ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 467

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

~(k )

M N

 

 

(k )

,

(10.15)

 

 

P

= ∑∑ϖi j (θ,ϕ) pi j

 

j=1i=1

 

 

 

 

 

 

где ϖi j(θ,ϕ) – двумерные

билинейные

пробные функции;

 

i(kj ) – значения

p

функции давления в узлах (i j), которым соответствуют координаты θi и ϕj в области k.

На каждом из элементов, примыкающем к узлу (i j), определяем пробные функции ϖi j (θ,ϕ) . Для этого в каждом конечном элементе вводим локальную

нумерацию узлов (рис. 10.7) и локальные координаты λ, ν ( 1 ≤ λ ≤1, 1 ≤ ν ≤1).

Локальные координаты связаны с глобаль-

 

ными следующими соотношениями:

 

внутри элементов A, B

 

λ = 2– (ϕj+1 + ϕj)/2]/Δϕ;

 

внутри элементов С, D

 

λ = 2– (ϕj–1 + ϕj)/2]/Δϕ;

 

внутри элементов A, D

Рис. 10.7. Глобальная и

ν = 2– (θi+1 + θi)/2]/Δθ;

локальная нумерация узлов

внутри элементов B, C

 

ν = 2– (θi–1 + θi)/2]/Δθ.

Билинейные пробные функции в локальной системе координат заданы формулами:

ϖu (λ,ν) = 0,25(1+ ς1u λ)(1+ ς2u ν),

где u = 1, 4 ; ς11 = ς14 = ς21 = ς22 = – 1, ς12 = ς13 = ς23 = ς24 = 1.

Приведенные аппроксимирующие функции обладают следующими

интерполяционными свойствами:

 

 

 

 

ϖu (λ, ν) =1, если λ = λu , ν = νu

(u =

 

 

 

1, 4);

(10.16)

ϖu (λ, ν) = 0 для другихслучаев.

 

 

 

 

 

 

 

Здесь ϖ u (λ,ν) – значение функции в локальном узле u;

λu, νu – значения

локальных координат λ, ν в узле u.

 

 

 

 

Для представления приближенного решения (10.15) в матричной форме вводится сквозная нумерация узлов сетки: узлу (i j) соответствует новый узел с номером t, причем t = M(i 1) + j .

Так как i =1, N и j =1, M , то индекс t принимает значения t =1, N × M .

Следовательно,

пробные функции и узловые значения функции давления

принимают вид

 

 

 

 

 

 

 

~

~(k )

 

 

(k )

.

 

 

 

 

ϖt (θ,ϕ) = ϖi j (θ,ϕ) ;

pt

= pi j

Тогда приближенное решение (10.15) в области k представим в виде

169


 

 

 

 

 

 

 

 

 

~(k )

= W P

(k )

,

 

 

 

 

 

 

(10.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

где W – матрица-строка, компонентами которой являются билинейные пробные

 

 

~

 

 

(k)

столбец искомых узловых значений функции давления

функции ϖt

(θ,ϕ) ; P

~(k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в области k; t =1, N × M .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки приближенного решения (10.17) в уравнение (10.14)

получаем невязку (k)

в области k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k ) = L(P~(k ) ) .

 

 

 

 

 

 

 

С целью определения значений

~(k )

потребуем, чтобы интеграл взвешенной

 

pt

невязки по всей вычислительной области Ω(k) был равен нулю

 

 

 

 

~

 

 

(k )

dϕdθ = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( m =1, N × M ) ,

(10.18)

 

 

 

∫∫ϖm(θ,ϕ)

 

 

 

~

Ω( k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– весовая функция, которая согласно методу Галеркина выбирается

где ϖm (θ,ϕ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

из того же семейства, что и пробные функции ϖt (θ,ϕ) ; m – параметр,

соответствующий всем номерам t узлов сетки (t =

 

).

 

1, N × M

 

 

В равенство (10.18) подставляем невязку:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

∂Θ(θ,ϕ)

 

~

 

 

 

∂Φ(θ,ϕ)

(10.19)

 

 

 

∫∫

ϖm (θ,ϕ)

 

∂θ

+ ϖm (θ,ϕ)

 

 

∂ϕ

dϕdθ = 0.

 

 

 

Ω( k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь использованы обозначения:

Θ(θ,ϕ) = sin θ(H (k ) )3

(W P(k ) ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂θ

 

 

 

(10.20)

 

(H (k ) )3

 

 

 

(k )

 

2

(k )

(k )

 

 

 

 

 

(W P

 

 

 

Φ(θ,ϕ) =

 

 

 

 

) + Λsin

 

θ(ε1

cosϕ + ε2

sin ϕ).

 

sin θ

 

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем полученное интегральное соотношение (10.19) в эквивалентном виде

 

 

~

 

Θ)

 

 

 

~

 

Φ)

 

 

~

 

~

 

 

 

∫∫

(ϖ

m

+

(ϖ

m

 

∂ϖ

m + Φ

∂ϖ

m

(10.21)

 

 

 

 

 

 

 

dϕdθ−

∫∫ Θ

 

 

dϕdθ = 0 .

Ω( k )

∂θ

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

Ω( k )

∂θ

∂ϕ

 

 

Первый интеграл в (10.21) преобразуем по формуле Грина:

 

 

 

 

 

~

Θ)

 

 

 

 

~

 

 

~

 

~

 

 

 

 

∫∫

(ϖm

(−ϖmΦ)

 

 

 

 

(10.22)

 

 

 

∂θ

 

 

 

 

 

∂ϕ

dϕdθ =

(ϖmΘdϕ − ϖmΦdθ) = 0 ,

 

Ω( k )

 

 

 

 

 

 

 

 

L( k )

 

 

 

 

 

где L(k) – граница области Ω(k). Криволинейный интеграл берется по контуру L(k), пробегаемому в положительном направлении.

Следовательно, выражение (10.21), записанное с учетом (10.22) и обозначений (10.20), принимает вид

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

(H

(k )

)

3

 

 

 

 

 

∂ϖm

sin θ(H

(k )

)

3

(W P

(k )

)

+

∂ϖm

 

 

 

(W P

(k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

∂θ

 

 

 

∂θ

 

∂ϕ

sin θ

 

 

∂ϕ

 

) dϕdθ =

Ω( k )

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − ∫∫

∂ϖ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m Λsin2 θ(ε1(k ) cosϕ + ε(2k ) sin ϕ) dϕdθ

 

 

 

Ω( k )

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

170



~(k )
pt

или

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

(H

(k )

)

3

 

 

 

 

∫∫

 

∂ϖm W

sin θ(H

(k )

)

3

+

∂ϖm W

 

 

 

 

(k )

=

 

∂θ ∂θ

 

 

∂ϕ ∂ϕ

sin θ

 

dϕdθ P

 

Ω( k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ϖ

 

Λsin2

 

 

 

 

 

 

( m =1, N × M ).

(10.23)

= − ∫∫

 

m

θ(ε1(k ) cosϕ + ε(2k ) sin ϕ) dϕdθ

Ω( k )

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

На границе области k

функция давления задана краевыми условиями (10.13).

Неизвестными являются

значения функции в узлах, расположенных внутри

области Ω(k). Следовательно, искомые узловые значения функции давления в

области k содержатся в уравнениях (10.23) с номерами m =

 

 

M(d 1) +1, Md 1;

d =

 

. Таким образом, получена система (N – 2)(M – 2) линейных алгебраи-

2, N 1

ческих уравнений относительно

~(k )

, которая в матричной форме имеет вид

pt

 

A(k )

P(k ) = C(k ) .

(10.24)

Компоненты квадратной матрицы A(k ) и матрицы-столбца С(k ) определяются по формулам:

Am,(k )t

Cm(k )

 

 

 

~

~

~

~

(H

(k )

)

3

dϕdθ,

=

∫∫

∂ϖm

∂ϖt (H

(k ) )3 sin θ + ∂ϖm ∂ϖt

 

 

 

 

 

 

 

 

∂θ

∂θ

∂ϕ

∂ϕ

sin θ

 

 

 

Ω( k )

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

= − ∫∫

∂ϖ

m Λsin2

 

 

 

 

 

 

 

θ(ε1(k ) cosϕ + ε2(k ) sin ϕ) dϕdθ.

 

Ω( k ) ∂ϕ

 

 

 

 

 

 

 

(10.25)

(10.26)

Так как весовые и пробные функции задаются на каждом конечном элементе формулами (10.16), то при нахождении двумерных интегралов (10.25), (10.26)

коэффициентов Cm(k ) , Am,(k )t внутри вычислительной области Ω(k) ненулевые вклады

вносят только элементы A, B, C, D, примыкающие к узлу m, совпадающему с узлом t или (i j) (см. рис. 10.7).

В результате дискретизации граничных условий (10.7) получаем

~(k )

~(k )

 

 

 

 

 

 

 

 

p j

=1, p(N 1)M + j =1 ( j =1, M );

~I

~II

~II

 

~I

p(i1)M +1 = p(i1)M +M , p(i1)M +1

= p(i1)M +M

(10.27)

(i = 2, N 1).

Две системы уравнений (10.24) при k = I и k = II и равенства (10.27) совместно представляют линейную алгебраическую систему уравнений для вычисления искомых сеточных значений функции давления в зазоре гидродинамического подвеса. В матричной форме полученную систему уравнений представим в виде

A P = C,

(10.28)

где P столбец, составленный из искомых узловых значений функции давления = pi(kj ) ; C столбец, состоящий из коэффициентов, обусловленных

дискретизацией краевой задачи; A – квадратная разреженная матрица почти девятидиагональной структуры с локальными отклонениями, элементы которой

171


обусловлены дискретизацией. Ненулевые элементы as q матрицы А расположены по указанным на рис. 10.8. диагоналям и в отмеченных (×) узлах.

 

Решив

систему

линейных

 

 

алгебраических

уравнений

(10.28),

 

найдем

распределение

давления в

 

зазоре

гидродинамического

подвеса

 

шарового гироскопа.

 

 

 

Для

решения

систем линейных

 

алгебраических

уравнений

высокого

 

порядка

 

с ленточной

структурой

 

матрицы

А эффективным

является

 

построенный

на

основе

метода

 

Гаусса

 

обобщенный

 

алгоритм

 

Томаса. Основная идея состоит в

 

многократном повторении прогонки

Рис. 10.8. Структура матрицы А

вперед с

целью

последовательного

 

исключения диагональных элементов

матрицы, расположенных под главной диагональю. В рассматриваемой задаче алгоритм Томаса непосредственно применить невозможно, так как исходная матрица А не является строго ленточной. Выполнена модифицикация алгоритма Томаса, в которой учитываются особенности расположения ненулевых элементов матрицы А.

По распределению давления определяются напряжения на поверхности ротора и затем результирующие гидродинамические силы и моменты.

Результирующая гидродинамическая реакция подвеса F , как и в схеме А, равна

F = F I + F II .

Проекции Fxi (i =1, 3) результирующей гидродинамической силы на оси СКxi статора представляем в виде

Fxi = KF F xi ,

где KF = πpo R22 – масштабный коэффициент для сил; F xi безразмерные проекции реакции жидкости:

F x1 = − 1 π[πpI cosϕ

π 0 0

F x2 = − 1 π[πpI sin ϕ

π 0 0

F x3 = − 1 π[πpI dϕ +

π 0 0

dϕ +

dϕ +

2π II

p

π

2π

 

 

II

cosϕ dϕ]sin2

 

p

 

θ dθ,

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

II

sin ϕ dϕ]sin2

 

 

 

 

p

 

θ dθ,

π

 

 

 

 

 

dϕ]cosθsin θ dθ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= F Ixi + F IIxi

(10.29)

172