Файл: Матан(Блок 1).doc

Если функция f(z) дифференцируема во всех точках некоторой области , а её производная непрерывна в этой области, то функция f(z) называется аналитической функцией в области .

Н. и Д. условием аналитичности функции в области является существование в этой области непрерывных частных производных функций и , связанные соотношениями Коши – Римана(2).

Соотношение (2) позволяют получить различные выражения для производной функции комплексной переменной

Пусть f(z) – аналитическая функция в некоторой области . Выберем любую точку и проведем через нее произвольную кривую . Функция f(z) производит отображение области комплексной плоскости z на некот. обл. комплексной плоскости .

Пусть точка переходит в точку , а кривая - в проходящую через кривую .

Существует производная функции в точке . Пусть и представим в комплексной форме: (3)

---

Выберем такой способ стремления к нулю, при котором точки лежит на кривой . Соответствующие им точки лежит на кривой . Комплексной числа и изображаются векторами секущих к кривым и соответственно. Заметим, что и имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей x и u, а и - длины этих векторов. При векторы секущихся переходят в векторы касательных к соответствующим кривым. Из (3): (4) т.е аргумент производной имеет геометрический смысл разности угла вектора касательной к кривой в точке с осью u и угла вектора касательной к кривой в точке с осью x.

Т.к. производная не зависит от способа предельного перехода, то эта разность будет той же и для любой другой кривой, проходящей через точку . Отсюда следует, что при отображении, осуществимом аналитической функцией , удовлетворяющей условием , угол между любыми кривыми и , пересекающимися в точке , равен углу между их образами (кривыми и ), пересекающимися в точке . При этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми и и их образами, но и направление углов. Это свойство называется свойство сохранения углов.

---

Из (3) получим (5)

Ге6ометрический смысл этого соотношения состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию , бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем определяет коэффициент преобразования подобия. Это свойство называется свойством постоянного растяжения.

---

В.8. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.

Опр.: Ряд вида (1) называется степенным рядом.

Т.(Абеля). Если степенной ряд (1) сх-ся при , то он сх-ся, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих условию ; если ряд (1) расходится для всех , удовлетворяющих условию .

Т. Если ряд сходится при всех значениях и не только при x=0, то существует число R>0, такое что ряд абсолютно сх-ся при и рас-ся при .

Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости.

Для ряда - радиус сходимости, - область сходимости.

Т. Если предел , то радиус сходимости ряда равен

Т. (интегрирование и дифференцирование степенных рядов)

Если функцию можно разложить в окрестности точки в степенной ряд с радиусом сходимости R>0, то:

1) Функция имеет на промежутке (-R,R) производные от всех порядков, которые м.б. найдены из (1) почленным дифференцированием (2);

---

2) Для справедливо тождество: (3);

3) ряды (1),(2),(3) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Т. (выражение коэффициентов в степенные ряды ч/з его сумму)

Если функция раскладывается в некоторый окрестности в степенной ряд , то

.

Т.Если функцияна интервале (-R,R) разлагается в степенной ряд , то это разложение единственно.

Ряд вида называется рядом Маклорена функции.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

.

Ряд вида (4), где z – комплексная переменная; и - комплексные числа, называется степенным рядом.

Т.1) Если степенной ряд (5) сходится при , то он сх-ся и притом абсолютно, для всех z, удовлетворяющих условию ; 2) если ряд (5) расх-ся при , то он расх-ся для всех z, удовл. условию .

---