Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1446

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

значением параметра. Оценки параметров подразделяются на точечные и интервальные.

Точечные оценки задаются одним числом, а интервальные – границами доверительного интервала. Точечные оценки должны удовле-

творять определенным требованиям.

~

Несмещенной называется статистическая оценка Θ, математиче-

ское ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки, т. е. M (Θ~ )= Θ.

Эффективной называется статистическая оценка, которая (при данном объеме выборки) имеет минимально возможную дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при n → ∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т. е.

P(

~

< ε)→ 1.

Θ − Θ

n→∞

Точечной оценкой математического ожидания является выбороч-

ное среднее

1

k

x =

∑ xi ni .

(13.3)

n i=1

Для интервального статистического ряда (табл. 13.2)

k

x =

1 ∑ xi ni .

(13.4)

n i=1

Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия

в ,

D

которая вычисляется по формуле

1

k

2

1 k

2

2

Dв =

.

∑ ni (xi − x) =

∑ xi ni − x

n i=1

n i=1

Эта оценка является смещенной. Несмещенной оценкой дис-

персии Dξ является s2 = n n−1 Dв . Для статистического ряда выборки объема n она вычисляется по формуле

1

n

1

n

n

s2 =

∑(xi − x)2 =

∑ xi2 −

x2.

n −1

n −1 i=1

n −1 i=1

Для интервального статистического ряда (табл. 13.2)

s2 =

1 ∑(xi* − x)2 ni =

1 ∑(xi* )2 ni − n

x 2 .

k

k

n −1

i=1

n −1

i=1

n −1

(13.5)

(13.6)

154

Оценкой среднеквадратического отклонения служит корень из несмещенной оценки дисперсии, т. е. s.

Доверительным интервалом для параметра Θ называется интервал (α1; α2 ), который покрывает неизвестный параметр Θ с заданной

надежностью γ =1−α, т. е. P(α1 < Θ < α2 ) = γ. Число γ =1 − α называется доверительной вероятностью, а значение α – уровнем значимости. На практике обычно используют уровни значимости: 0,1; 0,05; 0,01.

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины ξ при данном уровне

значимости α и известной дисперсии Dξ = σξ2 имеет вид

σξ

σξ

x −tγ

, x +tγ

,

(13.7)

n

n

где tγ определяется из условия 2Φ(tγ )= γ =1 − α, или

Φ(tγ )= γ / 2 , и

1

x

t2

Φ(x) =

∫e−

dt − функция Лапласа (см. прил. 2).

2

2π 0

При неизвестной дисперсии генеральной совокупности использу-

ется формула

−tα; ν

s

, x +tα; ν

s

(13.8)

x

n

n

,

где tα; ν

определяется с помощью таблицы значений распределения

Стьюдента по данному числу степеней свободы ν = n −1 и уровню

значимости α (прил. 3). Здесь s − оценка среднеквадратического

отклонения (13.4). Отметим, что при объеме выборки n > 30 вместо

распределения Стьюдента можно пользоваться нормальным распределением.

Задача 1. Даны результаты наблюдения случайной величины, записанные в табл. 13.3.

1.Построить гистограмму относительных частот.

2.Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее

график.

3.Определить гипотетическую плотность закона распределения.

4.Вычислить выборочное среднее значение x и несмещенную

оценку дисперсии s2 .

155

Таблица 13.3

36

39

43

45

26

34

50

33

36

57

29

40

31

34

17

47

39

35

41

28

25

30

39

36

49

42

24

27

20

52

36

33

18

32

56

37

40

29

31

46

38

19

28

33

42

26

35

37

34

48

44

22

36

49

30

27

40

32

41

43

45

38

24

37

46

36

29

25

39

52

50

21

38

34

41

47

29

31

28

35

44

55

39

30

27

32

34

40

54

36

25

53

45

33

43

37

26

42

28

51

5)Найти доверительный интервал для математического ожидания

сдоверительной вероятностью γ = 0,95.

Решение. Поскольку объем выборки достаточно большой: n =100 , то строим интервальный статистический ряд. Количество интервалов вычисляем по следующей формуле (13.1):

k =1 + 3,2lg100 =1 + 6,4 = 7,4 .

Принимаем k = 7 . Размах выборки W = 57 −17 = 40.

Длина интервала: h = 407 . Принимаем h = 6 .

Находим количество элементов выборки в каждом интервале и

строим интервальный статистический ряд (табл. 13.4).

1) Строим гистограмму относительных частот (рис. 13.1) (значе-

ние высот вычислено и записано в четвертой строке табл. 13.4).

Таблица 13.4

Интервал

[17–23)

[23–29)

[29 –35)

[35–41)

[41–47)

[47–53)

[53–59]

[xi – xi + 1)

Середина интер-

20

26

32

38

44

50

56

вала, xi

Частота, ni

6

15

22

26

16

10

5

Относительная

частота, ωi

=

ni

0,06

0,15

0,22

0,26

0,16

0,1

0,05

n

Высота,

ni

0,01

0,025

0,037

0,043

0,027

0,017

0,008

hn

156

ni

hn

0,04

0,03

0,02

0,01

O

17

23

29

35

41

47

53

59

x

Рис. 13.1

Строим график функции распределения (рис. 13.2).

F (x)

1,00

0,43

0,21

0,06

O

x

20 26 32 38 45 50 56

Рис. 13.2

2) Найдем эмпирическую функцию распределения F (x) по фор-

муле (13.2). Данная функция является кусочно-постоянной, ее значе-

ния получаются накоплением относительных частот в точках xi и изменяются в пределах от 0 до 1.

Запишем функцию в следующем виде:

157

0,

если

x ≤ 20,

если

20 < x ≤ 26,

0,06,

0,21,

если

26 < x ≤ 32,

если

32 < x ≤ 38,

0,43,

F (x) =

38 < x ≤ 44,

0,69,

если

0,85,

если

44 < x ≤ 50,

если

50 < x ≤ 56,

0,95,

если

x > 56.

1,

3)По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины. Данный закон содержит два параметра a и σ: Mξ = a ; Dξ = σ2 .

4)Найдем точечную оценку математического ожидания по фор-

муле (13.4):

x = 1001 (20 6 + 26 15 + 32 22 + 38 26 + 44 16 +50 10 +56 5) = = 3686100 = 36,86 .

Несмещенную оценку дисперсии найдем по формуле (13.6):

s2 = 991 (16,862 6 +10,862 15 + 4,862 22 +1,142 26 + 7,142 16 +

+13,142 10 +19,142 5) = 8402,0499 =84,87 .

Тогда s = 9,2 .

Функция плотности соответствующего нормального закона распределения имеет вид

1

e

−

(x−36,86)2

f (x) =

2 9,22

.

9,2 2π

5) Найдем доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии по формуле (13.8) с уровнем значимости a = 0,05 . Число степеней свободы будет ν = n −1 = 99 . По прил. 3 определим tα; ν = t0,05; 99 =1,98 .

158

Тогда получим:

−1,98

9,2

; 36,86

+1,98

9,2

= (35,04; 38,68).

36,86

100

100

13.3. Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов

При исследовании многочисленных физических, химических, технологических и других процессов очень часто сталкиваются со следующей задачей: в итоге опыта получен ряд значений переменных x и y , требуется по полученным данным найти аналитическое

выражение зависимости между x и y . Такая зависимость называет-

ся эмпирической.

Пусть заданы результаты наблюдений (табл. 13.5).

Таблица 13.5

X

x1

x2

…

xn

Y

y1

y2

…

yn

Нужно получить такую эмпирическую зависимость

y = f (x; a0 ; a1; a2 ; ...; am ),

(13.9)

где a0 , a1, a2 , …, am –

такие параметры,

при которые

значения

y = f (x; a0 ; a1; a2 ; ...; am )

в точках xi мало

отличались от опытных

данных yi , i =1, n.

Задача определения эмпирической зависимости состоит из двух этапов:

1) определение вида функциональной зависимости (выбор класса функций, которому должна принадлежать искомая функция

y= f (x; a0 ; a1; a2 ; ...; am );

2)определение параметров эмпирической зависимости.

Определение вида зависимости может быть произведено на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости или из геометрических соображений. На плоскости xOy строят точки

M i (xi ; yi ) , i =1, n и по характеру их расположения выбирают вид функциональной зависимости.

159

Смотрите также файлы