ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1450
Скачиваний: 2
Òåìà 9. ÐßÄÛ |
|||
9.1. Числовые ряды |
|||
Пусть задана бесконечная последовательность |
чисел un , |
||
n =1, 2, 3, … . Выражение |
|||
∞ |
|||
∑un |
= u1 +u2 +u3 +…+un |
+… |
(9.1) |
n=1
называется числовым рядом. Числа u1 , u2 , …, un , … называют членами ряда, причем un – его общим членом.
Конечная сумма
Sn = u1 +u2 +u3 +…+un , |
(9.2) |
слагаемыми которой являются первые n членов ряда (9.1), называется n-й частичной суммой данного ряда.
Определение. Ряд (9.1) называется сходящимся, если существует конечный предел его частичной суммы
lim Sn = S , |
(9.3) |
n→∞ |
|
который и называется суммой ряда. В этом случае принимают |
|
∞ |
|
S = ∑un . |
(9.4) |
n=1
В противном случае ряд называется расходящимся.
Задача 1. Исследовать на сходимость ряд
∑ 1n =1 + 1 |
+ 12 +…+ 1n +… . |
||||||||||||||||||
∞ |
|||||||||||||||||||
n=0 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||
Решение. Составим n-ю частичную сумму для заданного ряда: |
|||||||||||||||||||
Sn |
=1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+…+ |
1 |
. Члены Sn |
являются членами геометрической |
||||||||||
32 |
3n |
||||||||||||||||||
3 |
q = 1 . |
||||||||||||||||||
прогрессии |
с |
b = |
1 |
и |
Вычислим их сумму по формуле |
||||||||||||||
1 |
3 |
||||||||||||||||||
b (1 − qn ) |
|||||||||||||||||||
Sn |
= |
и найдем ее предел. |
|||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||
1 − q |
|||||||||||||||||||
103 |
|||||||||||||||||||
Таким образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||
1(1 − |
1 |
) |
3 (1 − |
1 |
3 (1 − |
1 |
3 (1 − |
1 |
) = 3 . |
||||||||||||||||||||
S |
= |
3n |
= |
) и lim S |
= lim |
) = |
|||||||||||||||||||||||
n |
1 − |
1 |
2 |
3n |
n→∞ |
n |
n→∞ |
2 |
3n |
2 |
∞ |
2 |
|||||||||||||||||
3 |
1 |
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||
Данный ряд сходится, причем ∑ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
n=0 |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
∞ |
(a ≠ 0) сходится при |
||||||||||||||||||||||||||||
Полезно иметь ввиду, что ряд ∑ aqn |
q |
<1 |
|||||||||||||||||||||||||||
и расходится при |
q |
≥1. |
n=0 |
||||||||||||||||||||||||||
При изучении сходимости рядов используют необходимый и дос- |
|||||||||||||||||||||||||||||
таточные признаки сходимости. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Необходимый признак сходимости ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
сходится, то limun |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
Если ряд ∑un |
|||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
n→∞ |
||||||||||||||||||||||||||||
Обратное утверждение неверно. |
|||||||||||||||||||||||||||||
Замечание. Из необходимого признака сходимости ряда вытекает |
|||||||||||||||||||||||||||||
достаточное условие расходимости ряда: если limun ≠ 0 или не суще- |
||||||||||||||||||||
n→∞ |
||||||||||||||||||||
∞ |
||||||||||||||||||||
ствует, то ряд ∑un расходится. |
||||||||||||||||||||
n=1 |
||||||||||||||||||||
∞ |
n |
2 |
||||||||||||||||||
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
. |
|||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||
n=1 n |
+1 |
|||||||||||||||||||
Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходи- |
||||||||||||||||||||
мости ряда. Так как lim un |
= lim |
n2 |
= ∞ |
= lim |
1 |
= |
1 |
=1 ≠ 0 , |
||||||||||||
n |
2 |
1 |
1 |
+ |
0 |
|||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
+1 |
∞ |
n→∞ |
||||||||||||||||
1 + |
||||||||||||||||||||
n2 |
||||||||||||||||||||
то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, данный ряд расходится.
∞ |
||||||
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд ∑ 1 . |
||||||
= lim 1 |
1 |
n=1 n |
||||
Решение. Так как limu |
= |
= 0 , то необходимый признак |
||||
n |
∞ |
|||||
n→∞ |
n→∞ n |
|||||
сходимости выполнен. О сходимости ряда на основании этого признака ничего нельзя сказать. Для изучения его сходимости нужно использовать достаточные признаки сходимости.
104
Ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным рядом. Рассмотрим далее достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Признак Даламбера
Пусть дан знакоположительный ряд
∞ |
> 0 , n = 1, 2, 3, …, |
|
∑un , un |
(9.5) |
|
n=1 |
и lim |
un+1 |
= l . Тогда, если l < 1, то ряд (9.5) сходится, если l > 1, то ряд |
||
n→∞ un |
||||
(9.5) расходится. |
||||
Замечание. Признак Даламбера удобно применять, если в un |
вхо- |
|||
дят выражения an и n!. Если lim un+1 |
не существует или же lim un+1 |
= 1, |
||
n→∞ un |
n→∞ un |
|||
то признак Даламбера не позволяет установить сходимость ряда (9.5).
∞ |
2 |
||||||||||||||||
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд ∑ nn . |
|||||||||||||||||
n=1 |
3 |
||||||||||||||||
Решение. Применяем признак Даламбера. Находим предел: |
|||||||||||||||||
lim |
un+1 |
= lim |
(n + 1)2 |
: n2 |
= |
3n |
(n + 1)2 |
= |
|||||||||
un |
3n+1 |
3n+1 |
n2 |
||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
3n |
|||||||||||||||
= |
1 |
lim 1 + |
1 2 = |
1 |
1 + |
1 |
2 = |
1 1 = |
1 . |
||||||||
3 |
|||||||||||||||||
n→∞ |
n |
3 |
∞ |
3 |
3 |
||||||||||||
Данный предел меньше 1, значит ряд сходится. |
|||||||||||||||||
Радикальный признак Коши |
|||||||||||||||||
Пусть дан ряд с положительные членами |
|||||||||||||||||
∞ |
= 1, 2, 3, …, |
||||||||||||||||
∑un , n |
(9.6) |
||||||||||||||||
n=1 |
|||||||||||||||||
и lim n un = l . Тогда, если l < 1, то ряд (9.6) сходится, если l > 1, то ряд |
|
n→∞ |
|
(9.6) расходится. |
не существует или же lim n un = 1, то ра- |
Замечание. Если lim n un |
|
n→∞ |
n→∞ |
дикальный признак Коши не позволяет установить, сходится ли исследуемый ряд (9.6).
105
∞ |
n |
|||||||||||
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
n +1 |
. |
||||||||||
n=1 2n +3 |
||||||||||||
Решение. Этот ряд сходится по радикальному признаку Коши, так |
||||||||||||
n +1 |
1 |
+ |
1 |
+ 1 + 0 = 1 |
||||||||
как lim n un = lim |
= lim |
4 |
<1. |
|||||||||
2n +3 |
3 |
|||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
2 |
+ |
2 + 0 2 |
|||||||
4 |
||||||||||||
Интегральный признак Коши
Если положительная, невозрастающая и непрерывная при x ≥ a ≥1
функция f (x) такова, что f (n) |
∞ |
|||||||||||||||||||||||||
= un , то ряд ∑un |
и несобственный инте- |
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
||||||||||||||||||||||||||
грал +∞∫ f (x) dx сходятся или расходятся одновременно. |
||||||||||||||||||||||||||
a |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
||||||||||||||||||||||||||
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
. |
|||||||||||||||||||||||||
n=2 n ln n |
||||||||||||||||||||||||||
Решение. Этот ряд по интегральному признаку Коши расходится, |
||||||||||||||||||||||||||
+∞ |
dx |
|||||||||||||||||||||||||
так как расходится несобственный интеграл |
∫ |
. |
||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
2 x ln x |
|||||||||||||||||||||||||
+∞ dx |
= lim b |
dx |
= lim b |
d (ln x) |
= limln(ln x) |
b = |
||||||||||||||||||||
2 xln x |
xln x |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
ln x |
||||||||||||||||||||||||
∫ |
b→+∞ ∫ |
( |
b→+∞ ∫ |
)) |
b→+∞ |
2 |
||||||||||||||||||||
= lim |
ln |
( |
ln b |
) |
−ln |
( |
ln 2 |
= +∞. |
||||||||||||||||||
b→+∞ |
||||||||||||||||||||||||||
Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно до- |
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
казать, что обобщенный гармонический ряд ∑ |
сходится при α >1 |
|||||||||||||||||||||||||
α |
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
n |
|||||||||||||||||||||||||
∞ |
||||||||||||||||||||||||||
и расходится при α ≤1. Отсюда следует, что гармонический ряд ∑ 1 |
||||||||||||||||||||||||||
расходится (задача 3). |
n=1 n |
|||||||||||||||||||||||||
Первый признак сравнения |
||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим два знакоположительных ряда: |
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
||||||||||||||||||||||||||
∑un |
(9.7) |
|||||||||||||||||||||||||
n=1 |
||||||||||||||||||||||||||
∞ |
||||||||||||||||||||||||||
∑ vn |
(9.8) |
|||||||||||||||||||||||||
n=1
106
Пусть выполняется условие un ≤ vn ( n =1, 2, 3, …). Тогда, если
сходится ряд (9.8), то сходится и ряд (9.7), если же ряд (9.7) расходится, то расходится и ряд (9.8).
Второй признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел
lim un = A (0 < A < +∞) , то ряды (9.7) и (9.8) сходятся или расходятся
n→∞ vn
одновременно.
Замечание. При использовании признаков сравнения во многих случаях ряды удобно сравнивать с обобщенным гармоническим рядом
∞ |
1 |
||||||||
∑ |
, который сходится при α >1 и расходится при α ≤1. |
||||||||
α |
|||||||||
n=1 |
n |
1 |
|||||||
∞ |
|||||||||
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
. |
||||||||
n |
2 |
+ n |
+ |
||||||
n=1 |
n |
||||||||
∞ |
1 |
||||||||
Решение. Возьмем для сравнения сходящийся ряд |
∑ |
(этот ряд |
|||||||
2 |
|||||||||
n=1 |
n |
||||||||
сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с α = 2 ). Так как
1 |
< 1 |
, топопервомупризнакусравнениясходитсяинашряд. |
||||||||
n2 + n + |
n |
n2 |
||||||||
∞ |
1 . |
|||||||||
Задача 8. Исследовать на сходимость ряд ∑sin |
||||||||||
n=1 |
n |
1 |
||||||||
∞ |
(этот ряд |
|||||||||
Решение. Возьмем для сравнения расходящийся ряд ∑ |
||||||||||
n=1 |
n |
с α = 1 ). |
||||||||
расходится, |
так |
как это обобщенный гармонический ряд |
||||||||
sin 1n |
0 |
sin α |
2 |
|||||||
lim |
= |
=1 (так как lim |
α |
=1 – это 1-й замечательный предел), |
||||||
n |
||||||||||
n→∞ |
0 |
n→0 |
||||||||
1 |
||||||||||
следовательно, повторомупризнакусравнениярядрасходится.
Рассмотрим знакопеременные и знакочередующиеся ряды.
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.
Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид
∑∞ (−1)n+1 un = u1 −u2 +u3 −u4 +…, |
(9.9) |
n=1
где un > 0 , n =1, 2, 3, … .
107