ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1451
Скачиваний: 2
Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если:
1) f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности;
2) lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Так как lim x = x0 , то второе условие можно записать в виде
x→x0
= f (x0 ). |
|||
lim f (x) = f lim x |
|||
x→x0 |
x→x0 |
||
Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и функции можно переставлять.
Определение. |
Если функция |
y = f (x) |
определена в окрестности |
|
точки x0 |
и lim |
f (x) = f (x0 − 0) = f (x0 ) |
(аналогично lim f ( x) = |
|
x→x0 −0 |
x→x +0 |
|||
= f ( x0 + 0) = f ( x0 ) ), то функция |
0 |
|||
y = f (x) |
называется непрерывной |
|||
в точке x0 слева (соответственно справа).
Обычно при исследовании функции на непрерывность используют следующий критерий.
Критерий. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если выполняются следующие три условия:
1)функция f (x) определена в точке x0 ;
2)существуют односторонние пределы f (x0 − 0) и f (x0 + 0);
3)эти пределы равны между собой и равны значению функции
вточке x0 , т. е. выполняется условие
f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0 ). |
(2.10) |
При вычислении пределов функций часто используется теорема: «Элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения».
Определение. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, в точке a
непрерывна справа, а в точке b слева.
Определение. Точка x0 называется точкой разрыва, если в этой
точке нарушается хотя бы одно из условий непрерывности.
Точки разрыва функции классифицируются следующим образом. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если в этой
точке существуют односторонние пределы, они равны между собой,
43
но не равны значению функции в точке x0 , или функция в точке x0 не
определена.
Если в точке устранимого разрыва функцию доопределить или сделать равной односторонним пределам, то функция в этой точке станет непрерывной.
Точка x0 называется точкой конечного разрыва, если в этой точке
существуют односторонние пределы, но они не равны между собой. Точка x0 называется точкой бесконечного разрыва, если хотя бы
один из односторонних пределов равен бесконечности.
Точки устранимого и конечного разрывов называются точками
разрыва I (первого) рода. |
из односторонних пределов f (x0 − 0) или |
|
Если |
хотя бы один |
|
f (x0 + 0) |
равен бесконечности или не существует, то точки разрыва |
|
называют точками разрыва II (второго) рода.
1
Задача 7. Рассмотрим функцию f (x) = 2 x−5 . Заданы два значения аргумента x1 = 3 и x2 = 5 . Требуется:
1)установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2)в случае разрыва функции найти ее пределы в точках разрыва слева и справа;
3)сделать схематический чертеж графика.
Решение. 1) Так как f (x) является элементарной функцией, то она непрерывна во всех точках (−∞; 5) (5; + ∞), в которых она определена. Следовательно, в точке x1 = 3 функция непрерывна. В точке x2 = 5 функция не определена (деление на ноль не определено). Не
выполняется первое условие |
критерия |
непрерывности. Значит, |
||||||||||||||||
x2 = 5 – точка разрыва функции. |
||||||||||||||||||
2) Вычислим односторонние пределы в точке x2 = 5 : |
||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
= 2−∞ = |
1 |
1 |
|||||||||||||
f (5 −0) = lim 2 |
x−5 |
= 2 |
5−0−5 |
= 2 |
−0 |
= |
= 0 ; |
|||||||||||
2+∞ |
+∞ |
|||||||||||||||||
x→5−0 |
||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
= 2+∞ = +∞. |
|||||||||||||||
f (5 + 0) = lim 2 |
x−5 |
= 2 |
5+0−5 |
= 2 |
+0 |
|||||||||||||
x→5+0 |
||||||||||||||||||
Один из пределов оказался бесконечным, поэтому x2 = 5 – точка бесконечного разрыва.
44
y
1
O |
5 |
x |
|||||||||
Рис. 2.1 |
|||||||||||
3) Учитывая, что lim 2 |
1 |
= 2 |
1 |
= 20 =1, строим эскиз графика |
|||||||
x−5 |
∞ |
||||||||||
x→∞ |
|||||||||||
функции (рис. 2.1). |
|||||||||||
Задача 8. Для функции |
|||||||||||
x2 +1, |
если |
x ≤1, |
|||||||||
если 1 < x ≤ 3, |
|||||||||||
f (x) = 2x, |
|||||||||||
+ 2, |
если |
x > 3 |
|||||||||
x |
|||||||||||
найти точки разрыва, если они существуют, и сделать схематический чертеж графика.
Решение. Поскольку f (x) задана тремя непрерывными элементарными функциями, то она непрерывна на каждом из интервалов (− ∞; 1), (1; 3) и (3; + ∞). Точками разрыва данной функции могут быть лишь точки x1 =1 и x2 = 3 , в которых функция меняет свое
аналитическое задание. Проверим в этих точках выполнение условий критерия.
Рассмотрим сначала точку x1 =1.
1) Функция определена в точке x1 =1 и ее окрестности, и значение f (1) =12 +1 = 2 ;
2) f (1 −0) = lim |
f (x) = lim (x2 +1) |
=1 |
+1 = 2 , |
x→1−0 |
x→1−0 |
||
f (1 + 0) = lim f (x) = lim (2x) = 2 1 |
= 2 |
; |
|
x→1+0 |
x→1+0 |
||
3) f (1 − 0) = f (1 + 0) = f (1) .
45
Следовательно, в точке x1 =1 функция f (x) непрерывна. Теперь рассмотрим точку x2 = 3 .
1) |
Функция определена в точке x2 = 3 и ее окрестности, и значе- |
|
ние f (3) = 6 ; |
||
2) |
f (3 −0) = lim |
f (x) = lim 2x = 2 3 = 6 , |
x→3−0 |
x→3−0 |
|
f (3 +0) = lim f (x) = lim (x + 2) = 3 + 2 = 5 ; |
||
x→3+0 |
x→3+0 |
|
3) |
f (3 − 0) ≠ f (3 + 0). |
|
Не выполняется третье условие критерия непрерывности. Итак, точка x2 = 3 – это точка разрыва функции f (x) . Поскольку одно-
сторонние пределы в этой точке конечны, то это точка конечного разрыва.
Чертеж графика функции представлен на рис. 2.2.
y
7
6
5
4
3
2
1
−1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
x |
||
Рис. 2.2
46
Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
3.1. Производная. Правила вычисления производных. Таблица производных
Пусть функция |
y = f (x) |
определена на интервале |
(a; b) . Аргу- |
менту x (a; b) дадим приращение x . Тогда функция |
y = f (x) по- |
||
лучит приращение |
y = f (x + |
x) − f (x) (рис. 3.1). |
|
y
f (x + x)
f (x)
α |
|||
O |
x |
x + x |
x |
Рис. 3.1
Определение. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента
x при |
x → 0 , обозначаемый одним из символов |
′ |
dy |
: |
||
f (x) , |
dx |
|||||
f ′(x) = lim |
f (x + x) − f (x) |
. |
(3.1) |
|||
x→0 |
x |
|||||
Сфизической точки зрения производная определяет мгновенную скорость изменения любого физического параметра, описываемого функцией f (x) в точке х.
Сгеометрической точки зрения производная f ′(x) равна тангенсу
угла наклона касательной к графику функции y = f (x) в точке
M (x; f (x)) , т. е. f ′(x) = tg α.
47