Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Задача 8. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность отрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение минуты произойдет отрыв ни-

тей на пяти веретенах.

Решение. По условию n =1000; р = 0,004; k = 5 .

Тогда λ = np =1000 0,004 = 4 . Искомая вероятность будет равна

P1000 (4) = 45 e−4 = 0,1563. 5!

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и не близка к нулю или единице, то вероятность Pn (k1; k2 ) то-

го, что событие А появится в п испытаниях от k1 до k2 раз, вычисляется по формуле

Задача 9. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна p = 0,2 . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию n = 400 ; k1 = 70; k2 = 100; p = 0,2 . Тогда

Учитывая нечетность функции Φ(x), по прил. 2 находим, что

Φ( −1,25) = −Φ(1,25) = −0,3944 ; Φ(2,5) = 0,4938 .

По формуле (12.20) находим искомую вероятность:

P400 (70;100) = Φ(2,5) − Φ(−1,25) = Φ(2,5) + Φ(1,25) =

= 0,4938 +0,3944 = 0,8882.

12.6. Случайные величины

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед

140

неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обычно обозначают греческими буквами ξ, η, ζ, … или заглавными буквами X , Y , Z, … латинского алфавита,

рывные.

Дискретной называют случайную величину, если ее возможные значения можно пронумеровать. Дискретная случайная величина принимает изолированные значения.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Законом распределения случайной величины называется любое со-

ответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Это соответствие можно задать таблицей, графически и аналитически.

При табличном способе задания дискретной случайной величины

в первой строке указывают ее возможные значения, а во второй – их вероятности (табл. 12.1).

n

Следует иметь в виду, что ∑ pi =1. Такую таблицу называют

i=1

также рядом распределения дискретной случайной величины.

Законы распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин можно задать с помощью интегральной функции распределения F(x) .

Интегральной функцией распределения случайной величины ξ называется функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина ξ примет значение, меньшее х:

Отметим следующие свойства F(x) ; 1) 0 ≤ F(x) ≤1;

141

2) F(x) – неубывающая и непрерывная слева функция, т. е. если x2 > x1 , то F(x2 ) > F(x1 ) ;

При решении задач наиболее часто используется следующее свойство F(x) :

Задача 10. В денежной лотерее выпущено 100 билетов, причем разыгрывается один выигрыш в 10 000 рублей и 10 выигрышей по 5000 рублей. Составить закон распределения случайной величины ξ – возможного выигрыша в лотерее на приобретенный один билет,

найти ее функцию распределения и построить ее график.

Решение. Возможные значения случайной величины ξ – это числа 0, 5000, 10 000. Найдем вероятность этих значений. Вероятность того,

что ξ примет значение, равное 0, будет: P(ξ = 0) = 10089 = 0,89 , так как из ста билетов лотереи 89 без выигрыша.

Аналогично: P(ξ = 5000) = 10010 = 0,10 и P(ξ =10 000) = 1001 = 0,01.

Следовательно, закон распределения случайной величины ξ имеет вид, представленный в табл. 12.2.

Найдем функцию распределения F(x).

Если х ≤ 0, то F(x) = 0 . Если 0 < х ≤ 5000, то F(x) = 0,89 . Если 5000 < х ≤ 10000, то F(x) =0,89+0,10=0,99 . Наконец, если х >10000, то F(x)=0,99 +0,01=1,0. Итак,

142

График функции F(x) изображен на рис. 12.1.

F(x)

1,00

0,89

Закон распределения непрерывных случайных величин наряду с интегральной функцией распределения F(x) можно задавать плот-

ностью распределения вероятностей p(x) .

Плотностью распределения вероятностей, или дифференциальной функцией распределения, непрерывной случайной величины называется функция p(x) , такая, что

Свойства функции p(x) :

1) p(x) ≥ 0 , т. е. плотность распределения неотрицательна;

+∞

2) ∫ p(x)dx =1.

−∞

При решении задач часто используется следующая формула:

a

Откуда следует, что

F(x) = ∫x p(t)dt .

−∞

143

12.7.Числовые характеристики случайных величин

Косновным числовым характеристикам случайных величин относятся математическое ожидание Mξ , дисперсия Dξ , среднеквадра-

тическое отклонение σξ .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ

называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

i=1

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ,

возможные значения которой принадлежат отрезку [a; b], называют определенный интеграл

−∞

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно среднему ожидаемому значению случайной величины.

Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность ξ − Mξ между случайной величиной и ее ма-

тематическим ожиданием.

Дисперсией (рассеиванием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле

Для непрерывной случайной величины дисперсия равна

144