Файл: TVMS-3.pdf

Так как a -min{x1, x2 ,…, xn } , а b .max{x1, x2 ,…, xn } , то максимум функции L достига ется при aммп =min{x1, x2 ,…, xn } и bммп =max{x1, x2 ,…, xn } .

441.Построить по выборке x1, x2,…, xn оценку параметра p геометри

ческого распределения а) методом моментов; б) методом максимального прав доподобия.

442.По выборке x1, x2,…, xn найти оценку параметра µ случайной ве

личины, распределенной по показательному закону: а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.

443.Случайная величина X = N(a;σ) . По выборке x1, x2,…, xn найти

оценки параметров a и σ: а) методом моментов; б) методом максимального правдоподобия.

444. По данным социологического опроса получено распределение чис ла групп по числу респондентов в группе, отрицательно отзывающихся о но вой рекламной политике фирмы (в каждой группе по 10 респондентов):

Предполагая, что число респондентов в группе, не поддерживающих но вую рекламную политику, распределено по закону Пуассона, оценить пара метр λ этого закона и определить долю групп, в которых все респонденты поддерживают новую рекламную политику.

69

т. е. для любого α [0;1] НОРМРАСП(НОРМСТОБР(α); 0; 1; ИСТИНА)) совпадает с α. Поэтому uгγ/2 можно найти так: uγг/2 = НОРМСТОБР((1 + γ)/2) и вообще для любо го α [0;1] uα = НОРМСТОБР(α+1/2).

Предположим, что выборка X1, X2,…, Xn взята из генеральной совокупно сти, соответствующей индикатору некоторого события (успеха), тогда смысл элементов выборки таков:

n

При этом MXi =p, DXi =p(1−p) , число m =∑Xi можно считать количе

i=1

ством успехов в серии из n испытаний Бернулли, а выборочное среднее X совпадает с относительной частотойˆp :

n

X = ∑i=1 Xi = m =ˆp ,

nn

поэтому

Истинное значение вероятности успеха p в единичном испытании нам не известно, но при большом объеме выборки n можно в качестве p взять при ближенное значение — относительная частотаˆp =m/n , являющуюся состоя тельной, несмещенной и эффективной оценкой вероятности (см. п. 5.2.1). В ре

который с вероятностью γ накроет истинное значение вероятности успеха p в единичном испытании.

На практике точное значение среднего квадратичного отклонения σ не известно, но по выборке можно получить его состоятельную, несмещенную и (для нормальной случайной величины) эффективную оценку

73

При большом объеме выборки n оправдано использование s в качестве приближенного значения σ в доверительном интервале (5.3.2) для математи ческого ожидания a . Если же объем выборки не очень велик ( n <30), так де

Оказывается, распределение величины Tn−1 не зависит ни от X , ни от s , а зависит только от числа n −1, называемого числом степеней свободы. Это распределение называется р а с п р е д е л е н и е м С т ь ю д е н т а (см.

п. 2.5.5). Для этого закона распределения составлены таблицы значений tα; k, при которых P{|Tk |>tp;k }=p , а в пакете Microsoft Excel есть функция

tp; k = СТЬЮДРАСПОБР(p; k).

Поэтому при небольшом объеме выборки интервальная оценка (5.3.2) для математического ожидания переходит в оценку

где X — выборочное среднее, s — стандартное отклонение, а t1–гγ; n–1 = = СТЬЮДРАСПОБР(1 – γ; n – 1).

Для удобства сведем рассмотренные интервальные оценки основных чи словых характеристик и параметров случайных величин в табл. 5.3.1.

Т а б л и ц а 5.3.1

Интервальные оценки основных числовых характеристик и параметров случайных величин

ратичное отклонение σ=8 тыс. руб. Построить 90% ный доверительный ин

74