~(k ) |
M N |
|
|
(k ) |
, |
(10.15) |
|
|
P |
= ∑∑ϖi j (θ,ϕ) pi j |
|
j=1i=1 |
|
|
|
|
|
|
где ϖi j(θ,ϕ) – двумерные |
билинейные |
пробные функции; |
|
i(kj ) – значения |
p |
функции давления в узлах (i j), которым соответствуют координаты θi и ϕj в области k.
На каждом из элементов, примыкающем к узлу (i j), определяем пробные функции ϖi j (θ,ϕ) . Для этого в каждом конечном элементе вводим локальную
нумерацию узлов (рис. 10.7) и локальные координаты λ, ν ( −1 ≤ λ ≤1, −1 ≤ ν ≤1).
Локальные координаты связаны с глобаль-
|
ными следующими соотношениями: |
|
внутри элементов A, B |
|
λ = 2[ϕ – (ϕj+1 + ϕj)/2]/Δϕ; |
|
внутри элементов С, D |
|
λ = 2[ϕ – (ϕj–1 + ϕj)/2]/Δϕ; |
|
внутри элементов A, D |
Рис. 10.7. Глобальная и |
ν = 2[θ – (θi+1 + θi)/2]/Δθ; |
локальная нумерация узлов |
внутри элементов B, C |
|
ν = 2[θ – (θi–1 + θi)/2]/Δθ. |
Билинейные пробные функции в локальной системе координат заданы формулами:
ϖu (λ,ν) = 0,25(1+ ς1u λ)(1+ ς2u ν),
где u = 1, 4 ; ς11 = ς14 = ς21 = ς22 = – 1, ς12 = ς13 = ς23 = ς24 = 1.
Приведенные аппроксимирующие функции обладают следующими
интерполяционными свойствами: |
|
|
|
|
ϖu (λ, ν) =1, если λ = λu , ν = νu |
(u = |
|
|
|
1, 4); |
(10.16) |
ϖu (λ, ν) = 0 для другихслучаев. |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ϖ u (λ,ν) – значение функции в локальном узле u; |
λu, νu – значения |
локальных координат λ, ν в узле u. |
|
|
|
|
Для представления приближенного решения (10.15) в матричной форме вводится сквозная нумерация узлов сетки: узлу (i j) соответствует новый узел с номером t, причем t = M(i −1) + j .
Так как i =1, N и j =1, M , то индекс t принимает значения t =1, N × M .
Следовательно, |
пробные функции и узловые значения функции давления |
принимают вид |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~(k ) |
|
|
(k ) |
. |
|
|
|
|
ϖt (θ,ϕ) = ϖi j (θ,ϕ) ; |
pt |
= pi j |
Тогда приближенное решение (10.15) в области k представим в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~(k ) |
= W P |
(k ) |
, |
|
|
|
|
|
|
(10.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
где W – матрица-строка, компонентами которой являются билинейные пробные |
|
|
~ |
|
|
(k) |
– столбец искомых узловых значений функции давления |
функции ϖt |
(θ,ϕ) ; P |
~(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в области k; t =1, N × M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки приближенного решения (10.17) в уравнение (10.14) |
получаем невязку (k) |
в области k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k ) = L(P~(k ) ) . |
|
|
|
|
|
|
|
С целью определения значений |
~(k ) |
потребуем, чтобы интеграл взвешенной |
|
pt |
невязки по всей вычислительной области Ω(k) был равен нулю |
|
|
|
|
~ |
|
|
(k ) |
dϕdθ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( m =1, N × M ) , |
(10.18) |
|
|
|
∫∫ϖm(θ,ϕ) |
|
|
|
~ |
Ω( k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– весовая функция, которая согласно методу Галеркина выбирается |
где ϖm (θ,ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
из того же семейства, что и пробные функции ϖt (θ,ϕ) ; m – параметр, |
соответствующий всем номерам t узлов сетки (t = |
|
). |
|
1, N × M |
|
|
В равенство (10.18) подставляем невязку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
∂Θ(θ,ϕ) |
|
~ |
|
|
|
∂Φ(θ,ϕ) |
(10.19) |
|
|
|
∫∫ |
ϖm (θ,ϕ) |
|
∂θ |
+ ϖm (θ,ϕ) |
|
|
∂ϕ |
dϕdθ = 0. |
|
|
|
Ω( k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь использованы обозначения:
Θ(θ,ϕ) = sin θ(H (k ) )3 |
∂ |
(W P(k ) ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|
(10.20) |
|
(H (k ) )3 ∂ |
|
|
|
(k ) |
|
2 |
(k ) |
(k ) |
|
|
|
|
|
(W P |
|
|
|
Φ(θ,ϕ) = |
|
|
|
|
) + Λsin |
|
θ(ε1 |
cosϕ + ε2 |
sin ϕ). |
|
sin θ |
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем полученное интегральное соотношение (10.19) в эквивалентном виде
|
|
~ |
|
Θ) |
|
|
|
~ |
|
Φ) |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
∫∫ |
∂(ϖ |
m |
+ |
∂(ϖ |
m |
|
∂ϖ |
m + Φ |
∂ϖ |
m |
(10.21) |
|
|
|
|
|
|
|
dϕdθ− |
∫∫ Θ |
|
|
dϕdθ = 0 . |
Ω( k ) |
∂θ |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
Ω( k ) |
∂θ |
∂ϕ |
|
|
Первый интеграл в (10.21) преобразуем по формуле Грина: |
|
|
|
|
|
~ |
Θ) |
|
|
|
|
~ |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
∫∫ |
∂(ϖm |
− |
∂(−ϖmΦ) |
|
|
|
|
(10.22) |
|
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
∂ϕ |
dϕdθ = ∫ |
(ϖmΘdϕ − ϖmΦdθ) = 0 , |
|
Ω( k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
L( k ) |
|
|
|
|
|
где L(k) – граница области Ω(k). Криволинейный интеграл берется по контуру L(k), пробегаемому в положительном направлении.
Следовательно, выражение (10.21), записанное с учетом (10.22) и обозначений (10.20), принимает вид
|
~ |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
~ |
(H |
(k ) |
) |
3 |
|
∂ |
|
|
|
|
∂ϖm |
sin θ(H |
(k ) |
) |
3 |
(W P |
(k ) |
) |
+ |
∂ϖm |
|
|
|
(W P |
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
∂θ |
|
|
|
∂θ |
|
∂ϕ |
sin θ |
|
|
∂ϕ |
|
) dϕdθ = |
Ω( k ) |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − ∫∫ |
∂ϖ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m Λsin2 θ(ε1(k ) cosϕ + ε(2k ) sin ϕ) dϕdθ |
|
|
|
Ω( k ) |
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~(k )
pt
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
(H |
(k ) |
) |
3 |
|
|
|
|
∫∫ |
|
∂ϖm ∂W |
sin θ(H |
(k ) |
) |
3 |
+ |
∂ϖm ∂W |
|
|
|
|
(k ) |
= |
|
∂θ ∂θ |
|
|
∂ϕ ∂ϕ |
sin θ |
|
dϕdθ P |
|
Ω( k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ϖ |
|
Λsin2 |
|
|
|
|
|
|
( m =1, N × M ). |
(10.23) |
= − ∫∫ |
|
m |
θ(ε1(k ) cosϕ + ε(2k ) sin ϕ) dϕdθ |
Ω( k ) |
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На границе области k |
функция давления задана краевыми условиями (10.13). |
Неизвестными являются |
значения функции в узлах, расположенных внутри |
области Ω(k). Следовательно, искомые узловые значения функции давления в |
области k содержатся в уравнениях (10.23) с номерами m = |
|
|
M(d −1) +1, Md −1; |
d = |
|
. Таким образом, получена система (N – 2)(M – 2) линейных алгебраи- |
2, N −1 |
|
|
|
|
|
ческих уравнений относительно |
~(k ) |
, которая в матричной форме имеет вид |
pt |
|
A(k ) |
P(k ) = C(k ) . |
(10.24) |
Компоненты квадратной матрицы A(k ) и матрицы-столбца С(k ) определяются по формулам:
|
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
(H |
(k ) |
) |
3 |
dϕdθ, |
= |
∫∫ |
∂ϖm |
∂ϖt (H |
(k ) )3 sin θ + ∂ϖm ∂ϖt |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂θ |
∂θ |
∂ϕ |
∂ϕ |
sin θ |
|
|
|
Ω( k ) |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − ∫∫ |
∂ϖ |
m Λsin2 |
|
|
|
|
|
|
|
θ(ε1(k ) cosϕ + ε2(k ) sin ϕ) dϕdθ. |
|
Ω( k ) ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
Так как весовые и пробные функции задаются на каждом конечном элементе формулами (10.16), то при нахождении двумерных интегралов (10.25), (10.26)
коэффициентов Cm(k ) , Am,(k )t внутри вычислительной области Ω(k) ненулевые вклады
вносят только элементы A, B, C, D, примыкающие к узлу m, совпадающему с узлом t или (i j) (см. рис. 10.7).
В результате дискретизации граничных условий (10.7) получаем
~(k ) |
~(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
p j |
=1, p(N −1)M + j =1 ( j =1, M ); |
~I |
~II |
~II |
|
~I |
p(i−1)M +1 = p(i−1)M +M , p(i−1)M +1 |
= p(i−1)M +M |
Две системы уравнений (10.24) при k = I и k = II и равенства (10.27) совместно представляют линейную алгебраическую систему уравнений для вычисления искомых сеточных значений функции давления в зазоре гидродинамического подвеса. В матричной форме полученную систему уравнений представим в виде
где P – столбец, составленный из искомых узловых значений функции давления = pi(kj ) ; C – столбец, состоящий из коэффициентов, обусловленных
дискретизацией краевой задачи; A – квадратная разреженная матрица почти девятидиагональной структуры с локальными отклонениями, элементы которой
обусловлены дискретизацией. Ненулевые элементы as q матрицы А расположены по указанным на рис. 10.8. диагоналям и в отмеченных (×) узлах.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив |
систему |
линейных |
|
|
алгебраических |
уравнений |
(10.28), |
|
найдем |
распределение |
давления в |
|
зазоре |
гидродинамического |
подвеса |
|
шарового гироскопа. |
|
|
|
Для |
решения |
систем линейных |
|
алгебраических |
уравнений |
высокого |
|
порядка |
|
с ленточной |
структурой |
|
матрицы |
А эффективным |
является |
|
построенный |
на |
основе |
метода |
|
Гаусса |
|
обобщенный |
|
алгоритм |
|
Томаса. Основная идея состоит в |
|
многократном повторении прогонки |
Рис. 10.8. Структура матрицы А |
вперед с |
целью |
последовательного |
|
исключения диагональных элементов |
матрицы, расположенных под главной диагональю. В рассматриваемой задаче алгоритм Томаса непосредственно применить невозможно, так как исходная матрица А не является строго ленточной. Выполнена модифицикация алгоритма Томаса, в которой учитываются особенности расположения ненулевых элементов матрицы А.
По распределению давления определяются напряжения на поверхности ротора и затем результирующие гидродинамические силы и моменты.
Результирующая гидродинамическая реакция подвеса F , как и в схеме А, равна
F = F I + F II .
Проекции Fxi (i =1, 3) результирующей гидродинамической силы на оси СКxi статора представляем в виде
Fxi = KF F xi ,
где KF = πpo R22 – масштабный коэффициент для сил; F xi безразмерные проекции реакции жидкости:
F x1 = − 1 π∫[π∫ pI cosϕ
π 0 0
F x2 = − 1 π∫[π∫ pI sin ϕ
π 0 0
F x3 = − 1 π∫[π∫ pI dϕ +
π 0 0
|
2π |
|
|
II |
cosϕ dϕ]sin2 |
|
|
p |
|
∫ |
|
θ dθ, |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
II |
sin ϕ dϕ]sin2 |
|
|
|
|
|
|
∫ p |
|
θ dθ, |
|
π |
|
|
|
|
|
|
dϕ]cosθsin θ dθ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= F Ixi + F IIxi –
(10.29)