Файл: TVMS-3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.09.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

тервал для математического ожидания суммы, находящейся на счете случай но выбранного клиента.

Решение. По условию γ =90% =0,9 . При этом uγ/2 = u0,45 =1,65 , и по формуле (5.3.2) по

 

 

 

8 1,65

8 1,65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лучаем искомый доверительный интервал:

25

−

 

;25 +

 

 

или, окончательно,

 

 

 

100

 

100

 

(23,68; 26,32).

 

 

 

 

 

 

 

446.Из некоторой отрасли было случайным образом отобрано 20 ком

паний. По выборочным данным оказалось, что выборочное среднее для срока, прошедшего с момента основания компании, составило x =6 лет при исправ ленном выборочном среднем квадратичном отклонении s =2 г. Построить 99% ный доверительный интервал для среднего времени, прошедшего с момента основания компании, для всех компаний в отрасли.

447.В институте 500 студенческих групп. Из них было случайным об разом отобрано 20 групп. По выборочным данным оказалось, что в среднем в

группе учится 22 девушки при исправленном выборочном среднем квадра тичном отклонении s =5 . Пользуясь 95% ным доверительным интервалом, оценить число девушек во всем институте.

448.Маркетинговое агентство хочет установить степень известности некоторого продукта в данном городе. Для этого было опрошено 400 человек, 80 из которых сказали, что знакомы с продуктом (остальные — что незнако мы). Построить 95% ный доверительный интервал для степени известности продукта среди всех жителей города.

75

76

77

§ 5.4.ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

5.4.1. П р о в е р к а г и п о т е з о п а р а м е т р а х н о р м а л ь н о г о з а к о н а р а с п р е д е л е н и я

Статистической гипотезой называется любое высказывание относи тельно генеральной совокупности, проверяемое по выборочным данным. Гипо теза называется параметрической, если в ней содержится утверждение о значении какого либо параметра генеральной совокупности, и непараметри% ческой в противном случае. Параметрическую гипотезу называют простой, если в ней значение параметра приравнивается конкретному числу, или сложной, если значение параметра выбирается из какого либо интервала.

Проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают H0 . Гипотезу H1 , логически противоречащую гипотезе H0 , называют альтернативной. Прави ло, по которому принимают решение «принять или отклонить гипотезу H0 », называют критерием.

Статистику

 

ψ=ψ(X1, X2,…, Xn ) ,

(5.4.1)

измеряющую согласие выборки ( X1, X2,…, Xn ) с гипотезой H0 , называют ста% тистикой критерия.

Из множества S значений статистики ψ выделяется такое подмножество

Sкр , что при условии истинности гипотезы H0 вероятность P{ψ Sкр | H0 } =α, где α — уровень значимости — достаточно малое число (обычно α берут равным 0,05; 0,01; 0,005 или 0,001). Это подмножество Sкр называется крити% ческой областью.

ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ.

1.Формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования (т. е. определяется нулевая гипотеза H0 и альтернативная гипотеза H1 ).

2.Выбирается статистическая характеристика гипотезы — статистика критерия ψ.

3.Анализируются возможные ошибочные решения и их последствия.

4.Задается уровень значимости α и рассчитываются границы критиче% ской области Sкр , в которую статистика ψ может попасть только с малой ве

роятностью α .

5. Если фактическое значение статистики ψ (вычисленное по конкретной выборке x1, x2,…, xn ) попадает в критическую область, то нулевая гипотеза H0

отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1 ; в противном случае нулевая гипотеза H0 не отвергается. Множество S \ Sкр называется областью принятия гипотезы H0 .

Если гипотеза H0 отвергается, это значит, что выборочные данные проти воречат ей, т. е. она неверна, если же гипотеза H0 принимается, то это вовсе не означает, что H0 является единственно верной гипотезой: просто гипотеза Н0

78

н е п р о т и в о р е ч и т результатам испытаний; однако таким же свойством, наряду с H0 , могут обладать и другие гипотезы. Таким образом, приняв или отклонив гипотезу H0 , можно оказаться правым, а можно совершить ошибку первого или второго рода (табл. 5.4.1).

 

 

 

Т а б л и ц а 5.4.1

 

Риски при проверке гипотез

 

Принятая

 

 

 

гипотеза

H0

 

H1

Истинная

 

 

 

 

гипотеза

 

 

 

 

 

 

 

 

правильное решение,

 

ошибка первого рода,

H0

P{H0 |H0 }=P{ψ (S \ Sкр )|H0 }=1−α —

 

P{H1 |H0 } =P{ψ Sкр |H0 } =α —

 

надежность

 

уровень значимости

 

ошибка второго рода,

 

правильное решение,

H1

P{H0 |H1} =P{ψ (S \ Sкр )|H1} =β

 

P{H1 |H1}=P{ψ Sкр |H1}=1−β —

 

 

 

мощность

К одной и той же нулевой гипотезе H0 можно предложить несколько раз личных альтернативных гипотез H1 , например, нулевой гипотезе H0 : MX =a0 о

равенстве математического ожидания случайной величины конкретному зна чению a0 могут соответствовать такие альтернативные гипотезы:

H1 : MX >a0; H1′: MX <a0; H1′′: MX ≠a0 .

Поэтому в каждом конкретном случае важно правильно выбирать аль тернативную гипотезу, удобную для принятия содержательного решения.

Критерии проверки основных параметрических гипотез приведены в табл. 5.4.2, а идея вывода критериев проверки гипотез содержится в задаче 449.

Задачи

449. Из многолетнего опыта руководитель отдела продаж знает, что в среднем каждые три из десяти визитов коммерческого представителя к пред полагаемым клиентам заканчиваются подписанием контракта. Продавец Ива нов за последний месяц провел 100 встреч с предполагаемыми клиентами и заключил 48 договоров, после чего потребовал повышения зарплаты. Опреде лить, какое решение должен принять начальник Иванова: «Иванов — выдаю щийся продавец» либо «Иванов — такой же, как все остальные, и его высокие результаты объясняются только случайностью».

Решение. Выберем уровень значимости α = 0,05, т. е. допустим возможность ошибки первого рода с вероятностью 0,05. Будем проверять нулевую гипотезу H0: p = p0, состоящую в том, что Иванов — такой же, как все остальные, т. е. вероятность заключения договора Ивановым равна средней вероятности заключения договора p0 =3/10 =0,3 . В качестве аль тернативной выберем гипотезу H1: p > p0, соответствующую тому, что Иванов выдающийся продавец, и у него вероятность заключения контракта выше, чем у остальных его коллег.

В предположении справедливости нулевой гипотезы (т. е. если p = p0) можно записать, согласно (5.3.3), формулу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆp −p0

 

 

 

 

 

 

p0 (1−p0 )

 

 

 

p0

(1−p0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ =P

 

 

 

<u

 

 

=P p

−u

 

 

<ˆp <p

+u

 

 

 

.

 

 

 

γ/2

γ/2

 

γ/2

 

 

0

0

 

 

 

 

0

 

n

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

(1−p )/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а 5.4.2

 

 

 

 

 

Критерии проверки гипотез о числовых значениях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

параметров нормального распределения

 

 

 

 

 

 

Проверяемая

Предположения

Статистика критерия

 

Альтернативная

Критическая

гипотеза H0

 

гипотеза H1

 

область

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

 

 

 

 

(X −a0 ) n

 

 

 

 

a =a1 >a0

 

Z >u(1−2α)/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z =

 

 

 

 

a =a1 <a0

 

Z <−u(1−2α)/2

 

 

 

 

 

известно

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =a1 ≠a0

 

|Z| >u(1−α)/2

 

a =a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =a1 >a0

 

Tn−1 >t2α;n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

σ2

 

 

 

 

 

= (X −a0 ) n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

a =a1 <a0

 

Tn−1 <−t2α;n−1

 

 

 

 

 

не известно

 

 

 

n−1

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a =a1 ≠a0

 

|Tn−1| >tα;n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n порядка несколь

 

Z = ˆ(p−p0 )

 

 

 

 

 

 

p =p1 >p0

 

Z >u(1−2α)/2

 

p =p

ких десятков или бо

 

n

 

 

 

 

p =p1 <p0

 

Z <−u(1−2α)/2

 

 

0

 

лее, np0 >10 ,

 

 

 

 

 

p0 (1−p0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p =p1 ≠p0

 

|Z| >u(1−α)/2

 

 

 

 

 

n(1−p0 )>10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

(2)

 

 

 

 

 

a >a

 

 

Z >u(1−2α)/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = X 2−X 2

 

 

 

 

 

 

 

 

a =a

 

 

 

σ12 , σ22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

Z <−u(1−2α)/2

 

 

известны

 

 

 

 

 

 

 

σ1 + σ2

 

 

 

 

 

a <a

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

|Z| >u(1−α)/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

n2

 

 

 

 

 

a1 ≠a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z =

ˆ(p −ˆp )

n

 

 

 

 

 

p1 >p2

 

Z >u(1−2α)/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1,n2

порядка не

 

 

 

 

1

 

 

1

 

p <p

 

Z <−u(1−2α)/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

p =p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆp(1−ˆp)

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скольких десятков

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или более

 

 

 

 

гдеˆp = m1 +m2

 

 

 

 

p1 ≠p2

 

|Z| >u(1−α)/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n +n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть γ =1−2α =0,9 , тогда с вероятностью

γ =0,9

 

относительная частота ˆp = m/n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (1−p )

 

 

 

 

 

 

p (1−p )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−u

 

 

0

 

0

; p

+u

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

должна лежать в границах p

γ/2

 

 

 

 

γ/2

 

 

 

 

(при этом с вероятностью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

n

 

 

0

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α = 0,05 относительная частота окажется правее этого интервала и с вероятностью α = 0,05 —

левее).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим этот интервал на координатной оси (рис. 5.4.1). Он разобьет всю числовую

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (1−p )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямую

на

три

 

 

области:

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

—

 

слева

от

интервала,

 

 

−∞; p −u

γ/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (1−p )

 

 

 

p (1−p )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p (1−p )

 

 

 

−u

 

0

0

; p

 

+u

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+u

 

0

0

;

 

p

γ/2

 

 

 

γ/2

 

 

 

 

— внутри интервала и p

γ/2

 

 

+∞ —

0

 

n

 

0

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

справа от интервала .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если справедлива гипотеза H0: p = p0, то относительная частота ˆp = m/n , рассчитан

ная по выборочным данным, скорее всего (с вероятностью γ), попадет в центральную об

ласть; при этом такая ситуация, чтобы при истинной гипотезе H0 относительная частота по

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0 (1−p0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

маловероятна, зато эта ситуация

пала в самую правую область p +u

γ/2

 

 

 

 

;

+∞ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

очень вероятна, если считать, что p > p0, поэтому к р и т и ч е с к о й о б л а с т ь ю являет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p0 (1−p0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ся областьˆp p

γ/2

 

 

 

;

+∞ , т. е. в случае, когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

p0 (1−p0 )

,

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p >p0 +uγ/2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы