Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

При проецировании окружность (;¯ переходит в эллипс с осями AB и CD. Прямые S; ¯O; ¯ и C; ¯D; ¯ лежат в плоскости  параллельной направлению проецирования, поэтому S; ¯O; ¯ и C; ¯D; ¯ проецируются на одну прямую. Точки S; ¯ и K; ¯ проецируются в одну точку, поэтому проекции отрезков K; ¯M; ¯ и S; ¯M; ¯ совпадают. Значит, изображение SM контурной образующей будет касательной к . Аналогично, SN – тоже касательная. Хорда M; ¯N; ¯ параллельна A; ¯B; ¯. Поэтому и на изображении MN||AB.

Самое главное, что следует уяснить: изображения контурных образующих ни в коем случае не проходят через концы главного диаметра эллипса.

§11. Изображение шара.

Пусть (; ¯ – шар-оригинал. Проведём все возможные касательные к шару параллельные направлению проецирования. Они образуют цилиндрическую поверхность, которая касается шара по большой окружности (;¯. В пересечении цилиндрической поверхности с плоскостью изображений

получится эллипс _o, который наз.очертанием шара. Этот эллипс вместе со своей внутренностью будет проекцией шара (обозначаем _o).

Если направление проецирования p;\s\up8(( не перпендикулярно плоскости изображений, то _o не является окружностью. Не будет окружностью и любая подобная _o фигура. Такое изображение не будет наглядным. Поэтому мы рассмотрим только изображение шара в ортогональной проекции.

Для того, чтобы сделать изображение более наглядным, кроме очертания шара рисуют ещё изображение какой-либо большой окружности (;¯ – экватора. Плоскость экватора не должна быть перпендикулярна плоскости . В противном случае, экватор будет изображаться отрезком, и изображение не будет наглядным. Также принято изобр-ть полюса – концы диаметра шара N; ¯S; ¯, перпендик-ого плоскости экватора.

Изучим, как правильно изображать экватор и полюса. Пусть A; ¯B; ¯ и D; ¯ – взаимно перпендикулярные диаметры экватора, причём A; ¯B; ¯ ||. Пусть A_oB_o и C_oD_o – проекции этих диаметров. Тогда |A_oB_o|=|A; ¯B; ¯ |. Обозначим R; ¯ – радиус шара,  – угол между C; ¯D; ¯ и плос­костью . Тогда

|O_oA_o|=R; ¯,

|O_oC_o|=R; ¯·cos, |O_oN_o|=R; ¯·sin.

Изображение шара подобно его проекции. Поэтому на изображении тоже выполняются соотношения

|OC|=|OA|·cos, |ON|=|OA|·sin. (_*)

Проведём через точку C половину хорды CK, а через точку N – половину хорды NM. В OCK и ONM

|OK|=|OM|=|OA|,

|OC|=|OK|·cosKOC=|OA|·cosKOC.

|ON|=|OM|·sinOMN =|OA|·sinOMN.

След, KOC=OMN= и треугол.KOC,

OMN равны. Поэтому|KC|=|ON|,|OC|=|NM|. (3)

Итак.

1. Если дано изображение экватора , мы можем однозначно определить, где располагаются точки N и S, изображающие полюсы. Пусть AB – большой диаметр для , CD – малый диаметр. Проведём через точку C половину хорды CK параллельно AB. На перпендикуляре к AB, проходящем через точку O отложим отрезки ON и OS, равные CK.

2. Если дано изображение полюсов N и S, мы можем построить изображение экватора. Большой диаметр изображения экватора – это диаметр очертания шара, перпендикулярный NS. Малый диаметр CD лежит на прямой NS. Проведём через точку N – половину хорды NM. Тогда |OC|=|OD|=|NM|.

Ещё раз подчеркнём, чтополюсы лежат на очертании шара тогда и только тогда, когда экватор изображается отрезком.

При построении изображения шара вместе с декартовой СК следует учесть, что оси Ox и Oy должны проходить через сопряжённые диаметры экватора, а ось Oz – через полюс. Если у нас уже изображена ось Ox, мы проводим вспомогательную хорду изображения экватора, параллельную Ox, и через середину хорды должна проходить Oy.

12. Аксонометрия. Изображение точек.

Пусть R ; ¯ = {O; ¯, E1;¯, E2;¯, E3;¯} – аффинный репер в пространстве. Пусть e1;\s\up8(( = \O(O; ¯, e2;\s\up8(( = \O(O; ¯, e3;\s\up8(( = \O(O; ¯. Пусть M; ¯ – произвольная точка в пространстве с координатами (x₁, x₂, x₃). Это означает, что

\O(O; ¯= x₁e1;\s\up8(( + x₂e2;\s\up8(( + x₃e3;\s\up8(( .

Пусть M3;¯ – проекция точки M; ¯ на координатную плоск. O; ¯E1;¯E2;¯ параллельно вектору e3;\s\up8(( , а Mo;¯ – проекция точки M3;¯ на ось Ox параллельно вектору e2;\s\up8(( . Тогда ломаная O; ¯Mo;¯M3;¯M; ¯ наз.координатной ломаной точки M; ¯. Для её звеньев выполнено

|O; ¯Mo;¯|=|x₁||O; ¯E1;¯|, |Mo;¯M3;¯|=|x₂||O; ¯E2;¯|,

|O; ¯Mo;¯|=|x₃||O; ¯|.

Выберем плоскость изображений  и направление проецирования не параллельно координатным плоскостям. При аффинном отображении сохраняется соотношение отрезков, принадл-их параллельным прямым. Поэтому и на изображении выполняется

|OM_o|=|x₁||OE₁|, |M_oM₃|=|x₂||OE₂|, |M₃M|=|x₃||OE₃|.

Из этого вытекает следующее утверждение.

Если на плоскости  дано изображение аффинного репера, то мы можем построить изображение M данной точки M; ¯ по её координатам. Если даны изображения аффинного репера и координатной ломаной, то мы можем определить координаты точки M; ¯.

Если мы умеем строить изображения точек в системе координат, то мы можем строить и изображение пространственных фигур. Этот метод называется методом аксонометрического проецирования. Точку наз. началом аксонометрической СК, а осиOE₁, OE₂, OE₃ – аксонометрическими осями.

Пусть M1;¯, M2;¯ – проекции точки M на координатные плоскости O; ¯E3;¯ и O; ¯E1;¯E3;¯ соответственно параллельно координатным осям O; ¯E1;¯ и O; ¯E2;¯. Пусть M₁, M₂ – изображения этих точек. Тогда точка M называется аксонометрической проекцией точки M; ¯, а M₁, M₂, M₃ называются её вторичными проекциями. Для того, чтобы определить координаты точки

M; ¯ по её изображению, достаточно иметь на чертеже её аксонометрическую проекцию и любую из вторичных. Но, если не оговорено, о какой вторичной проекции идёт речь, то предполагается, что это точка M₃.

Вместо утвержд. «в пространстве дана точка M; ¯, аксонометрическая проекция которой есть M, а вторичная M₃ будем говорить «дана точка(M, M₃)».

Изобр-ие прямых и плоскостей в аксонометрической проекции.

Будем предполагать, что направление проецирования не параллельно рассматриваемым прямым и плоскостям. Тогда изображением прямой будет прямая, а изображение плоскости будет накрывать всю плоскость .

Прямая a;¯ на плоскости изображений задаётся двумя своими точками (M, M₃) и (N, N₃) или аксонометрической проекцией a и вторичной a₃. Тогда говорим, что дана прямая (MN, M₃N₃) или прямая (a, a₃). Если прямая a;¯ не параллельна оси O; ¯E3;¯, то её вторичная проекция есть прямая. Если a;¯ ||O; ¯E3;¯, то её вторичная проекция есть точка. В последнем случае, мы подписываем эту точку всё равно, как a₃. Сама ось O; ¯E3;¯ задаётся на изображении как (OE₃, O). Если прямая b;¯ лежит в плоскости O; ¯E1;¯E2;¯, то её аксонометрическая и вторичная проекции совпадают: b=b₃.

Рассмотрим возможные варианты расположения двух прямых (a, a₃) и (b, b₃). Как у параллельных прямых, так и у пересекающихся, могут совпадать либо аксонометрические, либо вторичные проекции. Если совпадают и те и др, то совпадают и сами прямые.

Плоскость может быть задана тремя своими точками, либо двумя своими прямыми, либо прямой и не лежащей на ней точкой. Пусть p;¯ – прямая, по которой данная плоскость (;¯ пересекает координатную плоскость O; ¯E1;¯E2;¯, аp – её изображение. Тогда прямая p называется следом плоскости. Пусть P; ¯ – точка пересечения

плоскости (;¯ с координатной осью O; ¯E3;¯, (P, O) – её изображение. Наиболее удобным считается способ изображения плоскости именно с помощью этих элементов: следа p и точки (P, O). Можно также говорить о следах данной плоскости на других координатных плоскостях O; ¯E1;¯E3;¯ и O; ¯E2;¯E3;¯; на чертеже они изображены пунктиром. Но если не сказано, о каком следе идёт речь, то предполагается, что это след на плоскостиO; ¯E1;¯E2;¯.

Вар-ты расположения плоск, при которых 1из вышеупомянутых элемен. отсутствует.

Пусть прямая a;¯ пересекает координатную плоскость O; ¯E1;¯E2;¯ в точке X; ¯. Аксонометрическая и вторичная проекции этой точки совпадают – это точкаX. Точка X называется следом прямой a;¯. Если прямая a;¯ параллельна O; ¯E1;¯E2;¯, то след у неё будет отсутствовать. Можно также говорить о следах прямой на других координатных плоскостях. Если говорится просто «след прямой», то подразумевается, что след на плоскости O; ¯E1;¯E2;¯.

Ключом к решению зад на построение явл. следующее очевидное утвержд. Если прямая лежит на плоскости, то её след лежит на следе плоскости.