Файл: OTIP.pdf

Течение жидкости в зазоре подвеса описывается уравнениями Рейнольдса. Рассматривая эти уравнения совместно с уравнением неразрывности и используя краевые условия «прилипания» для скоростей, получим дифференциальное уравнение для распределения давления:

где p(k ) – безразмерное давление в области k; p(k ) = p(k ) po ; po – давление в

При постановке краевой задачи для распределения давления принимаем следующие условия:

•давление является непрерывной функцией координат θ, ϕ и периодической функцией с периодом 2π по координате ϕ: p(k )(θ,ϕ) = p(k )(θ,ϕ + 2π);

•жидкость непрерывно заполняет зазор;

•отверстия не являются ограничителями расхода, поэтому давление под отверстиями А и Б принимается равным давлению в камере;

•на границе областей I и II выполняются условия непрерывности давления и местных меридиональных расходов.

Тогда краевые условия для функций p(k )(θ,ϕ) записываются в виде:

где r* – радиус отверстия.

Функцию давления приближенно представим в виде линейной части простого разложения в ряд по степеням малых параметров λ(ik ) :

p(k ) = Po(k ) + ∑5 λ(ik ) Pi(k ) . i=1

Функции первого приближения приводятся к виду:

164

Функции X m(k ) = X m(k ) (θ), Ym(k ) = Ym(k ) (θ) (m =1, 4; k = I, II ) находятся решением восьми краевых задач вида:

Применение метода малых возмущений позволило свести решение двумерной краевой задачи (10.3), (10.4) к восьми краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (10.5), (10.6), которые решаются численным методом. Строятся разностные схемы интегроинтерполяционным методом на равномерной сетке. Разностные уравнения приводятся к системам линейных алгебраических уравнений трехдиагональной структуры, которые решаются методом прогонки. По известным значениям функций

(lI = 1, lII = –1).

Рассматривая напряжения жидкости на поверхности ротора, определим в соответствии с принятыми приближениями проекции на оси Oxi статора главного

вектора F (k ) и проекции главного момента гидродинамических сил M O(k ) в k-той области. Результирующие гидродинамическая реакция подвеса F и момент реакций подвеса M O соответственно равны:

F = F I + F II ; M O = M OI + M OII .

165

Соответствующие безразмерные величины определяются в виде интегралов:

величина MOx3 – момент сопротивления его быстрому собственному вращению.

Интегралы безразмерных проекций гидродинамических сил и моментов вычисляются с помощью квадратурной формулы Симпсона.

166

10.3. Определение гидродинамических реакций подвеса для расчетной схемы В

В расчетной схеме В гидродинамического подвеса (см. рис. 10.2б) учитываются производственно-технологические погрешности в виде усечения и

смещения деталей статора, вектор сдвига центров сегментов χ лежит в плоскости, проходящей через ось вращения ротора.

Пространство между статором и ротором разделим на две области: область I соответствует сегменту I, в ней r [0, R1I ], θ [0, π], ϕ [0, π]; область II – сегменту II, в ней r [0, R1II ], θ [0, π], ϕ [π, 2π]. Все величины, относящиеся

к этим областям, будем записывать с индексами I и II соответственно. Поверхности I и II в СКxi статора описываются уравнениями:

где R1 – радиус идеальной сферы статора; χ – модуль вектора сдвига центров сегментов I и II; φ – угол ориентации вектора сдвига χ (угол между осью Oxx1 и вектором χ) (см. рис. 10.2б); χ(2k ) – усечение полусферы k вдоль оси x2(k ) , k = I, II; на рис. 10.6 показано усечение полусферы I вдоль оси x2.

Положение центра ротора О в СКxi

статора определяется вектором e . В области k относительная величина зазора в радиальном направлении записывается в виде

центров сегментов I и II, φ – угол ориентации вектора сдвига χ (см. рис. 10.2б).

Дифференциальное уравнение для распределения давления слоя жидкости получено также, как и для схемы А:

167

камере; Λ = 6μωR22 (δ2 po ) .

При постановке краевой задачи для распределения давления учитываются те же допущения, что и для схемы А. Краевые условия записываются в виде:

где θ1 = r* / R1 (r* – радиус отверстия).

Уравнению в частных производных можно поставить в соответствие систему алгебраических уравнений относительно значений функции в выбранных узлах области Ω решения краевой задачи разными методами. Дискретизация чаще всего осуществляется с помощью метода конечных разностей и метода конечных элементов.

В рассматриваемой схеме зазор терпит разрыв по координате ϕ с переменной по координате θ «ступенькой». Учесть нерегулярности геометрии зазора гидродинамического подвеса позволяет метод конечных элементов (МКЭ). Элементы могут аппроксимировать границы любой конфигурации. Использование интерполяционных функций, обеспечивающих непрерывность давления и массового расхода, дает возможность проводить анализ ступенчатых конфигураций.

Для решения представленной двумерной краевой задачи (10.12), (10.13) применяется МКЭ в формулировке Галеркина. Уравнение (10.12) переписываем в дивергентной форме:

Поверхность чаши подвеса разбивается на четырехугольные конечные элементы N параллелями и L меридианами по сферическим координатам θ, ϕ соответственно. Причем, линии координатной сетки, проходящие по меридианам ϕ = 0 и ϕ = π через полюсы сферы θ = 0, θ = π, разделяют поверхность на области

I и II, (см. рис. 10.2б).

Приближенное решение краевой задачи (10.13), (10.14) записывается в виде линейной комбинации пробных функций, коэффициентами которых являются

узловые значения искомой функции давления в области k (k = I, II)

168