Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Невозможное событие представляет собой событие, противоположное достоверному событию Ω. Очевидно, что невозможное событие представляет собой пустое множество элементарных событий. Например, выпадение более шести очков при бросании игральной кости. Невозможное событие будем обозначать через .

Для возможности выполнения действия с событиями введем основные определения.

Событие В называется следствием события А: А В, если из появления А следует появление В. Очевидно, если А В и В А, то А= В, если А В и В С , то А С .

Суммой, или объединением, двух событий А и В называется такое событие С, которое состоит в осуществлении события А или события В, или событий А и В вместе. Условно записывают так:

С = А+ В, или С = А В.

Сумма событий A + B состоит из всех элементарных событий, принадлежащих событиям А и B.

Произведением, или пересечением, двух событий А и В называ-

ется событие С, которое состоит в осуществлении события А и события В одновременно. Условно записывают так:

С = АВ, или С = А∩ В.

Произведение событий AB состоит из элементарных событий, одновременно входящих в событие A и событие B .

События А и В называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном и том же испытании. Это значит, что существуют такие элементарные события, которые входят в состав и А, и В одновременно, другими словами, произведение событий AB не пустое множество.

События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого, т. е. если АВ = . Иными словами, нет ни одного элементарного события, которое входило бы в состав и А, и В одновременно. В частности, противоположные

события A и A всегда несовместны.

События A1, A2 , …, An называются попарно несовместными, если

любые два из них несовместны.

События A1, A2 , …, An образуют полную группу, если в результате

опыта наступит хотя бы одно из них.

Если при этом события A1, A2 , …, An попарно несовместны, то го-

ворят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.

131

Противоположные события A и A представляют собой простейший случай полной группы событий.

12.2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности

Вероятность случайного события A есть численная мера степени объективной возможности появления события A.

Рассмотрим пространство элементарных событий Ω, состоящее из n элементарных (равновозможных, несовместных, образующих полную группу) событий ω1, ω2 , …, ωn .

Элементарное событие называется благоприятствующим событию A , если его появление влечет за собой появление события A .

Классическое определение вероятности

Вероятностью P( A) случайного события A называется отноше-

ние числа m благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу n :

Основные свойства вероятности

1. Вероятность случайного события A есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей, т. е.

0≤ P( A) ≤1.

2.Вероятность достоверного события равна единице P(Ω) =1.

3.Вероятность невозможного события равна нулю P( ) = 0.

12.3.Элементы комбинаторики

При вычислении вероятности случайного события по формуле (12.1) полезно использовать элементы комбинаторики.

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Любое его подмножество, содержащее m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Порядок элементов, входящих в сочетание, роли не играет.

Число всех сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом Cnm и вычисляется по формуле

132

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Любое его упорядоченное подмножество, содержащее m элементов, называется размещением из n элементов по m. Различают размещения без повторений, когда один элемент входит в подмножество только один раз, и размещения с повторениями, когда один и тот же элемент может входить в подмножество несколько раз.

Число всех размещений без повторений из n элементов по m эле-

Множество называем упорядоченным, если по условиям опыта важен порядок входящих в него элементов. Например, из цифр 1, 2, 3 составляется трехзначное число.

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком их расположения.

Число всех перестановок из n элементов обозначается символом Рn и вычисляется по формуле

Задача 1. Набирая номер телефона, студент забыл две последние цифры. Вспомнив, что эти цифры были различны, он набрал их наугад. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Решение. Здесь элементарное событие представляет упорядоченное подмножество из двух различных цифр, причем важен их порядок записи. Число n всевозможных элементарных событий равно числу всех размещений без повторений из 10 элементов (множество всех

цифр) по 2, т. е. n = A102 .

Событию А (цифры набраны верно) благоприятствует только один исход, т. е. m =1. По формуле (12.1) находим P(A):

133

Задача 2. В партии из 50 изделий 5 бракованных. Какова вероятность того, что выбранные наугад 3 изделия окажутся годными?

Решение. Рассмотрим подмножество из пяти различных изделий, причем порядок их расположения внутри множества неважен. Число n всевозможных исходов равно числу сочетаний из 50 элементов по 3,

т. е. n = C503 . Так как изделия выбираются наугад, то все эти способы

выбора равновероятны.

Через A обозначим событие – выбранные наугад 3 изделия годные. Число m исходов, благоприятствующих данному событию, равно числу сочетаний из 45 (число годных деталей) элементов по 3, т. е.

m = C453 .

По формуле (12.1) находим P(A):

12.4. Основные теоремы вероятностей случайных событий

Наряду с классическим определением, для вычисления вероятностей случайных событий можно использовать сформулированные ниже теоремы.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 2. Сумма вероятностей событий A1 , A2 , …, An , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна 1:

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

134