ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1443
Скачиваний: 2
Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат имеет вид
Ax + By +Cz + D = 0 . |
(1.36) |
|
Вектор |
n ={A; B;C} называ- |
|
n |
||
ется нормальным вектором плос- |
||
• |
кости. Он перпендикулярен плос- |
|||
M (x; y; z) |
кости (рис. 1.7). Уравнение плос- |
|||
кости, проходящей через точку |
||||
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
||||
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно |
||||
Рис. 1.7 |
вектору n ={A; B;C}, имеет вид |
|||
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C(z − z0 ) = 0 . |
(1.37) |
|||
Уравнение плоскости, |
проходящей через три точки M1(x1; y1; z1) , |
|||
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) и M3 (x3; y3; z3 ) , записывается по формуле
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 y2 − y1 y3 − y1
z − z1
z2 − z1 = 0 . (1.38) z3 − z1
Если две плоскости заданы уравнениями А1х + В1у + С1z + D1= 0 и А2х + В2у + С2z + D2 = 0, то угол ϕ между ними определяется как угол между их нормальными векторами n1 ={A1; B1;C1} и n2 ={A2 ; B2 ;C2 }:
cosϕ = n1 |
n2 |
= |
A1 A2 + B1 B2 + C1C2 |
. |
(1.39) |
||||||||
n1 |
n2 |
A2 + B2 + C 2 |
A2 |
+ B2 |
+ C 2 |
||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
||||||||
Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых имеет |
|||||||||||||
вид cosϕ = 0 или |
|||||||||||||
A1 A2 + B1B2 +С1С2 = 0 , |
(1.40) |
||||||||||||
а условие параллельности: |
|||||||||||||
A1 |
= |
B1 |
= C1 . |
(1.41) |
|||||||||
A |
B |
||||||||||||
C |
2 |
||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||
Расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до прямой (1.36) вычисляется по формуле
24
d = Ax0 + By0 +Cz0 + D . |
(1.42) |
A2 + B2 +C2 |
Рассмотрим кривые второго порядка.
Линии, задаваемые уравнением второй степени относительно текущих координат х и у, называются кривыми второго порядка. Простейшей кривой второго порядка является окружность.
y
0
Определение. Окружностью
M (x; y) называется геометрическое место
Rточек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости,
•называемой центром окружности
M 0 (x0 ; y0 ) |
(рис. 1.8). |
Уравнение окружности радиу- |
|
x |
са R с центром в точке M 0 (x; y0 ) |
имеет вид |
|
Рис. 1.8 |
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 . (1.43) |
Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат записывается формулой
x2 + y2 = R2 . |
(1.44) |
Параметрическое уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
x = R cost, |
0 ≤t ≤ 2π. |
(1.45) |
y = Rsin t, |
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек этой плоскости (фокусов эллипса F1 и F2 ) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).
Если оси координат по отношению к эллипсу расположить так, как указано на рис. 1.9, то каноническое уравнение эллипса будет представлено следующим выражением:
x2 |
+ |
y2 |
= 1. |
(1.46) |
|
a2 |
b2 |
||||
25 |
y
B2 (0; b) |
||||||||||||||||||||||
−a |
||||||||||||||||||||||
x = |
x = |
a |
||||||||||||||||||||
ε |
||||||||||||||||||||||
ε |
||||||||||||||||||||||
A2 (a; 0) |
||||||||||||||||||||||
A1 (−a; 0) |
||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||
F1 (−c; 0) |
F2 (c; 0) |
x |
||||||||||||||||||||
B1 (0; −b) |
||||||||||||||||||||||
Рис. 1.9 |
||||||||||||||||||||||
Точки пересечения эллипса с осями координат называются вер- |
||||||||||||||||||||||
шинами эллипса. Вершины эллипса имеют координаты |
А1 |
(− а; 0 ), |
||||||||||||||||||||
А2 (а; 0 ), B1 (0; −b), |
B2 (0; b). Числа a и b называются соответственно |
|||||||||||||||||||||
большей и малой полуосями эллипса. Расстояние между фокусами эллипса обозначим через 2с, тогда полуфокусное расстояние с связано
с полуосями соотношением a2 −b2 = c2 .
Число ε = aс , где а – большая полуось, называется эксцентриси-
тетом эллипса. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса вдоль большей полуоси. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянутый эллипс. Для эллипса 0 < ε <1 (для окружности ε = 0 ).
Две прямые x = −aε , x = aε , перпендикулярные большей полуоси,
называются директрисами эллипса.
Параметрическое уравнение эллипса имеет вид
x = a cost, |
0 |
≤ t ≤ 2π. |
(1.47) |
|
y = bsin t, |
||||
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух данных точек этой плоскости (фокусов гиперболы F1 и F2 ) есть
величина постоянная (меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля).
Если оси координат по отношению к гиперболе расположить так, как указанонарис. 1.10, токаноническоеуравнениегиперболыимеетвид
26
x2 |
− |
y2 |
=1. |
(1.48) |
|
a2 |
b2 |
||||
Точки А1(− а; 0 ) и А2 (а; 0 ) пересечения гиперболы с осью Ох на-
зываются вершинами гиперболы. Ось Ох называется действительной осью, а ось Оу – мнимой осью. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Расстояние между фокусами гиперболы обозначим через 2с, тогда полуфокусное рас-
стояние с связано с полуосями соотношением с2 − а2 = b2 .
−a |
y |
a |
|||||||||||||
x = |
x = |
||||||||||||||
ε |
ε |
||||||||||||||
B2 (0; b) |
|||||||||||||||
A (−a; 0) |
A2 (a; 0) |
||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||
F2 (c; 0) |
x |
||||||||||||||
F1 (−c; 0) |
0 |
||||||||||||||
B1 (0; −b) |
|||||||||||||||
Рис. 1.10 |
|||||||||||||||
Две прямые |
|||||||||||||||
y = −b x , |
y = b x |
(1.49) |
|||||||||||||
a |
a |
||||||||||||||
называются асимптотами гиперболы. К ним приближаются ветви гиперболы при неограниченном удалении от начала координат.
Число ε = aс , где а – действительная полуось, называется эксцен-
триситетом гиперболы. Очевидно, что для гиперболы ε >1.
Две прямые x = −aε , x = aε , перпендикулярные действительной
полуоси, называются директрисами эллипса.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой данной
27
точки F этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой данной прямой, называемой директрисой (рис. 1.11).
y
x = − 2p
0 |
p |
x |
||
F |
; 0 |
|||
2 |
||||
Рис. 1.11
Каноническое уравнение параболы в выбранной декартовой системе координат имеет вид
y2 = 2 px , |
(1.50) |
где p – расстояние от фокуса до директрисы. В этой же системе координат уравнение директрисы имеет вид
x = − |
p |
. |
(1.51) |
2 |
|||
Эксцентриситет параболы ε =1.
Замечание. Эллипс, гипербола и парабола и только эти кривые обладают общим геометрическим свойством – отношение расстояния от любой точки каждой из этих кривых до фокуса к расстоянию от этой точки до ближайшей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету ε.
1.4. Полярная система координат
Если на плоскости заданы фиксированная точка О, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч с выбранной на нем единицей масштаба, называемый полярной осью, то говорят, что на плоскости задана полярная система координат. В этом случае положение любой точки М на плоскости определяется двумя числами r и ϕ, где r – расстояние
28
от точки М до точки О, ϕ – угол, образуемый вектором OM с положительным направлением полярной оси. Угол ϕ, отсчитываемый от
полярной оси до вектора OM в направлении против часовой стрелки, считается положительным, а отсчитываемый в противоположном направлении – отрицательным (рис. 1.12).
Обычно считают, что 0 ≤ ϕ< 2π, 0 ≤ r < ∞ . Если r = 0 , точка М совпадает с полюсом О и угол ϕ для нее не определен.
Пусть наряду с полярной системой координат на плоскости выбрана прямоугольная декартова система координат так, что начало координат совпадает с полюсом О, а ось Оx совпадает с полярной осью (рис. 1.13). Тогда прямоугольные координаты x и y точки М связаны с ее полярными координатами r и ϕ соотношениями
x = r cosϕ; |
y = r sin ϕ. |
(1.52) |
|||||||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||
M (r; ϕ) |
|||||||||||||||||||||||||
x |
M (x; y) |
||||||||||||||||||||||||
r |
|||||||||||||||||||||||||
r |
|||||||||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||
ϕ |
ϕ |
||||||||||||||||||||||||
O |
|||||||||||||||||||||||||
r |
O |
x |
|||||||||||||||||||||||
Рис. 1.12 |
Рис. 1.13 |
||||||||||||||||||||||||
Из (1.51), в частности, вытекает, что |
|||||||||||||||||||||||||
r = |
x2 + y2 ; cos ϕ = |
x |
; |
sin ϕ = |
y |
. |
(1.53) |
||||||||||||||||||
+ y2 |
|||||||||||||||||||||||||
x2 |
x2 |
+ y2 |
|||||||||||||||||||||||
Рассмотрим далее применение вышеизложенных теоретических сведений к решению типовых задач.
Задача2. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 : A1 (3; 3; 9) ,
A2 (6; 9;1) , A3 (1; 7; 3) , A4 (8; 5; 8) . Найти: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) угол между ребром A1 A4 и гранью A1 A2 A3 ; 4) площадь грани A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1 A2 ; 7) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .
29