Файл: OTIP.pdf

Скачать файл (2,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 360

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

~(k )	M N		(k )	,	(10.15)

P	= ∑∑ϖi j (θ,ϕ) pi j
	j=1i=1
где ϖi j(θ,ϕ) – двумерные	билинейные	пробные функции;				i(kj ) – значения
					p

функции давления в узлах (i j), которым соответствуют координаты θi и ϕj в области k.

На каждом из элементов, примыкающем к узлу (i j), определяем пробные функции ϖi j (θ,ϕ) . Для этого в каждом конечном элементе вводим локальную

нумерацию узлов (рис. 10.7) и локальные координаты λ, ν ( −1 ≤ λ ≤1, −1 ≤ ν ≤1).

Локальные координаты связаны с глобаль-

	ными следующими соотношениями:
	внутри элементов A, B
	λ = 2[ϕ – (ϕj+1 + ϕj)/2]/Δϕ;
	внутри элементов С, D
	λ = 2[ϕ – (ϕj–1 + ϕj)/2]/Δϕ;
	внутри элементов A, D
Рис. 10.7. Глобальная и	ν = 2[θ – (θi+1 + θi)/2]/Δθ;
локальная нумерация узлов	внутри элементов B, C
	ν = 2[θ – (θi–1 + θi)/2]/Δθ.

Билинейные пробные функции в локальной системе координат заданы формулами:

ϖu (λ,ν) = 0,25(1+ ς1u λ)(1+ ς2u ν),

где u = 1, 4 ; ς11 = ς14 = ς21 = ς22 = – 1, ς12 = ς13 = ς23 = ς24 = 1.

Приведенные аппроксимирующие функции обладают следующими

интерполяционными свойствами:
ϖu (λ, ν) =1, если λ = λu , ν = νu	(u =
ϖu (λ, ν) =1, если λ = λu , ν = νu	(u =	1, 4);	(10.16)
ϖu (λ, ν) = 0 для другихслучаев.			(10.16)
ϖu (λ, ν) = 0 для другихслучаев.
Здесь ϖ u (λ,ν) – значение функции в локальном узле u;			λu, νu – значения
локальных координат λ, ν в узле u.

Для представления приближенного решения (10.15) в матричной форме вводится сквозная нумерация узлов сетки: узлу (i j) соответствует новый узел с номером t, причем t = M(i −1) + j .

Так как i =1, N и j =1, M , то индекс t принимает значения t =1, N × M .

Следовательно,	пробные функции и узловые значения функции давления
принимают вид
	~	~(k )		(k )	.
	~	~(k )		(k )
	ϖt (θ,ϕ) = ϖi j (θ,ϕ) ;	pt	= pi j

Тогда приближенное решение (10.15) в области k представим в виде

169

~(k )

= W P

(k )

(10.17)

где W – матрица-строка, компонентами которой являются билинейные пробные

(k)

– столбец искомых узловых значений функции давления

функции ϖt

(θ,ϕ) ; P

~(k )

в области k; t =1, N × M .

После подстановки приближенного решения (10.17) в уравнение (10.14)

получаем невязку (k)

в области k

(k ) = L(P~(k ) ) .

С целью определения значений

~(k )

потребуем, чтобы интеграл взвешенной

невязки по всей вычислительной области Ω(k) был равен нулю

(k )

dϕdθ = 0

( m =1, N × M ) ,

(10.18)

∫∫ϖm(θ,ϕ)

Ω( k )

– весовая функция, которая согласно методу Галеркина выбирается

где ϖm (θ,ϕ)

из того же семейства, что и пробные функции ϖt (θ,ϕ) ; m – параметр,

соответствующий всем номерам t узлов сетки (t =

1, N × M

В равенство (10.18) подставляем невязку:

∂Θ(θ,ϕ)

∂Φ(θ,ϕ)

(10.19)

∫∫

ϖm (θ,ϕ)

∂θ

+ ϖm (θ,ϕ)

∂ϕ

dϕdθ = 0.

Ω( k )

Здесь использованы обозначения:

Θ(θ,ϕ) = sin θ(H (k ) )3

∂

(W P(k ) ),

∂θ

(10.20)

(H (k ) )3 ∂

(k )

(W P

Φ(θ,ϕ) =

) + Λsin

θ(ε1

cosϕ + ε2

sin ϕ).

sin θ

∂ϕ

Запишем полученное интегральное соотношение (10.19) в эквивалентном виде

Θ)

Φ)

∫∫

∂(ϖ

∂ϖ

m + Φ

∂ϖ

(10.21)

dϕdθ−

∫∫ Θ

dϕdθ = 0 .

Ω( k )

∂θ

∂ϕ

Ω( k )

∂θ

∂ϕ

Первый интеграл в (10.21) преобразуем по формуле Грина:

Θ)

∫∫

∂(ϖm

−

∂(−ϖmΦ)

(10.22)

∂θ

∂ϕ

dϕdθ = ∫

(ϖmΘdϕ − ϖmΦdθ) = 0 ,

Ω( k )

L( k )

где L(k) – граница области Ω(k). Криволинейный интеграл берется по контуру L(k), пробегаемому в положительном направлении.

Следовательно, выражение (10.21), записанное с учетом (10.22) и обозначений (10.20), принимает вид

∂

(k )

)

∂

∂ϖm

sin θ(H

(k )

)

(W P

(k )

)

∂ϖm

(W P

(k )

∫∫

∂θ

∂ϕ

sin θ

∂ϕ

) dϕdθ =

Ω( k )

= − ∫∫

∂ϖ

m Λsin2 θ(ε1(k ) cosϕ + ε(2k ) sin ϕ) dϕdθ

Ω( k )

∂ϕ

170

~(k )

или

(k )

)

∫∫

∂ϖm ∂W

sin θ(H

(k )

)

∂ϖm ∂W

(k )

∂θ ∂θ

∂ϕ ∂ϕ

sin θ

dϕdθ P

Ω( k )

	~
	∂ϖ		Λsin2
	∂ϖ				( m =1, N × M ).	(10.23)
= − ∫∫		m		θ(ε1(k ) cosϕ + ε(2k ) sin ϕ) dϕdθ	( m =1, N × M ).	(10.23)
Ω( k )	∂ϕ


На границе области k			функция давления задана краевыми условиями (10.13).
Неизвестными являются			значения функции в узлах, расположенных внутри
области Ω(k). Следовательно, искомые узловые значения функции давления в
области k содержатся в уравнениях (10.23) с номерами m =
				M(d −1) +1, Md −1;
d =		. Таким образом, получена система (N – 2)(M – 2) линейных алгебраи-
	2, N −1


ческих уравнений относительно	~(k )		, которая в матричной форме имеет вид
	pt
A(k )		P(k ) = C(k ) .		(10.24)

Компоненты квадратной матрицы A(k ) и матрицы-столбца С(k ) определяются по формулам:

Am,(k )t

Cm(k )

		~	~	~	~	(H	(k )	)	3	dϕdθ,
=	∫∫	∂ϖm	∂ϖt (H	(k ) )3 sin θ + ∂ϖm ∂ϖt

		∂θ	∂θ	∂ϕ	∂ϕ	sin θ
	Ω( k )
		~
= − ∫∫		∂ϖ	m Λsin2
				θ(ε1(k ) cosϕ + ε2(k ) sin ϕ) dϕdθ.
	Ω( k ) ∂ϕ

(10.25)

(10.26)

Так как весовые и пробные функции задаются на каждом конечном элементе формулами (10.16), то при нахождении двумерных интегралов (10.25), (10.26)

коэффициентов Cm(k ) , Am,(k )t внутри вычислительной области Ω(k) ненулевые вклады

вносят только элементы A, B, C, D, примыкающие к узлу m, совпадающему с узлом t или (i j) (см. рис. 10.7).

В результате дискретизации граничных условий (10.7) получаем

~(k )	~(k )

p j	=1, p(N −1)M + j =1 ( j =1, M );
~I	~II	~II		~I
p(i−1)M +1 = p(i−1)M +M , p(i−1)M +1			= p(i−1)M +M

(10.27)

(i = 2, N −1).

Две системы уравнений (10.24) при k = I и k = II и равенства (10.27) совместно представляют линейную алгебраическую систему уравнений для вычисления искомых сеточных значений функции давления в зазоре гидродинамического подвеса. В матричной форме полученную систему уравнений представим в виде

A P = C,

(10.28)

где P – столбец, составленный из искомых узловых значений функции давления = pi(kj ) ; C – столбец, состоящий из коэффициентов, обусловленных

дискретизацией краевой задачи; A – квадратная разреженная матрица почти девятидиагональной структуры с локальными отклонениями, элементы которой

171

обусловлены дискретизацией. Ненулевые элементы as q матрицы А расположены по указанным на рис. 10.8. диагоналям и в отмеченных (×) узлах.


	Решив		систему			линейных

	алгебраических			уравнений			(10.28),
	найдем	распределение				давления в
	зазоре	гидродинамического					подвеса
	шарового гироскопа.
	Для	решения			систем линейных
	алгебраических			уравнений			высокого
	порядка		с ленточной			структурой
	матрицы		А эффективным				является
	построенный			на	основе		метода
	Гаусса		обобщенный				алгоритм
	Томаса. Основная идея состоит в
	многократном повторении прогонки
Рис. 10.8. Структура матрицы А	вперед с		целью		последовательного
	исключения диагональных элементов

матрицы, расположенных под главной диагональю. В рассматриваемой задаче алгоритм Томаса непосредственно применить невозможно, так как исходная матрица А не является строго ленточной. Выполнена модифицикация алгоритма Томаса, в которой учитываются особенности расположения ненулевых элементов матрицы А.

По распределению давления определяются напряжения на поверхности ротора и затем результирующие гидродинамические силы и моменты.

Результирующая гидродинамическая реакция подвеса F , как и в схеме А, равна

F = F I + F II .

Проекции Fxi (i =1, 3) результирующей гидродинамической силы на оси СКxi статора представляем в виде

Fxi = KF F xi ,

где KF = πpo R22 – масштабный коэффициент для сил; F xi безразмерные проекции реакции жидкости:

F x1 = − 1 π∫[π∫ pI cosϕ

π 0 0

F x2 = − 1 π∫[π∫ pI sin ϕ

π 0 0

F x3 = − 1 π∫[π∫ pI dϕ +

π 0 0