Файл: лекции 2-й семестр.doc

Нематериальным ресурсом наряду с финансами является профессионально-интеллектуальный потенциал общества.

Продолжим рассмотрение возможности использования известных макроэкономических моделей для исследования многопроектного управления с однопродуктовой (для нашего случая однопроектной) динамической макроэкономической модели. На рис.2 выделены факторы, характеризующие производство: труд (L), средства труда – основные производственные фонды - ОПФ (K) и предметы труда (W*). Последние включают природные ресурсы (W) и предметы труда (W*), возвращаемые в производство как часть совокупного общественного продукта.

Результатом производственной деятельности является валовый продукт - ВП (X), распределяемый в блоке P_xна производственное потребление (W), и конечный продукт (Y). В свою очередь, конечный продукт (Y) делится в блоке распределения P_yна валовые капвложения (I) и непроизводственное потребление (C). Валовые капвложения (I) делятся на амортизационные отчисления (A) и чистые капвложения, идущие на расширение производственных фондов (блок P_I).

Однопродуктовые модели - это модели, изучающие свойства и тенденции изменения взаимосвязанных агрегированных макроэкономических показателей, таких, как ВП, КП, трудовые ресурсы, ПФ, КВ, потребление и т.д. На рис 29. показаны эти взаимосвязи.

Рис.29

На макроуровне блок распределения P_xпоказывает взаимосвязь между ВП X, производственным потреблением W и КП Y:

X=W+Y. (1)

Блок P_yделит КП на две составляющие: валовые капвложения (КВ) I и непроизводственное потребление C, т.е.

Y=I+C. (2)

Одна из трудностей формализации является учет распределенного запаздывания прироста ОПФ от КВ.

Предположим, что валовые инвестиции полностью расходуются на прирост ОПФ в том же году и на амортизационные отчисления:

а) в дискретном варианте эта взаимосвязь имеет вид

I_t =qK_t+A, (3)

где K_t= K_t+1- K_t- прирост ОПФ в году t; q - параметр модели; A =K_t- амортизационные отчисления;- коэффициент амортизации; K_t- ОПФ в году t;

б) при переходе к непрерывному аргументу аналогом этого уравнения является

I=q(dK/dt) +K(3’)

Отсюда можно получить уравнение движения фондов:

dK/dt= 1/q(I-K) (3”)

Объединим уравнения (1) - (3), получим однопродуктовую динамическую микромодель в дискретном варианте:

X_t = W_t + qK_t + K_t + C_t.

Если считать производственные затраты W пропорциональными выпуску продукции X, т.е.

W = aX, (4)

то дискретная однопродуктовая динамическая модель примет вид

X_t = aX_t + qK_t + K_t + C_t,

или

K_t = 1/q[(1 - a)X_t - K_t - C_t],

а в непрерывном варианте - соответственно

dK/dt= 1/q[(1-a)X-K-C].

В некоторых случаях используют упрощенные варианты однопродуктовой динамической модели, например, открытая и замкнутая модели.

В случае открытой однопродуктовой динамической модели Леонтьева предполагают, что все валовые КВ идут на ввод в действие новых ОПФ (ОПФ не изнашиваются). Считая, что прирост выпуска продукции X_t = X_t+1- X_tпропорционален КВ, т.е.

I_t=X_t, (5)

из уравнений (1), (2), учитывая (4), (5), получим однопродуктовую открытую динамическую модель Леонтьева:

X_t=aX_t+X_t +C_t.

В непрерывном варианте однопродуктовая динамическая макромодель Леонтьева имеет вид

X=aX+(dX/dt) +C. (6)

С математической точки зрения эта модель представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение.

В случае замкнутой однопродуктовой модели Леонтьева предполагают, что непроизводственное потребление C(t) идет полностью на восстановление рабочей силы L(t). Тогда, введя норму потребления (t), получим

C(t) =(t)L(t). (7)

Далее, если считать, что затраты труда пропорциональны выпуску продукции, то

L(t) =b(t)X(t), (8)

где b(t) - норма трудоемкости.

Подставим (7) в (6) с учетом (8) получим “замкнутую по потреблению” модель расширенного воспроизводства

X = a(t)X(t) + (t)[dX(t)/dt] + (t)b(t)X(t),

которая описывается однородным дифференциальным уравнением

dX(t)/dt-p(t)X(t) = 0, (9)

где

p(t) = [1 - a(t) - (t)b(t)] / (t).

Тогда развитие экономики определяется решением уравнения (9):

X(t) =X₀e^{ p(t)dt}

Предполагают, что непроизводственное потребление является известной функцией времени. Тогда закон развития экономики определим из модели (6), которая с математической точки зрения является неоднородным дифференциальным уравнением вида

dX/dt+p₁(t)X(t) =(t),

p₁(t) = -[(1-a(t))/(t)];(t) = -C(t)/(t), с решением

_t

X(t) = e^{- p1(t)dt} ( (t)e^{ p1(t)dt}dt + X₀).

⁰

Итак, можно сделать следующий вывод. Выделение из КП Y накапливаемой части I приводит к рассмотрению динамических моделей и применению для исследования в качестве математического аппарата теории дифференциальных (в непрерывном случае) и конечно-разностных уравнений (в многошаговом варианте).

Рассмотрим двухпродуктовую (или двухпроектную – при многопроектном управлении) динамическую макроэкономическую модель. Предположим, что экономика представлена двумя отраслями (случай, когда целевая программа структурирована на два мультипроекта, на два направления программы), каждая из которых выпускает ВП X¹, X²и затрачивает на воспроизводство труд, средства труда и предметы труда. ВП каждой отрасли распределяется в блоках Px¹, Px²(рис.3.) соответственно на КП Y¹, Y²отраслей и производственное потребление W¹, W²:

X¹=W¹ +Y¹,

X²=W²+Y².

Однако в двухпродуктовой модели промежуточный продукт Wⁱ(i = 1,2) расходуется на воспроизводство ВП не только своей отрасли, но и другой. На рис.30. распределение промежуточного продукта осуществляется в блоках Pw¹и Pw²:

W¹ = W¹₁ + W¹₂,

W² = W²₁ + W²₂.

Рис.30

Если предположить, что межотраслевые потоки Wⁱ_j(i,j = 1,2) из i-й отрасли в j-ю отрасль пропорциональны объему ВП X^j_j-й отрасли:

Wⁱ_j= aⁱ_jX_j,

где aⁱ_j- норма затрат продукции i-й отрасли на воспроизводство единицы продукции j-й отрасли, - то распределение ВП отраслей можно представить в виде

X¹ = a¹₁X¹ + a¹₂X² + Y¹,

X² = a²₁X¹ + a²₂X² + Y² (10)

Из рис.3. видно, что блоки Pw¹и Pw²участвуют в межотраслевом обмене промежуточного продукта и образуют систему межотраслевых связей. Вычленение этой системы из рассматриваемой динамической модели приводит к модели МОБ. Модель МОБ для n = 2 отраслей представлена на рис.30.

Дальнейшее деление КП Y¹, Y²отраслей I и II соответственно на валовые КВ I¹, I²и непроизводственное потребление C¹, C²осуществляется в блоках Py¹и Py²:

Y¹=I¹ +C¹,

Y²=I²+C², (11)

что приводит к вводу в балансовое уравнение составляющих I¹, I², связь которых с ВП выражена конечно-разностными (в дискретном варианте) или дифференциальными (в непрерывном варианте) уравнениями.

В двухпродуктовой модели в простейшем варианте будем считать, что все валовые КВ идут на развитие экономики (амортизационные отчисления в этом случае не учитываем). Тогда расход валовых КВ I¹, I²каждой отрасли на увеличение ОФ осуществляется соответственно в блоках P_I1и P_I2:

I¹ =I¹₁+I¹₂,

I²=I²₁+I²₂. (12)

В простейшей динамической модели считаем, что поток валовых КВ Iⁱ_j(i,j = 1,2) из i-й отрасли в j-ю пропорционален приросту ВП j-й отрасли:

Iⁱ_j=ⁱ_jX_j, j = 1,2. (13)

Подставляя в (10) формулы (11)-(13), получим открытую двухпродуктовую модель в дискретном варианте:

X¹ = a¹₁X¹ + a¹₂X² + ¹₁X¹ + ¹₂X² + C¹

X² = a²₁X¹ + a²₂X² + ²₁X¹ + ²₂X² + C² (14)

В непрерывном варианте модель (14) примет вид

X¹ = a¹₁X1 + a¹₂X² + ¹₁dX¹/dt + ¹₂dX²/dt + C¹,

X² = a²₁X¹ + a²₂X² + ²₁dX¹/dt + ²₂dX²/dt + C²,

Задавая в базисном году t₀X¹(t₀) = X¹₀, X²(t₀) = X²₀и предполагая известными потребления во времени C¹(t) и C²(t), видим, что задача развития экономики, заданной двумя отраслями, сводится к системе линейных неоднородных уравнений. С математической точки зрения эта задача является задачей Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теперь перейдем к многопродуктовой модели (целевая программа, содержащая nмонопроектов), которая впервые была сформулирована В.В. Леонтьевым как метод межотраслевого анализа или анализ «затраты — выпуск» (input-outputanalysisилиI/Qanalysis). Понятие «отрасль» здесь, как уже отмечалось выше, условное, отражающее эмпирическую совокупность, построенную на какой-либо статистической классификации. Межотраслевой анализ базируется на использовании статистических таблиц, называемых «межотраслевыми», которые позволяют представить картину народно-хозяйственной динамики за определенный период (как правило, за один год). Ее содержание составляют связи между отраслями (табл.1).

Строки табл.26 показывают распределение выпуска каждой отраслью обобщенного продукта. Каждая строка характеризуется следующим балансом:

Выпуск данного вида продукции = Промежуточный спрос + Конечный спрос.

Это условие можно записать в виде

_ _ _ _ _ _

х_i = (x_i1 + x_i2 + ... + x_ij + ... + x_in) + Y_i, i = 1, ... , n. (15)

Промежуточный спрос есть часть общего спроса, представляющая закупку данного вида продукта отраслями 1, 2, ... , n в качестве исходных (ресурсных) материалов для производства собственной продукции. Конечный спрос — это закупки конечных продуктов непосредственно для потребления или в качестве инвестиционных вложений.

Таблица 26. Схема межотраслевого баланса