Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница)

Если члены un ряда монотонно убывают u1 > u2 > u3 >…> un >…

сумма положительна и не превосходит первого члена.

выполнены. Следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится. Введем понятие абсолютной и условной сходимости.

Действительно, как показано в задаче 9, этот знакочередующийся ряд по признаку Лейбница сходится. Но ряд, составленный из модулей

∑∞ 1 , является расходящимся гармоническим рядом. Следовательно,

n=1 n

исходный ряд сходится, но не абсолютно, а значит, он является условно сходящимся рядом.

9.2. Степенные ряды

Ряд вида

n=0

где an , n = 0, 1, 2, … – постоянные числа, называется степенным рядом.

108

Множество значений аргумента х, для которых степенной ряд (9.10) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

При нахождении области сходимости степенного ряда используется понятие радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.

Величина R ≥ 0 (где R – число или символ +∞) такая, что при всех х, удовлетворяющих неравенству x < R , ряд (9.10) сходится, и при всех х,

удовлетворяющих неравенству x > R , ряд (9.10) расходится, называ-

ется радиусом сходимости степенного ряда (9.10).

Известно, что у всякого степенного ряда существует радиус сходимости.

Множество точек х, для которых x < R , называется интервалом

сходимости ряда (9.10).

Очевидно, что интервал сходимости есть открытый интервал (–R; R) с центром в точке х = 0 .

На концах интервала сходимости, т. е. при x = ±R , ряд (9.10) может либо сходиться, либо расходиться.

Отметим, что у некоторых степенных рядов интервал сходимости

вырождается в точку (если R = 0 ), а у других – охватывает всю ось Ох (еслиR = +∞ ).

Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить либо по

если стоящие в правых частях этих равенств пределы существуют.

Если же lim n an = 0 , то R = +∞ .

n→∞

Задача 10. Найти область сходимости степенного ряда ∑ xn .

n=1 n2n

Решение. Вычислим радиус сходимости степенного ряда по формуле (9.11).

109

Следовательно, интервал сходимости данного ряда будет (−2; 2) . Это означает, что при x < 2 ряд сходится, а при x > 2 – расходится.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости, т. е. в точках x1 = 2 и x2 = −2 .

Подставив в исходный степенной ряд x1 = 2 , получим числовой

стью сходимости нашего степенного ряда является числовой промежуток [–2; 2).

Замечание. Отметим, что степенной ряд вида

n=0

по степеням двучлена x − x0 (при х0 = 0 ряд (8.13) принимает вид (8.10)) сходится при x − x0 < R , и его интервал сходимости имеет вид

Радиус сходимости ряда (9.13) также вычисляется по формулам

(9.11) и (9.12).

Сходящиеся степенные ряды обладают некоторыми замечательными свойствами. В частности, внутри интервала сходимости их можно почленно интегрировать и дифференцировать, при этом полученные степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

110

9.3. Ряды Тейлора и Маклорена

Теорема. Если функция f (x) и ее производные всех порядков определены, непрерывны и ограничены на (a; b) , а точки х0 и х принадлежат этому интервалу, то на (a; b) функция f (x) представима степенным рядом

Поскольку основные элементарные функции ex , sin x , cos x удовлетворяют условиям сформулированной выше теоремы на всей числовой прямой, то при любом x R имеют место следующие разложения:

а для −1 < x <1

111