ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1444
Скачиваний: 2
Если существуют конечные пределы lim f (x) и lim g(x), то: |
||||
x→a |
x→a |
|||
1) |
lim( f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x); |
|||
x→a |
x→a |
x→a |
||
2) |
lim( |
f (x) g(x) ) = lim f (x) lim g(x); |
||
x→a |
x→a |
x→a |
||
f (x) |
lim f (x) |
||||||
3) |
lim |
= |
x→a |
(если |
|||
lim g(x) |
|||||||
x→a g(x) |
|||||||
x→a |
|||||||
4) |
lim(c f (x)) = c lim f (x) |
||||||
x→a |
x→a |
||||||
lim g(x) ≠ 0 );
x→a
.
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Для элементарных функций во всех точках из области их определения
lim f (x) = f (x0 ). |
(2.5) |
||||||||||||||
x→x0 |
|||||||||||||||
Иногда полезно использовать равенства |
)) |
||||||||||||||
x→a |
( |
ln f |
( |
x |
)) |
= ln |
(x→a |
( |
x |
; |
(2.6) |
||||
lim |
lim f |
||||||||||||||
lim f (x) |
(2.7) |
||||||||||||||
lim e f (x) = ex→a |
. |
||||||||||||||
x→a |
|||||||||||||||
Наконец, следует знать два замечательных предела: |
|||||||||||||||
1-й замечательный предел: |
|||||||||||||||
lim sin x |
=1; |
(2.8) |
|||||||||||||
x→0 |
x |
||||||||||||||
2-й замечательный предел: |
|||||||||||||||
lim 1+ |
1 x |
1 |
|||||||||||||
lim(1 + α) |
= e . |
||||||||||||||
= e |
, или |
α |
(2.9) |
||||||||||||
x→∞ |
x |
α→0 |
|||||||||||||
Число e ≈ 2,718282 |
есть иррациональное число. |
Логарифм по |
|||||||||||||
основанию е называется натуральным логарифмом и записывается ln x , а функция y = ex называется экспонентой.
Поскольку lim f (x) = f (x0 ) (2.5), то при вычислении пределов,
x→x0
прежде всего, вместо x подставляем предельное значение (обычно это
39
записывается в квадратных скобках) и, если значение f ( x0 ) опреде-
лено, применяем основные теоремы о пределах. |
||||||||||||||
Однако часто при подстановке в |
f (x) |
вместо x предельного зна- |
||||||||||||
0 |
; |
; |
[ |
0 ∞ |
] |
; |
[ |
∞ −∞ |
] |
|||||
чения x получаются выражения вида: |
0 |
∞ |
; 1∞ |
|||||||||||
0 |
∞ |
|||||||||||||
и другие, которые называются неопределенностями. Полученные неопределенности нужно «раскрывать» специальными методами, учитывая характер стремления к пределу отдельных функций, составляющих данную функцию.
Рассмотрим основные приемы раскрытия некоторых видов неопределенностей.
1)При нахождении предела отношения двух многочленов при x → ∞, числитель и знаменатель дроби полезно разделить на xn , где n – наивысшая степень этих многочленов.
Задача 1. Вычислить lim |
x |
2 + 2x −10 |
. |
|||||||||||
x→∞ 3x2 − 5x +1 |
||||||||||||||
Решение. Вычислим данный предел: |
||||||||||||||
2 |
10 |
|||||||||||||
lim |
x2 + 2x −10 |
= ∞ |
= lim |
1 |
+ x |
− x2 |
= |
1+ 0 −0 = 1 . |
||||||
5 1 |
||||||||||||||
x→∞ |
3x |
2 |
−5x +1 |
∞ |
x→∞ |
3 − 0 + 0 3 |
||||||||
3 |
− x |
+ |
||||||||||||
x2 |
||||||||||||||
При решении задачи применили деление числителя и знаменателя
дроби на x2 и использовали соотношения (2.1)–(2.3).
Иногда аналогичный прием можно применить и для дробей, со-
держащих иррациональности. |
P(x) |
|||||||||
2) При нахождении предела lim |
(а – конечное число) отно- |
|||||||||
x→a Q(x) |
||||||||||
шения двух многочленов P(x) |
и Q(x) , где |
P(a) = Q(a) = 0 , следует |
||||||||
сократить дробь один или несколько раз на бином x − a . |
||||||||||
Задача 2. Вычислить lim |
x2 |
−3x + 2 |
. |
|||||||
x2 |
−7x +10 |
|||||||||
x→2 |
||||||||||
Решение. Используя формулу разложения квадратного трехчлена |
||||||||||
на множители ax2 +bx2 + c = a(x − x )(x − x |
2 |
) , где x и |
x – корни |
|||||||
1 |
1 |
2 |
||||||||
квадратного трехчлена, получим:
40
lim |
x2 −3x + 2 |
= |
0 |
= lim |
(x − 2)(x −1) |
= lim |
x −1 |
= |
2 −1 |
= −1 . |
|||||
x |
2 |
−7x +10 |
(x − 2)(x −5) |
x −5 |
2 −5 |
||||||||||
x→2 |
x→2 |
x→2 |
3 |
||||||||||||
0 |
|||||||||||||||
3) При вычислении пределов от выражений, содержащих иррациональность, переводим иррациональность из числителя в знаменатель, или наоборот, используя умножение числителя и знаменателя дроби на сопряженное выражение.
Задача 3. Вычислить lim |
1 + x − 1 − x . |
|||||||||
x→0 |
x |
|||||||||
Решение |
||||||||||
lim |
1 + x − |
1− x |
= |
0 = lim ( |
1+ x − |
1− x)( 1+ x + |
1− x) = |
|||
x |
x( 1 + x + 1− x) |
|||||||||
x→0 |
0 |
x→0 |
||||||||
= lim |
1 + x −(1 − x) |
= lim |
2x |
= |
||||||
x→0 x( 1 + x + 1 − x) |
x→0 x( 1 |
+ x + 1 − x) |
||||||||
= lim |
2 |
= |
2 |
1 |
=1. |
|||||
x→0 |
1 + x + |
1 − x |
1 + |
|||||||
В данном случае умножили числитель и знаменатель дроби на величину, сопряженную числителю, далее сократили числитель и знаменатель на х и применили формулы (2.1) и (2.3).
4) При вычислении пределов от тригонометрических функций иногда приходится использовать 1-й замечательный предел (2.8),
а при раскрытии неопределенностей вида |
1∞ |
– 2-й замечательный |
|||||||||||||||||
предел (2.9). |
|||||||||||||||||||
Задача 4. Вычислить lim 1−cos 2x . |
|||||||||||||||||||
Решение |
x→0 |
x2 |
|||||||||||||||||
sin x 2 |
|||||||||||||||||||
lim |
1 −cos 2x |
= |
0 |
= lim |
2sin |
2 x |
= 2lim |
= |
2 |
= 2 . |
|||||||||
x |
2 |
x |
2 |
x |
2 1 |
||||||||||||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
|||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||
При решении задачи использовали тригонометрическую формулу
1 −cos α = 2 sin2 α2 , а также (2.4) и (2.8).
41
x |
+ |
5 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 5. Вычислить lim |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→∞ x |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Так как lim |
x +5 |
= lim |
1 + x |
=1, то в данном случае имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x |
+3 |
x→∞ |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1∞ |
1 + x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенность вида |
, для раскрытия которой используем вто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
рой замечательный предел (2.9) следующим образом: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x +5 |
2 x |
x +5 |
2 x |
2 |
2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
= lim |
1+ |
−1 |
= lim 1+ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
x +3 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x +3 |
x→∞ |
x→∞ |
+3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x+3 |
2 |
2 x |
4 x |
lim |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
x+3 |
lim |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= e |
x→∞ x+3 |
= e |
x→∞1+ |
x |
= e |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
1 |
+ |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
При решении задачи использовали (2.9) так:
2 |
x+3 |
2 |
= lim (1 + α) |
1 |
||||||||
2 |
||||||||||||
α |
||||||||||||
lim 1 |
+ |
= |
заменаα = |
= |
||||||||
x + 3 |
||||||||||||
x→∞ |
x + 3 |
α→0 |
||||||||||
была применена также и формула (2.7).
Задача 6. Вычислить lim x(ln(x + 2) − ln x).
x→∞
Решение. lim x(ln(x + 2)−ln x) |
= lim x ln |
x + 2 |
= (∞ 0) = |
|||||||||||
x→∞ |
x→∞ |
x |
||||||||||||
2 x |
2 |
x |
2 |
|||||||||||
+ |
2 |
= ln e |
2 |
= 2 ln e = |
||||||||||
= lim ln 1 |
= ln lim |
1+ |
x |
|||||||||||
x→∞ |
x |
x→∞ |
||||||||||||
e ,
2 .
При решении задачи использованы формулы (2.9) и (2.6), а также свойства логарифмов.
2.2. Непрерывность функции
Рассмотрим функцию f (x) , определенную в точке x0 и некоторой ее окрестности.
42