ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1440
Скачиваний: 2
y = |
3 x − |
3 |
, |
3 x − 3 = 5x −7, |
x = |
25 |
, |
|||||
14 |
||||||||||||
2 |
4 |
2 |
4 |
25 |
27 . |
|||||||
y = 5x −7 |
y = 5x −7 |
y = 5 |
−7 = |
|||||||||
14 |
14 |
|||||||||||
Итак, точка O1 |
25 |
; |
27 |
– центр искомой окружности. |
||||||||
14 |
14 |
|||||||||||
y
2 |
O1 |
|||
A |
1 |
N |
||
O |
C |
|||
−1 |
M 1 |
2 |
4 |
x |
–1
B
Рис. 1.15
5) Радиус R описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника. Расстояние между точками О1 и А в соответствии с формулами (1.10) и (1.11) равно
O1 A = |
25 |
2 |
27 |
2 |
10 |
= R . |
||||
− 2 |
+ |
− 2 |
= |
|||||||
14 |
||||||||||
14 |
14 |
|||||||||
6) По формуле (1.43) запишем уравнение искомой окружности:
25 |
2 |
27 |
10 |
||||||
x − |
+ y − |
= |
. |
||||||
14 |
196 |
||||||||
14 |
|||||||||
Задача 4. Оси эллипса совпадают с осями координат. Большая полуось расположена на оси Ох. Записать уравнение эллипса и сделать
34
чертеж с изображением директрис, если известно, что расстояние между фокусами равно 2c = 6 , а эксцентриситет ε = 53 .
Решение. Из условия задачи вытекает, что c = 3 . Из определения эксцентриситета имеем ε = ac = a3 = 53 , следовательно a = 5 . По формуле,
связывающей а, b и c, находим
b = a2 −c2 = 25 −16 = 4 .
Следовательно, искомое уравнение имеет вид
x2 + y2 =1. 25 16
Уравнения директрис:
x = a |
= |
5 |
= |
25 |
; |
x = − a |
= − |
5 |
= − |
25 . |
|
3 |
3 |
3 |
|||||||||
ε |
ε |
3 |
|||||||||
5 |
5 |
Эллипс и директрисы изображены на рис. 1.16.
y
x = − |
25 |
B2 |
(0; 4) |
x = |
25 |
|
3 |
3 |
|||||
A (−5; 0) |
F1 (−3; 0) |
O |
A2 (5; 0) |
x |
|||||
F (3; 0) |
|||||||||
1 |
2 |
||||||||
B1 (0; − 4)
Рис. 1.16
Задача 5. Фокусы гиперболы расположены на оси Ох симметрично началу координат. Записать уравнение гиперболы и сделать чертеж с изображением директрис и асимптот, если известно, что расстояние
между директрисами равно 12 54 , а уравнения асимптот y = ± 34 x .
35
Решение. Так как фокусы гиперболы расположены на оси Ох, то уравнение гиперболы имеет вид
x2 |
− |
y2 |
=1. |
|
a2 |
b2 |
|||
Найдем а и b. Поскольку расстояние между директрисами равно
12 54 , то уравнение правой директрисы определяется выражением
x = a |
= |
32 . Учитывая то, что ε = |
с |
, c = a2 +b2 и |
b |
= 3 |
, имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ε |
5 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = |
a |
= |
a2 |
= |
a2 |
= |
a |
= |
a |
= |
4a |
= |
32 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
ε |
c |
a2 +b2 |
b 2 |
9 |
+1 |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, a =8, b = 6 , а уравнение гиперболы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
− |
y2 |
=1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
64 |
36 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Искомая гипербола изображена на рис. 1.17. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = |
− |
32 |
x = |
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B2 (0; 6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 (−8; 0) |
A2 (8; 0) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F1 (−10; 0) |
F2 (10; 0) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
O |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B1 (0; − 6)
Рис. 1.17
Задача 6. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2; 2) и от оси абсцисс. Сделать чертеж.
36
Решение. Пусть M (x; y) – произвольная точка искомой линии (рис.
1.18). Расстояние MA запишем в соответствии с формулами (1.10) и (1.11) в виде
MA = (x − 2)2 + (y − 2)2 .
y
• |
||||||||||||
2 |
||||||||||||
A |
||||||||||||
M |
||||||||||||
1 |
||||||||||||
B |
||||||||||||
O |
1 |
2 |
N |
x |
||||||||
Рис. 1.18 |
||||||||||||
Расстояние от точки М до оси абсцисс, т. е. до точки N(x; 0), такое, |
||||||||||||
что MN Ox, составит: |
||||||||||||
MN = (x − x)2 + (y −0)2 = y . |
||||||||||||
Так как по условию задачи MA = MN , то |
(x − 2)2 + (y − 2)2 = y , |
|||||||||||
или, возведя обе части последнего уравнения в квадрат и выполнив тождественные преобразования, получим:
x2 − 4x + 4 + y2 − 4 y + 4 = y2 , т. е. y = 14 (x − 2)2 +1.
Последнее уравнение есть уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точкеB(2;1).
37
Тема 2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
2.1.Понятие предела функции
иосновные теоремы о пределах
Множество точек, удовлетворяющих условию a < x < b , называется интервалом и обозначается (a; b) или ]a; b[ . Интервалы могут
быть конечными и бесконечными. Если один из концов интервала включается в множество, то множество называется полуинтервалом. Например, [a; b) .
Множество точек, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b , называется отрезком и обозначается [a; b].
Окрестностью конечной точки x0 называется любой интервал, содержащий эту точку. Если из окрестности удалить точку x0 , то ок-
рестность называется проколотой.
Определение. Конечное число А называется пределом функции f (x) при x → a , если для любого ε > 0 существует такая проколотая
окрестность точки а, что для всех х из этой окрестности выполняется
неравенство f (x)− A < ε и записывается lim f (x) = A.
x→a
Введем понятие бесконечного предела функции при
Определение. Говорят, что lim f (x) = ∞, если для любого сколь
x→a
угодно большого числа M > 0 существует такая окрестность точки а,
что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f (x) > M .
Рассмотрим односторонние пределы. Если x → a и x < a, то это записывается в виде x → a −0 . Если же x → a и x > a, то это записывается в виде x → a + 0 . Числа
f (a −0) = lim f (x) и |
f (a + 0) = lim f (x) |
x→a −0 |
x→a +0 |
называют пределом слева функции f (x) в точке a и пределом справа функции f (x) в точке a (если эти числа существуют), соответственно.
Для существования предела f (x) при x → a необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство f (a −0) = f (a + 0).
При вычислении пределов используют следующие основные теоремы о пределах.
38