Файл: Методуказания к расчетно графическим работам.doc

Затем определяется шаг или ширина интервала по формуле:

,

где - максимальное значение измеряемого показателя в упорядоченной (ран­жированной) выборке;- минимальное значение показателя.

Полученное значение шага обычно округляют в большую сторону до размерно­сти измеряемого показателя.

Нижняя граница первого интервала выбирается чуть меньшей или равной ми­нимальному значению выборки, то есть от до.

После этого заполняется таблица (см. табл. 2.) по результатам выборки, кото­рые распределены в интервалы, т. е. результаты измерений представляются в виде вариационного ряда по образцу, где количество строк зависит от количества ин­тервалов.

Таблица 2

В первый столбец таблицы вписывается номер интервала.

Во второй столбец – границы интервала. Причем верхняя граница первого интервала определяется прибавлением шага интервала к его нижней границе. Этот результат является также и нижней границей для следующего интервала. Макси­мальное число верхней границы последнего интервала должно быть больше или равно максимальному значению показателя в выборке.

В третий столбец вписываются срединные значения интервалов.

Середины интервалов являются средними арифметическими значениями границ интервалов. Причём достаточно определить середину первого интервала, прибавив к ней шаг интервала, получить середину второго интервала и т.д.

Четвёртый столбец – частота (n_i), т. е. количество значений, попавших в задан­ный интервал. Если граничный результат был учтен в интервале, то в последую­щем интервале учитываются значения выше граничного результата.

Пятый столбец – накопленная частота, которая рассчитывается сум­мированием частот предыдущих интервалов. Причем в последней строке этого столбца обязательно должно быть число, равное объему выборки (n).

Шестой столбец – частость (р_i^*), т. е. отношение частоты к объёму выборки.

Седьмой столбец – накопленная частость, получаемая суммированием час­тостей предыдущих интервалов. В последней строке столбца 6 получается еди­ница.

Распределение измерений, представленное в столбцах 2(границы интервалов) и 4(частота) или 2(границы интервалов) и 6(частость), назы­вается вариационным рядом.

Графическое представление вариационного ряда

Графическое представление результатов измерений выражается в построе­нии трех графиков: полигона частот (рис. 1), гистограммы (рис. 2) и полигона накопленных частот (кривой сумм или кумуляты) (рис. 4).

Полигон частот и гистограмма показывают распределение измеряемых показателей и их сгруппированность вокруг среднего значения.

Для построения полигона частот в декартовых координатах по оси абсцисс откладываются срединные значения интервалов, а по оси ординат – соответст­вующие им частоты (или частости).

Рис. 1. Полигон частот результатов

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладываются границы ин­тервалов и на них восстанавливаются прямоугольники до уровня частот, соответ­ствующих интервалам, отложенных по оси ординат (рис. 2).

Рис. 2. Гистограмма распределения результатов

Если нанести на гистограмму пунктирной линией полигон распределения частот, то мы получим первоначальное представление о дифференциальной функ­ции распределения.

Таким образом, теоретическим аналогом гистограммы является плот­ность распределения вероятностей, или дифференциальная функция распре­деления (рис. 3).

Рис. 3. Плотность распределения вероятностей

Иначе говоря, гистограмма является экспериментальным аналогом плотности распределения вероятностей.

Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т. е. объёму выборки, или сумме частостей, т. е. единице.

Полигон накопленных частот показывает прирост показателей от интер­вала к интервалу, поэтому ее ещё называют кривой сумм или кумулятой. Для по­строения полигона накопленных частот по оси абсцисс откладываются верхние границы интервалов, а по оси ординат – соответствующие им накопленные час­тоты (или накопленные частости) (рис. 4).

накопленная

частота

Рис. 4. Полигон накопленных частот результатов

Теоретическим аналогом полигона накопленных частот результатов яв­ляется функция распределения, или интегральная функция распределения (рис. 5).

Рис. 5. Функция распределения

Иначе говоря, полигон накопленных частот результатов является экс­периментальным аналогомфункции распределения.

Таким образом, графическое представление результатов измерений выяв­ляет закономерности их распределения и позволяет правильно выбрать последую­щие статистические характеристики для дальнейшего анализа полученных экспе­риментальных данных.

Однако прежде чем перейти к дальнейшим расчётам, напомним о нормаль­ном законе распределения.

Нормальное распределение

Большинство экспериментальных исследований не только в области физиче­ской культуры и спорта, но и в биологии, медицине и др. связано с измерениями, результаты которых могут принимать любые значения в заданном интервале, и описываются моделью непрерывных случайных величин, которые подчинены определённому закону распределения.

Среди всех непрерывных законов распределения вероятностей особое место занимает нормальное распределение, или распределение Гаусса, как наиболее часто встречающийся вид распределения.

Закон нормального распределения выражается следующей формулой:

,

где µ - математическое ожидание;

(основание натурального логарифма);

- называется нормированным отклонением.

Поэтому этот закон называется законом нормального распределения, а гра­фик функции f(x) называют нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис.6).

Рис. 6. Кривая нормального распределения

Теорема.Математическое ожидание случайной величины Х приближённо равно среднему арифметическому всех её значений (при достаточно большом числе испытаний).

Как видно из рисунка 6, график нормальной кривой представляет собой колоколообразную фигуру, симметричную относительно вертикальной прямой , и асимптотически приближающуюся к оси абсцисс при.

Главная особенность нормального закона состоит в том, что он является пре­дельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. При достаточно многочисленной совокупности нормальное распределение прояв­ляется и в эмпирическом распределении.

Определение. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей образует так называемое теоретическое распределение.

Определение. Совокупность фактических значений случайной величины, полученных в результате наблюдений, с соответствующими частотами (или частостями) образуют эмпирическое распределение.

Рассмотрим некоторые свойства нормального распределения.

1. График нормального распределения определен на всей оси ОХ, т. е. каж­дому значению х соответствует вполне определённое значение функции.

2. При всех значениях х (как положительных, так и отрицательных) функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью ОХ.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х равен нулю