1) и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной.

Последовательность (1) называется ограниченной на X, если для любого n, .

Последовательность (1) называется сходящейся на X, если для любого фиксированного последовательность сходится (как числовая последовательность).

Если посл. (1) сходится на X, то функция определенная для любых значений равенством называется пределом последовательности.

Рассмотрим ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной в некоторой области : (2)

- называется частичной суммой n-го порядка, - ый остаток.

Ряд (2) называется сходящимся на X, если последовательность его частные сумм сх-ся на этом множ-ве. При этом предел частичных сумм наз-ся суммой ряда и пишут , и говорят, что функция раскладывается в ряд (2).

Множ-во всех значений , при которых ряд (2) сх-ся, наз-ся областью сходимости ряда.

2)Пусть . Рассмотрим посл-ть .

---

Если бы точек было бы конечное число, то из всех N можно бало бы выбрать максимальное, для кот. для выполнялось бы (*)

Но как правило принадлежит множеству у которых точек бесконечно много, поэтому нер-во (*) может и не выполняться для всех , начиная с одного и того же , но сущ-ние посл-ти функций, сходящейся в промежутке обладает особенностью такой, что для них N можно выбрать в зависимости от и так, что N не зависит от и выполняется неравенство (*).

Опр.: Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на X, если для .

Опр.: Если частичная сумма стремится к сумме ряда равномерно относительно в области X, то говорят, что ряд (2) равномерно сходится в этой области.

ИЛИ Ряд (2), сходящийся для всех из области X, называется равномерно сходящейся в этой области, если для каждого числа .

Условие равномерной сходимости.

Т. Больцано – Коши: Для того, чтобы посл-ть (1): 1) имела предельную функцию и 2) сходилась к этой функции равномерно относительно в X, Н. и Д., чтобы для каждого .

3) Теорема (признак Вейерштрасса)

Если числовой ряд (3) сходится и для , n=1,2,…, то ряд (2) абсолютно и равномерно сходится на X.

---