ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1461
Скачиваний: 2
Решение. Запишем систему в виде
x′ = −3x − y,y′ = x − y.
Из 2-го уравнения системы найдем x = y′+ y и подставим в 1-е уравнение, получим:
(y′ + y)′ = −3(y′ + y) − y ; y′′ + y′ = −3y′ − 3y − y ,
т. е. y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 .
Для решения последнего уравнения составим характеристическое уравнение λ2 + 4λ + 4 = 0 и решим его: (λ + 2)2 = 0 , λ1,2 = −2 .
В соответствии с формулой (7.19) y(t) = (c1 + c2t) e−2t . Подставив найденную функцию y(t) в выражение x(t) = y' (t) + y(t), найдем x(t):
x(t ) = ((c1 + c2t )e−2t )′ +(c1 + c2t )e−2t = c2e−2t − 2(c1 + c2t )e−2t +(c1 + c2t )e−2t = = (c2 − 2c1 − 2c2t + c1 + c2t)e−2t = (c2 −c1 −c2t)e−2t .
Итак, x(t) = (c2 − c1 − c2t) e−2t , – общее решение исходной системы.
y(t) = (c1 + c2t) e−2t
99
Тема 8. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Частные производные функции двух переменных
Определение. Переменная величина z называется функцией двух переменных величин x и y, если каждой упорядоченной паре (x; y) допустимых значений x и y соответствует единственное зна-
чение z.
Функция двух переменных обозначается одним из выражений: z = f ( x; y) , z = z(x; y) и т. п.
Аналогично определяются функции большего числа переменных. Пусть в некоторой окрестности точки M (x; y) задана функция
z = z(x; y) . Фиксируя переменную у так, что y = const , получим функ-
цию от одной переменной х. Производная этой функции в точке х называется частной производной функции z(x; y) в точке (x; y) и обо-
значается ∂z ( x; y) , или z′x . Итак,
∂x
∂z ( x; y) |
= |
dz ( x; y) |
y = const. |
(8.1) |
||||
∂x |
dx |
|||||||
Аналогично |
||||||||
∂z ( x; y) |
= |
dz ( x; y) |
x = const. |
(8.2) |
||||
∂y |
dy |
|||||||
Поскольку частные производные z′x |
и z′y в свою очередь являются |
|||||||
функциями двух переменных, то и от них можно брать частные производные:
∂ |
∂z |
∂2 z |
= z′′xx |
|||||
= |
∂x |
2 |
; |
|||||
∂x |
∂x |
|||||||
∂ |
∂z |
∂2 z |
||||||
= |
= z |
′′yx ; |
||||||
∂y∂x |
||||||||
∂x |
∂y |
|||||||
∂ |
∂z |
∂2 z |
= z′′xy |
|||||||
= |
; |
|||||||||
∂x∂y |
||||||||||
∂y |
∂x |
|||||||||
∂ |
∂z |
∂2 z |
||||||||
= |
= z′′yy . |
|||||||||
∂y |
∂y2 |
|||||||||
∂y |
||||||||||
(8.3)
(8.4)
Частные производные (8.3) и (8.4) называются частными производными второго порядка. Взяв от них частные производные, получим частные производные третьего порядка и т. д.
100
Задача 1. Дана функция z = exy . Показать, что она удовлетворяет
уравнению x2 ∂2 z − y2 ∂2 z = 0 .
∂x2 ∂y2
Решение. Вычислим, пользуясь определением, частные производные:
∂z |
= exy (xy)′ |
= yexy ; |
∂2 z |
= |
∂ |
(yexy )= yexy (xy)′ = y2 exy ; |
||
∂x |
∂y2 |
∂x |
||||||
x |
y |
|||||||
∂z |
= exy (xy)′ |
= xexy ; |
∂2 z |
= |
∂ |
(xexy )= xexy (xy)′ = x2 exy . |
||
∂y |
∂y2 |
∂y |
||||||
y |
y |
|||||||
Следовательно, x2 ∂2 z |
− y2 ∂2 z |
= x2 y2 exy − y2 x2 exy = 0 , что и требо- |
||||||
∂x2 |
∂y2 |
|||||||
валось доказать. |
||||||||
8.2. Экстремум функции двух переменных |
||||||||
Определение. Точка |
M 0 (x0 ; y0 ) |
называется точкой локального |
||||||
максимума (минимума) функции z = z(x; y) , если существует такая
окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство z ( x0 ; y0 ) > z ( x; y) ( z ( x0 ; y0 ) < z ( x; y)).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться лишь в точках, лежащих внутри области ее определения, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют.
Такие точки называются критическими. Для функции двух переменных z = z(x; y) критические точки находятся из системы
уравнений
z′ |
x; y |
) |
= 0, |
x ( |
(8.5) |
z′y ( x; y) = 0.
Условия (8.5) являются необходимыми, но не достаточными условиями существования экстремума. Достаточные условия экстремума для функции z = z(x; y) в критической точке M 0 (x0 ; y0 ) выражаются
с помощью определителя
101
z′′ ( x ; y )
( ) = xx 0 0
x0 ; y0 z′′x y ( x0 ; y0 )
′′ |
( x0 ; y0 ) |
|
zxy |
= |
|
z′′y y ( x0 ; y0 ) |
||
′′ |
′′ |
′′ |
2 |
(8.6) |
||
= zx x |
( x0 ; y0 ) zy y ( x0 ; y0 ) −(zx y ( x0 ; y0 )) . |
|||||
1. Если |
(x0 ; y0 ) > 0 , то M 0 (x0 ; y0 ) |
– это |
точка экстремума: |
|||
′′ |
точка максимума, |
при |
′′ |
( x0 ; y0 ) > 0 – |
точка |
|
при zx x ( x0 ; y0 ) < 0 – |
zx x |
|||||
минимума. |
( x0 ; y0 ) < 0 , то в точке M0 (x0 ; y0 ) |
|||||
2. Если |
нет экстремума. |
|||||
Задача 2. Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 +9xy . Решение. Вычислим частные производные первого и второго поряд-
x ( |
) |
y ( |
) |
xx ( |
) |
yy ( |
) |
||||||
ка: z′ |
x; y |
= 3x2 +9 y; |
z′ |
x; y |
= 3y2 +9x ; z′′ |
x; y |
= 6x ; z′′ |
x; y |
= 6 y; |
z′′yx ( x; y) =9 .
Приравнивая к нулю первые производные, получим систему уравнений для определения критических точек
3x2 +9 y = 0,
3y2 +9x = 0.
Решаем |
данную систему |
и находим |
две критические точки |
||||||||
M1 (0; 0) и |
M 2 (−3; −3) . Вычисляем значения частных производных |
||||||||||
второго порядка и определитель в этих точках. |
|||||||||||
В точке M1 (0; 0) получаем: z′xx′ (0; 0) = 0 ; |
z′yy′ (0; 0) = 0 ; z′yx′ (0; 0) = 9 ; |
||||||||||
(0; 0) = |
0 |
−9 |
= 0 0 −(−9)2 = −81. |
||||||||
−9 |
0 |
||||||||||
Так как в точке M1 (0; 0) определитель |
(0; 0) = −81 < 0 , то в силу |
||||||||||
достаточных условий заключаем, что в этой точке экстремума нет. |
|||||||||||
В точке M 2 (−3; −3) получаем: z′xx′ (−3; − 3) = −18 ; z′yy′ (−3; − 3) = −18; |
|||||||||||
z′yx′ (−3; − 3) = 9 ; |
(−3; −3) = |
−18 |
9 |
= (−18)(−18) −92 = 243 . |
|||||||
9 |
−18 |
||||||||||
Так как |
= 243 > 0 и z′xx′ (−3; − 3) = −18 , то в силу достаточных ус- |
||||||||||
ловий заключаем, что функция в точке M 2 (−3; − 3) имеет максимум,
причем max z(x; y) = z(−3; − 3) = 27 .
102