Файл: lektsii_sopromat_11-17.pdf

ложную площадку действует сила x dydz . Эта сила совершает работу на перемещении x dx . При увеличении напряжения от нулевого уровня до значенияx соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от

нуля до значения x , а работа будет равна dA 12 x x dV . Если пренебречь ки-

нетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе де-

формирования dU dA . Величина u dUdV называется удельной потенциальной

энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния

u 12 x x .

При одновременном действии напряжений x , y , z на главных пло-

щадках удельная потенциальная энергия будет равна

u 12 ( x x y y z z ) .

Если на площадках кроме нормальных напряжений имеют место касательные напряжения, то удельная потенциальная энергия будет равна

u 12 ( x x y y z z xy xy xz xz yz yz ) .

Если деформации выразить через напряжения, используя обобщенный закон Гука,

Известно, что тензор напряженного состояния и тензор деформированного состояния могут быть представлены как суммы шаровых тензоров, характе-

ризующих изменение объема, и девиаторов, характеризующих изменение формы. Поэтому и удельную потенциальную энергию можно разделить на две части u u0 uф ,

где u0 - часть потенциальной энергии соответствует изменению объема, а uф -

часть потенциальной энергии соответствует изменению формы, которые определяются по формулам

Понятие о критериях прочности

Прочность элементов конструкций это свойство сопротивляться разрушению или необратимому изменению формы (пластическое деформирование) под действием внешних нагрузок. В зависимости от характера разрушения материала различают два типа предельных состояний: хрупкое разрушение и появление пластических деформаций. Вводится понятие предельного состояния – это такое состояние конструкции, при котором еѐ дальнейшее применение по назначению недопустимо или нецелесообразно.

В случае одноосного напряженного состояния предельное состояние имеет место, если пр , где - напряжение от действия внешних нагрузок в наиболее опасной точке, пр - предельное напряжение, соответствующее пре-

дельному состоянию, которое определяется механическими характеристиками материала, из которого выполнен элемент конструкции. Эти характеристики (предел текучести для пластичных материалов или предел прочности для хрупких материалов) определяются из простых опытах.

При сложном напряженном состоянии предельное состояние определяется тензором напряжений в наиболее опасной точке. Это состояние представляют в виде уравнения

где ~ - тензор напряженного состояния в точке. Это уравнение представляет

некоторую поверхность.

Последнее уравнение, записанное через главные напряжения f ( 1 , 2 , 3 ) 0

есть уравнение предельной поверхности, определяющей предельное состояние. Эта поверхность является границей области, которая называется областью допустимых состояний. Если наиболее опасная точка , , )

находится в области допустимых состояний, прочность обеспечена.

Говорят, что предельное состояние есть состояние материала, из которого выполнен элемент конструкции при всевозможных видах нагружения, поэтому построить предельную поверхность экспериментальным путем не представляется возможным. Поэтому, исходя из опыта (или из здравого смысла), выбирается некоторый фактор, ответственный за наступление предельного состояния. Этот выбор определяет критерий прочности. Выбор критерия прочности определяется многими факторами – свойствами материала, типом предельного состояния (хрупкое разрушение или наличием текучести).

Выбранный критерий прочности проверяется для напряженного состояния, которое можно реализовать в лабораторных условиях. Наиболее просто провести испытания для линейного напряженного состояния. Далее предполагается, что наступление предельного состояния для произвольного напряженного состояния эквивалентно наступлению предельного со-

стояния при простом напряженном состоянии пр , то есть

f ( 1 , 2 , 3 ) экв пр .

Ограничения применимости критериев прочности:

1.критерии прочности носят локальный характер, то есть относятся к одной точке, а не ко всей конструкции.

2.Критерии прочности не учитывают время ( не учитывают предистории нагружения, скорости нагружения) так как в него входят только компоненты тензора напряжений.

3.Материал считается изотропным, что позволяет использовать главные напряжения, а не все шесть независимых компонент тензора напряжений.

Вобщем виде использование критериев прочности можно представить

ввиде

экв f ( 1 , 2 , 3 ) [ р ] ,

где [ р ] - допускаемое напряжение для простого растяжения.

Критерий текучести Треска-Сен-Венана

(критерий наибольших касательных напряжений)

Предельное состояние для пластических материалов – это достижение предела текучести для материала.

Опыты (линии Чернова, опыты Треска) показали, что за достижение состояния текучести ответственны экстремальные касательные напряжения.

Критерий: предельное состояние (текучесть) наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельного значения, независящего от вида напряженного состояния и определяемого из опытов на простое растяжение

max T .

При условии, что 1 2 3 наибольшее из экстремальных касательных напряжений равно

Для одноосного напряженного состояния ( 2 3 0, 1 T ) экстремаль-

Приравнивая два последних выражений, получим условие для предельного состояния

экв Т 1 3 .

Соответствующее этому критерию техническое условие прочности имеет

вид

Недостатком этого критерия является не учет главного напряжения 2 . Но во многих случаях (в том числе при совместном действии изгиба и кручения) это напряжение равно нулю.

Критерий текучести Губера-Мизеса-Генки

Известно (из опытов на всестороннее сжатие), что изменение объема не приводит к разрушению материала, хотя при этом в образце накапливается значительная величина потенциальной энергии. Установлено, что за разрушение материала образца ответственна величина потенциальной энергии, связанная с изменение формы.

Критерий: текучесть наступает тогда, когда плотность потенциальной энергии изменения формы uф достигает некоторой величины uфT , не зависящей

от вида напряженного состояния и которая определяется из опыта при простом напряженном состоянии (растяжении).

Для объемного напряженного состояния выше была получена формула для плотности потенциальной энергии, идущей на изменение формы

поэтому величина плотности потенциальной энергии, идущей на изменение формы равна

Приравнивая последние два выражения получим условие для предельного состояния

12 22 32 ( 1 2 1 3 2 3 ) T2 .

Соответствующее этому критерию техническое условие прочности имеет

вид

эквМиз 12 22 32 ( 1 2 1 3 2 3 ) 0.5 [ ].

Критерии Сен-Венана и Губера-Мизеса-Генки для упрощенного плоского напряженного состояния

Такой вид напряженного состояния имеет место чаще всего (например, при сочетании изгиба с кручением)

Главные напряжения определяются по формулам

Условие текучести: экв T .

Для критерия Сен-Венан получим

и для критерия Мизеса

эквМиз T 2 3 2 .

Предельные напряжения, вычисленные по критериям Сен-Венана и Мизеса, отличаются незначительно. Расхождения зависят от вида напряженного состояния. Оценим погрешность вычисления предельного состояния. Представим выражения для предельной поверхности в виде: для критерия Сен-Венана

Из рисунка видно, что наибольшее расхождение имеет место при напряженном состоянии чистого сдвига

1/ 3 1/ 2 0.15 . 1/ 2

Эксперименты примерно с одинаковой вероятностью описываются обоими критериями, хотя считается, что критерий Мизеса более обоснован. Для материала, находящегося в условиях объемного напряженного состояния, расчеты по критерию Сен-Венана более просты, кроме того, результаты по критерию Сен-Венана всегда идут в запас прочности.

Критерий прочности Мора для хрупких материалов

Предельным состоянием для хрупких материалов является образование трещин. Для хрупких материалов характерно, что предел прочности на растяжение прч меньше предела прочности при сжатии пcч . Предполагают, что напряжение 2 не влияет на прочность хрупкого материала. Для определения предельной поверхности были проведены многочисленные эксперименты при сложном напряженном состоянии при различных соотношениях 1 и 3 .Точки, соответствующие предельным значениям, ложатся на некоторую кривую, которая незначительно отклоняется от прямой линии. Аппроксимация опытных данных прямой линией во-первых уменьшает количество необходимых экспериментов, во-вторых предельное состояние при этом определяется с дополнительным запасом прочности.

Критерий: хрупкое разрушение наступает тогда, когда точка, соответствующая рассматриваемому напряженному состоянию, выйдет за прямую линию, построенную по результатам двух опытов.

Запишем уравнение прямой в отрезках и проходящую через точку А с координатами 1 , 3

Найдем из этого выражения зависимость предельной поверхности