Файл: lektsii_sopromat_11-17.pdf

Замечание: значение n 0 не представляет интереса, так как при этом y(z) 0 .

Таким образом, при P Pn

Реализация искривленной формы равновесия с несколькими полуволнами требует больше энергетических затрат. Так реализация формы потери устойчивости с двумя полуволнами требуется усилие в четыре раза большее, чем реализация формы потери устойчивости с одной полуволной. Поэтому за критическое значение усилия, приводящего к потере устойчивости, принимается Pкр Р1

(формула Эйлера).

Если поперечное сечение имеет различные моменты инерции относительно центральных осей симметрии, то потеря устойчивости будет происходить относительно оси с минимальным моментом инерции, что зафиксировано в формуле Эйлера

Замечание. В полученном решении уравнения упругой линии, величина прогиба осталась неопределенной. Чтобы найти ее, необходимо исходить из более точного уравнения упругой кривой

d 2 v

Решение этого уравнения выходит за рамки курса, поэтому дадим окончательное решение. Если сила незначительно превышает критическое значение, то прогиб посередине стержня вычисляется по приближенной формуле

Зависимость критической силы от граничных условий

Формула Эйлера получена для шарнирного закрепления концов стержня. Такое закрепление называется основным. К нему могут быть приведены другие случаи закреплений, путем введения приведенной длины стержня

Здесь l0 l - приведенная длина стержня,

1/ n - коэффициент приведенной длины,

n – количество полуволн, укладывающихся на длине стержня.

Границы применимости формулы Эйлера

Вывод формулы Эйлера основан на дифференциальном уравнении упругой кривой. Поэтому ею можно пользоваться, пока справедлив закон Гука, то есть пока критическое напряжение (напряжение сжатия, соответствующее критической силе) не превышает предела пропорциональности

висит только от свойств материала.

Таким образом, если расчетное максимальное значение гибкости стержня превышает предельное для материала, из которого изготовлен стержень

max пред , формула Эйлера применима для определения критической силы.

Определение критической силы при напряжениях больше предела пропорциональности.

Формула Ясинского

20 )

разрушаются от пластических деформаций, принимая бочкообразную форму. Гибкие стержни ( max 100 ) теряют устойчивость в упругой области. Стержни

средней гибкости ( 20 max 100 ) теряют устойчивость при напряжениях больше

предела пропорциональности. Применение формулы Эйлера в этом случае не только ошибочно, но и опасно, так как она дает завышенное значение критической силы, то есть преувеличивает действительную устойчивость стержней.

В зависимости от гибкости стержня критическая сила вычисляется по формулам:

Практические расчеты на устойчивость

Так как потеря устойчивости практически означает выход конструкции из строя, то за предельное напряжение принимают критическое напряжение

пред кр .

Вводят нормативный коэффициент запаса по устойчивости – [ ny ]. Тогда

Это напряжение всегда меньше основного допускаемого напряжения

[ ] nT .

Во-первых, критическое напряжение всегда меньше предела текучести, вовторых, коэффициент запаса по устойчивости всегда больше коэффициента за-

паса прочности, так как ny учитывает возможность наличия начального прогиба,

эксцентриситета приложения нагрузки и другие факторы.

Так как часто бывает трудно определить значение коэффициента запаса по устойчивости, расчет на устойчивость приводят к расчету на сжатия

y ( )[ ],

где ( ) - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения, который зависит от гибкости стержня и определяется из экспериментов.

Особенности практического расчета на устойчивость

1. Ослабления поперечного сечения, имеющие небольшую длину и глубину (галтели, шпоночные канавки, отверстия), практически не изменяют жесткости стержня, поэтому при расчетах вводится площадь сечения без учета ослаблений – площадь брутто Fbr

Наряду с проверкой на устойчивость необходимо проверить прочность в наиболее ослабленном сечении

P [ ],

Fnt

где Fnt - площадь нетто – площадь ослабленного сечения стержня.

2. так как коэффициент снижения допускаемого напряжения ( ) зависит

от гибкости, которая является функцией от радиуса инерции сечения, то подбор сечения проводится последовательными приближениями по следующему алгоритму:

а. задают начальное значение параметра цикла k 1 б. задаются k 0.6 ;

ik

д. по таблицам выбирается k 1 ( k ) ; е. вычисляют разность | k 1 ( k ) |;.

ж. если разность меньше наперед заданной погрешности вычислений, тоk 1 принимается за расчетное для дальнейших вычислений и производится вы-

ход из цикла;

з. если разность больше заданной погрешности вычислений, то вычисляют новое значение

3. если стержни имею разные опорные закрепления в разных плоскостях, то вычисляют две гибкости

Дальнейший расчет ведется по максимальной гибкости

Рациональные типы поперечных сечений

Рациональным является то сечение, которое обладает наибольшими моментами инерции при заданной площади сечения, будучи равноустойчивым относительно обеих главных осей поперечного сечения.

При одинаковых площадях правое сечение более рационально, так как

J x( 2) J x(1)

Условием равноустойчивости является равенство гибкостей стержня в направлениях обеих главных осей сечения x y . При этом, если опорные за-

крепления одинаковы, то есть если x y , то необходимо, чтобы J x J y

Если опорные закрепления в разных плоскостях разные, то x y .