Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

Пусть в системе, представленной линейной моделью в пространстве состояний

(см. (9)),

где - начальное условие,

управление является программным, т.е. задается в виде функции времени: .

Уточним, в каком классе ищутся функции , т.е. какие на них накладываются дополнительные ограничения. Эти функции могут, в частности, быть гладкими, непрерывными, либо произвольными функциями времени. Последнее означает, что в принципе допустимы разрывные управления.

Как правило, в практических задачах на функции управления накладываются условия ограниченности. Типичным для широкого класса задач является условие ограниченности типа:

для всех ,

где - заданное замкнутое ограниченное множество в.

Другой тип ограничений на управления – интегральные, например:

,

где - заданная длительность процесса управления.

После выбора программного управления, т.е. вида функции , можно сделать соответствующую подстановку в выражение (9) и получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых фигурируют только внешние воздействия. Например, уравнение состояния приобретает вид:

и если известны, томожет быть рассчитано по формуле:

для всех значений . Подчеркнем, что для этого требуется знание всех указанных выше величин.

Разумеется, программное управление может применяться и в дискретных системах (выбирается заранее как функция от), никаких особенностей по сравнению с непрерывным случаем нет.

Используем программное управление для анализа понятия управляемости системы.

Напомним определение управляемой системы.

Система

,

называется управляемой, если для любого конечного инайдется такое непрерывное либо кусочно-непрерывное управлениена интервале, что решение системы принимает нулевое значение в момент.

Другими словами, в управляемой системе начальное отклонение может быть устранено за (любое) конечное время.

Очевидно, что, поменяв направление времени, мы получим, что управляемая система переходит из в любое заданное.

Иногда приводят более общее определение: система управляема, если для любых

и любого найдется управление, переводящее систему из состоянияв состояние. Некоторые авторы называют такие системывполне управляемыми, но мы будем придерживаться более общей терминологии.

На практике нередко возникают ситуации, когда количество управляющих воздействий (размерность пространства управлений) меньше количества управляемых величин (т.е. меньше размерностивекторов состояний). Однако такого типа трудность при решении задачи можно преодолеть следующим образом.

Определение. Пара матриц называется невырожденной (управляемой) парой, если ранг матрицы

(28)

равен . Матрицаназывается матрицей управляемости.

Некоторые определения и свойства из теории матриц и линейных пространств

1. Степень матрицы.

2. Произведением матриц размерностииразмерностиназывается матрица С размерности, такая, что каждый ее элемент на пересечении-й строки и-го столбца равен сумме попарно умноженных элементов-й строки первой матрицы на элементы-го столбца второй матрицы, т.е.

.

Произведение матрицы-строки на матрицу столбец дает скаляр, произведение матрицы-столбца на матрицу-строку дает прямоугольную матрицу.

Особенность: произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно, т.е. в общем случае .

3. Диагональная матрица

представляет собой квадратную матрицу размерности вида:

, местоположение ненулевых компонентов в этой записи называется главной диагональю матрицы.

4. Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице:

.

5. Транспонирование матриц. Для любой матрицы размерностисуществует так называемая транспонированнаяматрица размерности, так что между элементами матриц существует отношение вида:

. В частности, для матрицы-строки транспонированная матрица – это матрица-столбец с тем же количеством элементов, а для матрицы-столбца транспонированная матрица – это матрица-строка.

6. Матрица называетсясимметрической, если .

7. Если имеет место тождество

, где - единичная матрица, то матрицаназываетсяортогональной.

8. Понятие определителя матрицы вводится для квадратных числовых и полиномиальных матриц. С геометрической точки зрения для матрицы размерности определитель представляет собой скалярную величину, характеризующую в -мерном пространстве объем параллелепипеда, ребра которого совпадают со строками или столбцами этой матрицы.Для обозначения определителя используются символы:

.

Одним из наиболее распространенных способов вычисления определителей является так называемое разложение Безу (некоторые авторы называют его разложением Лапласа). Оно дает следующую формулу для вычисления определителя квадратной матрицы:

,

где - так называемое алгебраическое дополнение для элемента, которое вычисляется по формуле:

.

Здесь в квадратных скобках приведена матрица, которая получается из матрицы вычеркиванием-й строки и-го столбца. Такая формула предполагает рекурсивное использование, т.е. последовательную подстановку формул друг в друга с уменьшением размерности вплоть до получения скаляров.

9. Для того, чтобы ввести понятие ранга матриц, введем несколько основных определений, связанных с линейной независимостью столбцов и строк матриц. Они (столбцы и строки) представляют собой векторы в пространствах определенной размерности.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , одновременно не равные нулю, что линейная комбинация этих векторов равна нулю:

.

Из этого тождества следует, что при условии хотя бы один из векторов можно выразить линейной комбинацией остальных по формуле:

Известна теорема, формулирующая условия линейной зависимости векторов: