Файл: lektsii_sopromat_11-17.pdf

Условие прочности запишется в виде

эквМор 1 m 3 [ ] .

Вслучае упрощенного напряженного состояния условие прочности имеет вид

Строим эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях и крутящего момента

Определим диаметр вала по заданному критерию прочности (по критерию Сен-Венана M экв (M x2 M y2 M z2 ) ).

Для сечения 1-1

M экв1 (M x2 M y2 M z2 ) (0 1912 95.52 ) 214 Н

Для сечения 2-2

M экв2 (M x2 M y2 M z2 ) (1102 95.52 95.52 ) 174 Н

Видно, что сечение 1-1наиболее опасно, поэтому диаметр вала вычислим из условия прочности именно по этому сечению

Округляем диаметр вала по ГОСТ 6636-80

d рас 0.03 м .

Поверочный расчет диаметра вала с учетом циклических напряжений

Сечение 1. Так как в этом сечении концентраторов напряжений нет, то принимаем K 1. Поверхность вала шлифованная ( Rz 1.6 мкм), поэтому ко-

эффициент влияния шероховатости поверхности KF 0.99 (см. рис.). Коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения Kd 0.9 (см. кри-

вую 1 на рис.).

Нормальные напряжения меняются по симметричному циклу и определяются изгибающим моментом

Сечение II. В этом сечении нужно учесть концентраторы напряжений: прессовую посадку и шпоночную канавку. Используя табл. 2.2, получим для шпоночной канавки K 1.6 . Из-за наличия концентратора напряжений коэффи-

циент влияния абсолютных размером имеет другое значение Kd 0.85 (см. кривую 2 на рис. 2.7), т. е. K / Kd 1.88 . Для прессовой посадки имеем K / Kd 1.9 (см. табл. 2.3). Таким образом, принимаем наибольшее значение K / Kd 1.9

Далее расчет проводится, как для сечения I:

Коэффициент запаса n 1.7 , следовательно, необходимо уменьшить диа-

метр вала и вновь провести поверочный расчет.

Возьмем d = 2,8 см. Сечение II при расчете по циклическим напряжениям оказалось более опасным, поэтому дальнейший расчет ведем лишь по сечению II.

Необходимое условие 1.4 n 1.7 выполняется, следовательно, можно принять d = 2,8 см.

Вопросы к лекции.

1.Потенциальная энергия упругой деформации.

2.Понятие о критериях прочности.

3.Критерий текучести Треска-Сен-Венана.

4.Критерий текучести Губера-Мизеса-Генки.

5.Критерий прочности Мора для хрупких материалов

Лекция 15.

Устойчивость сжатых стержней (продольный изгиб)

Понятие об устойчивой и неустойчивой формах равновесия

Равновесие называется устойчивым, если система, будучи выведенной, из состояния равновесия каким-либо воздействием, вновь возвращается в исходное положение после удаления воздействия.

Равновесие называется неустойчивым, если система, будучи выведенной из состояния равновесия каким-либо воздействием, после удаления воздействия в исходное положение не возвращается, наоборот, удаляется от него.

Равновесие называется безразличным, если система, будучи выведенной из состояния равновесия каким-либо воздействием, после удаления воздействия остается в новом состоянии, не возвращаясь в исходное состояние и не удаляясь от него.

Продольный изгиб центрально сжатого стержня. Критическая сила.

Длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнир- но-закрепленный в опорам, нагрузим центрально силой Р, постепенно возрастающей. Если сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.

Если сила Р превышает некоторое предельное значение, то прямолинейная форма стержня становится неустойчивой: достаточно сколь угодно малогобокового воздействия, чтобы стержень изогнулся и к прямолинейному состоянию уже не возвратиться.

При безразличном равновесии наряду с прямолинейной формой равновесия может иметь место искривленные формы равновесия.

Критической силой Pкр называется наименьшее значение силы, при кото-

ром исходная прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой.

Критическая сила для шарнирно опертого упругого стержня. Формула Эйлера.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения верхнего конца стержня.

Найдем такое значение силы, при котором возможна криволинейная форма равновесия стержня. Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости. Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня.

Рассмотрим сечение на расстоянии z от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у(z). Изгибающий момент от действия силы в рассматриваемом сечении будет равен

M x (z) P y(z) .

Знак минус поставлен в силу принятого правила знаков для изгибающего момента.

В этом случае приведенное дифференциальное уравнение примет вид

Константы C1 ,C2 определим из граничных условий:

1.из условия y(0) 0 следует, что C2 0 ;

2.из условия y(l) 0 следует, что C1 sin( l) 0 ;

Если C1 0 , то y(z) 0 в любой точке, то есть стержень сохраняет прямолинейную форму. Если C1 0 , то

sin( l) 0 .

Это соотношение, будет удовлетворено при l 0, , 2 , 3 ....