Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Задача 7. Найти общее решение уравнения y′′ − 5y′ + 6 y = 0 . Решение. Составим характеристическое уравнение λ2 −5λ + 6 = 0

муле (7.18) записываем искомое общее решение: y( x) = c1e3x + c2e2 x .

Задача 8. Найти общее решение уравнения y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 . Решение. Составим характеристическое уравнение λ2 + 6λ + 9 = 0

где Qn (x) – полный многочлен той же степени, что и Pn (x). Подставляя y* в уравнение (7.21) и сокращая обе части уравнения

на eαx , получаем тождество, из которого приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях получаем систему для определения

значений коэффициентов. Этот метод нахождения y* называется ме-

Тогда если комплексное число a ±ib совпадает с корнями характеристического уравнения (7.17), то частное решение y* уравнения (7.23) следует искать в виде

Если же комплексное число a ±ib не совпадает с корнями характеристического уравнения (7.17), то частное решение y* уравнения

При этом неопределенные коэффициенты M и N отыскиваются путем подстановки y* в уравнение (7.23) с последующим приравни-

ванием коэффициентов при cos bx и sin bx и решением получившейся

Замечание 2. Если f (x) = mcosbx или f (x) = nsin bx , y* все рав-

но следует искать в общем виде (7.26) или (7.27), т. е. и с cos bx ,

и с sin bx .

Задача 10. Найти общее решение уравнения y′′ − 7 y′ + 6 y = (x − 2) e3 x .

Найдем далее y* – частное решение исходного уравнения. Поскольку число a = 3 не совпадает с корнями характеристического уравнения, то в соответствии с формулой (7.22) y* будем искать в виде y* = (Ax + B) e3 x .

Тогда

(y* )′ = Aex + 3(Ax + B) e3 x = (3Ax + A + 3B) e3 x ;

(y* )″ = 3Ae3 x + 3(3Ax + A + 3B) e3 x = (9Ax + 6A + 9B) e3 x .

Подставляя y* , (y* )′, (y* )″ в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на e3x , получим:

9 Ax + 6A + 9B − 7(3Ax + A + 3B) + 6(Ax + B) = x − 2 ;

− 6Ax − A − 6B = x − 2 .

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства при одинаковых степенях x, получим систему уравнений

− 6A =1,

− A − 6B = −2.

Решив ее, найдем A и B: A = −16 , B = 1336 .

96

уравнение λ2 + 2λ +5 = 0 и решим его:

λ1,2 = −1 ± 12 − 5 = −1 ± 4 −1 = −1 ± 2i .

Всоответствии с формулой (7.20)

y(x) = e−x (c1 cos 2x + c2 sin 2x).

Найдем далее y* – какое-нибудь частное решение исходного урав-

нения. Поскольку число i не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с формулой (7.27) будем искать y*

в виде y* = M cos x + N sin x :

( y* )′ = −M sin x + N cos x ; ( y* )′′ = −M cos x − N sin x .

Подставляя y * , ( y* )′ и ( y* )′′ в исходное уравнение, получим:

− M cos x − N sin x + 2(− M sin x + N cos x) + 5(M cos x + N sin x) = 2cos x ; (4M + 2N )cos x + (− 2M + 4N )sin x = 2 cos x .

Приравняв коэффициенты в обеих частях последнего равенства при cosx и sinx , получим систему уравнений

Решив ее, найдем M и N: M = 52 , N = 15 .

Итак, y* = 52 cos x + 15 sin x .

97

щее решение исходного уравнения.

7.4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений

Совокупность дифференциальных уравнений вида

где x(t), y(t) – функции независимой переменной t; aij (i =1, 2; j =1, 2) – числа, называется нормальной системой двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Общим решением системы (7.28) называется совокупность двух

содержащих две произвольные постоянные c1 и c2 и обращающих оба уравнения системы в тождества при любых значениях c1 и c2 .

Решение, получаемое из общего при подстановке конкретных числовых значений произвольных постоянных, называется частным решением.

Задача нахождения решения системы (7.28), удовлетворяющего

где t0 , x0 , y0 – заданные числа, называется задачей Коши для сис-

темы (7.28).

Один из способов решения системы (7.28) состоит в сведении ее к обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка путем исключения одной из искомых функций. Покажем это на примере.

Задача 12. Найти общее решение системы

dxdt = −3x − y,

dydt = x − y.

98