Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления:

(12.10)

Для формулировки теорем о вероятности произведения событий вводится понятие условной вероятности, поскольку вероятность некоторых событий может меняться по мере получения информации о протекании эксперимента.

Два события А и В называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или не наступления другого. В противном случае события А и В называются независимыми.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных есть события независимые.

Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло, называют условной вероятностью события В и обозначают символом РА(В) или P(B / A) .

Для независимых событий РА(В) = Р(В).

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Последнюю теорему легко обобщить на случай произведения конечного числа событий:

P( A1 A2 A3 … An ) = P( A1 ) PA1 ( A2 ) PA1A2 ( A3 ) … PA1A2 ... An−1 ( An ) . (12.13)

В частности, для независимых в совокупности событий формула (12.13) принимает следующий вид:

P( A1 A2 A3 ... An ) = P( A1 )P( A2 ) ... P( An ) .

135

Следствие 1. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей

P( ABC ...KL ) = P( A )P( B )P( C ) ...P( K )P( L ) . (12.14)

Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного из событий A, B, C, ..., D , независимых в совокупности, равна

Задача 3. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка − 0,6, для второго – 0,8. Найти вероятность следующих событий: А – в мишень попадут оба стрелка; В – в мишень попадет только один стрелок; С – ни один стрелок не попадет в мишень; D – в мишень попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Обозначим события: Нi – i-й стрелок попал в мишень

_

(i =1, 2) , H i – i-й стрелок не попал в мишень. Тогда события А, В и С можно представить в виде:

Вероятность попадания в мишень каждого из стрелков не зависит от того, попал или нет в мишень другой стрелок. Значит по теореме о вероятности произведения независимых событий и о вероятности суммы несовместных событий из равенств (12.16) получим:

Следовательно,

P(A) = 0,6 0,8 = 0,48 ;

P(B) = 0,6 0,2 +0,4 0,8 = 0,44 ;

P(C) = 0,4 0,2 = 0,08 .

Полученный результат можно проконтролировать следующим образом. Так как события А, В и С образуют полную группу попарно

136

несовместных событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Действительно, P(A)+ P(B)+ P(C) = 0,48 +0,44 +0,08 =1,0 .

_

Поскольку события D и С противоположные, т. е. D = C , то

_

P(D) = P(C) =1 − P(C) =1 − 0,08 = 0,92 .

Вероятность этого события можно найти и другим способом. По-

скольку D = A + B , то P(D) = P( A) + P(B) = 0,48 + 0,44 = 0,92.

Задача 4. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор последовательно один за другим задает 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит на предложенные 3 вопроса.

Решение. Пусть Аi – событие, состоящее в том, что студент знает i-й вопрос (i =1, 2, 3) , В – событие, состоящее в том, что студент знает

все 3 предложенные вопроса. Тогда B = A1 A2 A3 . По определению ве-

роятности случайного события получим, что P(A1 ) = 2025 . Если собы-

тие А1 произошло, то у экзаменатора осталось 24 вопроса, из которых студент знает 19. То есть вероятность события А2 следует вычислять с

учетом того, что произошло событие А1. Поэтому PA1 (A2 ) = 1924 . Анало-

гично PA1A2 ( A3 ) = 1823 .

По формуле (12.13) находим, что

P(B) = P( A1 ) PA1 P( A2 ) PA1A2 P( A3 ) = 2025 1924 1823 ≈ 0,496 .

Следствием сформулированных выше теорем является формула полной вероятности.

Теорема. Пусть событие А может произойти только при появлении одного из событий H1, H2 , , Hn , образующих полную группу

попарно несовместных событий и называемых гипотезами. Тогда вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

i=1

Так как гипотезы H1 , H2 , …, Hn образуют полную группу несовместных событий, то

137

n

∑ P(Hk ) =1.

k=1

Задача 5. Из двух цехов поступили заготовки для дальнейшей обработки, причем из первого цеха поступило 2000 заготовок, а из второго – 3000 заготовок. Брак среди заготовок первого цеха составляет 5%, а среди заготовок второго цеха 2%. Найти вероятность того, что наугад взятая для обработки заготовка бракованная.

Решение. Событие А, состоящее в том, что наугад взятая заготовка бракованная, может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий Н1 (деталь изготовлена первым цехом) или Н2 (деталь изготовленная вторым цехом). Учитывая количество изготовленных цехами заготовок, получим:

Итак, вероятность того, что наугад взятая заготовка бракованная,

равна 0,032.

12.5. Схема испытаний Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р или не появиться с вероятностью q =1 − p . В этом случае говорят, что имеет место схема

испытаний Бернулли.

Вероятность того, что в описанных n испытаниях событие А появиться ровно k раз (0 ≤ k ≤ n) , вычисляется по формуле Бернулли:

Задача 6. Стрелок производит 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле p = 0,8 . Найти вероятность того,

что будет ровно три попадания.

138

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли (12.18). Так как

Использовать формулу Бернулли при больших значениях п трудно, так как формула требует выполнения большого числа арифметических действий.

В этих случаях пользуются локальной теоремой Лапласа или формулой Пуассона.

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и не близка к нулю или единице, то вероятность Pn (k ) того,

что событие А появиться в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна

n npq

Определить значение для функции ϕ(x) можно по специальной таблице (см. прил. 1).

Задача 7. Вероятность того, что изготовленная деталь бракованная, p = 0,2 . Найти вероятность того, что среди 400 деталей брако-