ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.09.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 0
нулевая гипотеза H0: p = p0 отвергается, и принимается гипотеза H1: p > p0.
Относи |
Относитель |
тельная частота |
ная частота |
ˆp =m/n нахо |
ˆp =m/n может |
дится левее веро |
находиться как левее |
ятности p0, поэто |
вероятности p0, так и |
му нет оснований |
правее нее, поэтому |
отвергнуть прове |
нет оснований отверг |
ряемую гипотезу |
нуть проверяемую ги |
H0: p = p0 при аль |
потезу H0: p = p0 |
тернативе |
|
H0: p = p0 |
|
Относительная час тота ˆp =m/n с боль шой вероятно стью на ходится правее вероят ности p0. Если гипотеза H0
справедлива, то такое собы тие может произойти лишь с очень малой веростностью
α = 0,05, поэтому есть осно вания отвергнуть проверяе мую гипотезу H0: p = p0 и принять альтернативную
гипотезу H1: p < p0 p
p0 |
−uγ/2 |
p0 (1−p0 ) |
p0 |
p0 |
−uγ/2 |
p0 (1−p0 ) |
|
n |
n |
||||||
|
|
|
|
|
Рис. 5.4.1 Критическая область (заштрихована) и область принятия нулевой гипотезы в задаче 449
В нашем случае γ =0,9, n =100,ˆp= |
48 |
=0,48, p =0,3 |
, с помощью Microsoft Excel получа |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
100 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ем u |
= u = НОРМСТОБР((1 + 0,9)/2)) = 1,64, |
p +u |
γ/2 |
|
p0 (1−p0 ) |
=0,3 +1,65 |
0,3(1−0,3) |
= |
|||||
|
|
|
|||||||||||
γ/2 |
|
0,45 |
|
|
|
0 |
|
n |
100 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=0,3 +1,65 |
21 |
≈0,38 , поэтому неравенство (5.4.2) выполняется, что является основанием от |
|||||||||||
100 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную гипотезу, состоящую в том, что веро ятность заключение контракта Ивановым выше, чем средним сотрудником.
Преобразуем неравенство (5.4.2):
ˆ |
p0 (1−p0 ) |
|
ˆ(p −p0 ) n |
|
|
|
|
|
p (1−p ) >uγ/2 . |
|
|
||||
p >p0 +uγ/2 |
n |
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
Теперь можно при проверке нулевой гипотезы H0: p = p0 при альтернативной гипотезе |
|||||||
H1: p > p0 вычислить по выборочным данным значение статистики Z = |
ˆ(p−p0 ) n |
||||||
|
и сравнить |
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
p0 (1−p0 ) |
|
его с критическим значением uγ/2. Критической области при этом соответствует неравенство
Z >uγ/2 .
450. Торговая компания собирается открыть в новом районе города фи лиал. Из опыта работы компании известно, что филиал будет работать при быльно, если за неделю средний доход жителей района превышает 400 ден. ед.; также известна дисперсия дохода σ2 =400 . Требуется: а) определить правило принятия решения, с помощью которого, основываясь на выборке объемом n =100 и уровне значимости α=0,05 , может быть установлено, что филиал будет работать прибыльно; б) предположив, что в действительности средний доход за неделю достигает 406 ден. ед., рассчитать вероятность того,
81
что при применении предложенного правила принятия решения будет совер шена ошибка второго рода.
Решение. а) Компания не откроет филиал, если средний доход жителей не превысит 400 ден. ед. Потому будем считать, что H0 : a =a0 =400 , H1 : a >a0 . Так как значение гене
ральной |
дисперсии |
σ2 =400 |
известно, |
то гипотезу H |
принимают, |
если |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
( |
|
−a0 ) |
n |
|
|
|
|
|
|
Z = |
X |
>u(1−2α)/2 |
. По условию |
a0 =400 , |
u0,45 =1,65 , потому гипотезу H1 : a >a0 |
прини |
||||
|
|
σ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мают и, следовательно, филиал открывают, если если недельный среднедушевой доход 100 жителей x >400 +2 1,65 =403,3 .
б) Альтернативное значение среднего дохода равно a1 =430 , и гипотеза H1: a =406 >a0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
(a −a ) n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
В этом |
случае |
вероятность ошибки второго рода |
β=0,5 |
−Φ |
|
|
−u |
= |
|||
σ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(1−2α)/2 |
|||
|
6 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0,09 . |
|
|
|
|
|
|
|
=0,5−Φ0 |
20 |
−1,65 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
451. |
Производитель электроламп утверждает, что средний срок их |
||||||||||
службы составляет a0 =1000 ч. Проверить эту гипотезу на 5% ном уровне значимости по выборке из n =25 ламп, для которой x =875 ч, s =50 ч.
Решение. Будем проверять на уровне значимости α =5% =0,05 нулевую гипотезу
H0 : MX =a0 о том, что математическое ожидание срока службы лампы равно a0 =1000 ч при альтернативной гипотезе H1 : MX <a0 , что на самом деле математическое ожидание
срока службы лампы меньше, чем |
заявляет |
их |
производитель. |
Значение |
||||||
|
|
( |
|
−a0 ) |
n |
|
(875−1000) |
25 |
|
|
tn−1; 2α =t24; 0,1 =21,71, а значение статистики T = |
X |
равно |
=−12,5 . |
|||||||
|
|
s |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
||
Поскольку T>−tn−1;2α , нулевую гипотезу H0 |
не отвергаем, т. е. считаем, что производи |
|||||||||
тель не завышает истинный срок службы ламп. |
|
|
|
|
|
|
||||
452. В условиях задачи 432 требуется, предположив нормальность рас пределения объема продаж, на 5% ном уровне значимости проверить гипоте зу H0: MX =[x] при альтернативной гипотезе H1: MX ≠[x] (здесь [s] — целая часть числа s); рассчитать вероятность ошибки второго рода, задавшись аль тернативным числовым значением MX.
Решение. В предположении нормальности распределения объема продаж проверим на 5% ном уровне значимости справедливость гипотезы H0: MX = 49 при альтернативной гипо тезе H1: MX ≠ 49.
|
= |
( |
X |
−a0 ) |
n |
(49,6−49) 100 |
=0,55 . |
|
Наблюдаемое числовое значение статистики Tn−1 |
|
|
|
|
равно |
|
||
|
|
sX |
|
10,85 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
При α = 0,05 значение критической точки tα; n−1 =t0,05; 99 =1,98 . Поскольку |0,55| < t0,05; 99 , нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу H0.
Пусть альтернативное значение математического ожидания равно a1 = 50, тогда веро ятность ошибки второго рода равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a0 −a1) n |
|
|
|
|
|
|
(a0 −a1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
β=P Tn−1 > |
|
|
−tα; n−1 −P Tn−1 > |
|
|
+tα; n−1 |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
sX |
|
|
|
|
|
|
|
sX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(49−50) 100 |
|
|
|
|
|
|
(49−50) |
100 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
=P T |
> |
|
|
−t |
−P T |
> |
|
|
|
|
+t |
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
99 |
|
|
10,85 |
|
0,05; 99 |
|
|
99 |
|
|
10,85 |
|
|
0,05; 99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=P{T99 >−0,92−1,98}−P{T99 >−0,92+1,98}= P{T99 <2,9}−P{T99 >1,06}=
=1−0,002−0,146 =0,857.
82
Здесь вероятности P{Tk > t} можно рассчитать с помощью функции Microsoft Excel
P{Tk > t} = СТЬЮДРАСП(<t>; <k>; 1).
453.Инвестиционный фонд объявил, что доходность по вложениям в него превысила среднерыночную на 0,003. В течение последнего года средняя доходность по рынку составила 0,005, а средняя доходность по фонду состави ла 0,0065 с исправленным средним квадратичным отклонением 0,019. Прове рить на 5% ном уровне значимости, насколько справедливо заявление фонда.
454.Продюсер некоторой телепередачи утверждает, что она должна привлечь внимание, по крайней мере, трети телезрителей. Из 64 опрошенных только 16 заявили о своем намерении посмотреть эту передачу. Оценить ут верждение продюсера на 5% ном уровне значимости.
455.Средняя оценка контрольной работы в студенческой группе из 25 человек оказалась равной 3,25. После контрольной работы преподаватель провел консультацию, после чего была повторно написана контрольная рабо та, и средняя оценка оказалась равной 3,3. Проверить на 5% ном уровне зна
чимости, помогла ли консультация, считая средние квадратичные отклонения оценок известными и в обоих случаях равными σ1 =σ2 =1.
456.Такси оснащается двумя видами шин A и B. Десять шин вида A
имеют x1 =40 000 км, s1 =5 950 км, двенадцать шин вида B — x2 =38 000 км, s2 =5150 км. Определить, существенно ли различие между стойкостью двух видов шин, если генеральные совокупности нормальны и σ1 =σ2 .
83
84
85
5.4.2. К р и т е р и и с о г л а с и я
Разобьем множество возможных значений случайной величины X на k р а з р я д о в (для непрерывной случайной величины роль разрядов играют ин тервалы значений, а для дискретной — отдельные возможные значения или их группы). Выдвинем нулевую гипотезу H0: FX (x) =Fтеор. (x) (состоящую в том,
что генеральная совокупность распределена по закону Fтеор. (x) ) при альтерна тивной гипотезе H1: FX (x) ≠Fтеор. (x) . Одним из критериев согласия выборочно го и теоретического распределений является критерий χ2 (критерий Пир%
сона), который основывается на том, что распределение статистики
2 |
k |
(ni −npiтеор. )2 |
|
|
χν−l−1 |
=∑ |
|
, |
(5.4.3) |
теор. |
||||
|
i=1 |
npi |
|
|
(где ni — число попаданий элементов выборки в i й разряд, n — общее число
pтеор.
элементов выборки, а i — теоретическая вероятность попадания случайной величины X в i й разряд при условии истинности нулевой гипотезы) не зави сит от выдвинутой гипотезы и определяется только числом степеней свободы k =ν−l −1, где ν — число разрядов, а l — число оцениваемых параметров.
Если выбрать уровень значимости α , то
γ=1−α =P{χ2ν−l−1 <χ2ν−l−1;α }, |
(5.4.4) |
и критическая область определяется неравенством |
|
χ2ν−l−1 >χ2ν−l−1;α . |
(5.4.5) |
О б р а т и м в н и м а н и е на то, что критерий Пирсона можно использо |
|
вать только в том случае, когда npiтеор. .5 , поэтому разряды, |
для которых это |
условие не выполняется, необходимо объединять с соседними. |
|
Задачи
457. Были случайно отобраны 80 банковских счетов, и зафиксированы остатки на них. Результаты таковы:
Остаток |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на счете, |
[2,5; 3,5) [3,5; 4,5) [4,5; 5,5) [5,5; 6,5) [6,5; 7,5) [7,5; 8,5) [8,5; 9,5) [9,5;10,5) |
||||||||
тыс. ден. ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число |
2 |
4 |
13 |
25 |
16 |
11 |
6 |
3 |
|
вкладчиков |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверить на 5% ном уровне значимости гипотезу о том, что остаток на счете распределен по нормальному закону.
Решение. Построим по данному интервальному вариационному ряду гистограмму и по лигон (рис. 5.4.2). По их виду, действительно, можно предположить, что наблюдаемая слу чайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a и σ. Значения па раметров возьмем равными их несмещенным, состоятельным и эффективным оценкам: a = x; σ=s . Вычислим эти оценки:
86
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xi′ni |
|
3 2+4 4+5 13 |
+6 25 |
+7 16+8 11+9 6+10 3 |
|
521 |
=6,5125 , |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
i=1 |
|
|
|
|
= |
|
= |
||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
80 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∑(xi′)2 ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
9 2 |
+16 4+25 13+36 25 |
+49 16+64 11+81 6+100 3 |
= |
3581 |
=44,7625 , |
||||||||||||||||||||
x2 = |
i=1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
80 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≈2,35 , s |
|
|
|
n |
|
|
|
80 |
2,35 ≈2,38 , s = 2,38 ≈1,54 . |
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ˆσ =(x −x) |
|
= |
|
|
|
ˆσ = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
На том же рис. 5.4.2 начертим график кривой нормального распределения с парамет |
||||||||||||||||||||||||||||||
рами a =6,5125, |
σ=1,54 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Рис. 5.4.2 Гистограмма, полигон и кривая теоретического распределения в задаче 457
Между гистограммой и кривой распределения есть различия. Выясним, можно ли на 5% ном уровне значимости отнести эти различия на счет случайности, или же мы выдвину ли ложную гипотезу.
Вычислим значение статистики χ2ν −l−1 . Для этого сначала найдем вероятности, кото
рые приходятся на каждый интервал [при этом первый интервал считаем начинающимся в точке −∞ , а последний интервал — заканчивающимся в точке +∞].
|
|
1 |
|
|
|
3,5 |
−6,5125 |
|
|
1 |
|
|
|
−∞−6,5125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p =P{X <3,5} =F(3,5)−F(−∞) = |
|
+Φ |
|
|
|
|
|
− |
|
+Φ |
|
|
|
|
=0,0252−0 |
=0,0252. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1,54 |
|
2 |
|
|
|
1,54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, |
p2 =P{3,5 -X<4,5} =0,0704 , |
|
p3 =P{4,5 -X<5,5} =0,1598 , |
p4 = |
|||||||||||||
=P{5,5 -X<6,5} = 0,2413 , |
p5 =P{6,5 -X<7,5}=0,2426 , |
p6 =P{7,5 -X<8,5}=0,1623 , |
|||||||||||||||
p7 =P{8,5 -X<9,5} =0,0722 , p8 =P{X .9,5} =0,0262 . Дальнейшие вычисления для удобства и наглядности сведем в табл 5.4.3. Критерий Пирсона можно использовать только в том случае, когда npiтеор. .5 , поэтому интервалы, для которых это условие не выполняется, объединим с соседними. Новое число интервалов обозначим ν′=6 .
Окончательное значение χ2ν′−l−1 равно сумме величин в последнем столбце, т. е. 3,0934. Теперь найдем критическую точку χ2ν′−l−1;α . Для этого, прежде всего, рассчитаем число
степеней свободы: при расчете χ2ν′−l−1 использовалось ν′=6 интервалов, у предполагаемого
нормального распределения были неизвестны l =2 параметра, поэтому ν′−l −1=6−2−1=3 . С помощью Microsoft Excel находим
χ2α;ν′−l−1 =χ20,05; 3 = ХИ2ОБР(0,05; 3) = 7,81.
Поскольку χ2ν′−l−1 <χα2 ; ν′−l−1 , нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распре делении остатка на счете.
87
|
|
|
|
|
Расчет χ2ν′−l−1 |
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 5.4.3 |
||||||
|
|
|
|
|
в задаче 457 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ai+1 |
|
F(ai ) |
F(ai+1) |
теор |
=F(ai+1)−F(ai ) |
|
теор |
|
(ni −npiтеор )2 |
|
||||||
|
ai |
ni |
pi |
|
npi |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
теор |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npi |
|
||
|
2,5 |
3,5 |
2 |
0,0000 |
0,0252 |
|
0,0252 |
|
2,02 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,65 |
|
0,3559 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3,5 |
4,5 |
|
0,0252 |
0,0956 |
|
0,0704 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
|
5,63 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4,5 |
5,5 |
13 |
0,0956 |
0,2554 |
|
0,1598 |
|
12,78 |
|
0,0038 |
|
|
|||||
|
5,5 |
6,5 |
25 |
0,2554 |
0,4968 |
|
0,2413 |
|
19,31 |
|
1,6766 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
6,5 |
7,5 |
16 |
0,4968 |
0,7393 |
|
0,2426 |
|
19,40 |
|
0,5959 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7,5 |
8,5 |
11 |
0,7393 |
0,9016 |
|
0,1623 |
|
12,98 |
|
0,3020 |
|
|
|||||
|
8,5 |
9,5 |
6 |
0,9016 |
0,9738 |
|
0,0722 |
|
5,78 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,88 |
|
0,1592 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9,5 |
10,5 |
|
0,9738 |
1,0000 |
|
0,0262 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
2,10 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
χ2ν |
′−l−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0934 |
|
|
|
458. Для каждого из 100 компьютеров в офисе фирмы регистрирова |
||||||||||||||||||
лось число поломок в течение года: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Число поломок |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 и более |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Число компьютеров |
|
|
50 |
25 |
18 |
7 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверить на 5% ном уровне значимости гипотезу о том, что число поло мок компьютера за год распределено по закону Пуассона.
459. Дано распределение успеваемости 50 студентов, сдавших 4 экза мена в сессию:
Число сданных экзаменов |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Число студентов |
1 |
1 |
3 |
15 |
30 |
|
|
|
|
|
|
Проверить на уровне значимости α =0,1 гипотезу о том, что число сдан ных экзаменов (из четырех) имеет биномиальный закон распределения.
460. В условиях задачи 432 требуется с помощью программы «Описатель ная статистика» пакета Microsoft Excel на 5% ном уровне значимости проверить ги потезу о нормальном законе распределения объема ежедневных продаж.
Решение. Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения воспользуемся критерием χ2. По данным табл. 5.2.1 вычислим значения интервальных частот для нормаль ного закона распределения
npj = n[FN(aj+1) – FN(aj)],
предварительно приняв FN(a1) = 0 и FN(aν+1) = 1. Объединим те интервалы, в которых npj - 5
(в данном случае необходимо объединить первый интервал со вторым, а восьмой — с девя тым), при этом соответствующие выборочные интервальные частоты mj (и теоретические частоты npj) складываются. Затем в каждом из интервалов (с учетом объединения) вычис лим значение величины
(npj −mj )2
npj
88