Файл: Методуказания к расчетно графическим работам.doc

Расчёт коэффициентов уравнений линейной регрессии

Как уже было сказано выше, в случае линейной зависимости уравнение регрессии является уравнением прямой линии.

Различают

У = а_у/х +b_у/хХ - прямое уравнение регрессии;

Х = а_х/у+b_х/у Y - обратное уравнение регрессии.

Здесь а и b – коэффициенты, или параметры, которые определяются по формулам. Значение коэффициента b вычисляется

Из формул видно, что коэффициенты регрессии b_у/х и b_х/у имеют тот же знак, что и коэффициент корреляции, размерность, равную отношению размерностей изучаемых показателей Х и У, и связаны соотношением:

Для вычисления коэффициента а достаточно подставить в уравнения регрессии средние значения коррелируемых переменных

График теоретических линий регрессии (рис. 17) имеет вид:

Рис 17. Теоретические линии регрессии

Из приведённых выше формул легко доказать, что угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно

Так как, то. Это означает, что прямая регрессииY на Х имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем прямая регрессии Х на Y.

Чем ближе к единице, тем меньше угол между прямыми регрессии. Эти прямые сливаются только тогда, когда.

При прямые регрессии описываются уравнениями,.

Таким образом, уравнения регрессии позволяют:

• определить, насколько изменяется одна величина относительно другой;

• прогнозировать результаты.

2. Методика выполнения расчётно-графической работы №2

Расчётно-графическая работа содержит 4 раздела.

В первом разделе:

3. Формулируется тема;

4. Формулируется цель работы.

Во втором разделе:

3. Формулируется условие задачи;

4. Заполняется таблица исходных данных выборки.

В третьем разделе:

4. Результаты измерений представляются в виде вариационного ряда;

5. Даётся графическое представление вариационного ряда.

6. Формулируется вывод.

В четвёртом разделе:

3. Рассчитываются основные статистические характеристики ряда измерений;

4. По итогам расчётов формулируется вывод.

Оформление работы:

3. Работа выполняется в отдельной тетради или на форматных листах.

4. Титульный лист заполняется по образцу.

Российский Государственный Университет

физической культуры, спорта, молодёжи и туризма

Кафедра естественнонаучных дисциплин

Корреляционный и регрессионный анализы

Расчётно-графическая работа №2

по курсу математики

Выполнил: студент 1 к. 1 пот. 1гр.

Иванов С.М.

Преподаватель :

доц. кафедры ЕНД и ИТ

(Ф.И.О.)

Москва – 2012

(Пример оформления титульного листа)

Пример выполнения расчётно-графической работы №2.

Тема работы: Корреляционный и регрессионный анализы.

Цель работы: Определить взаимосвязь показателей двух выборок.

Ход выполнения работы:

1. Придумать две выборки из своего вида спорта с одинаковым объемом n.

2. Нарисовать корреляционное поле, сделать предварительный вывод.

3. Рассчитать коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона и сделать вывод.

4. Определить достоверность коэффициента корреляции и сделать окончательный вывод.

5. Рассчитать коэффициент детерминации и сделать вывод о степени взаимосвязи показателей двух выборок.

6. Рассчитать коэффициенты прямого и обратного уравнений регрессии.

7. Построить теоретические линии регрессии на корреляционном поле и показать точку их пересечения.

1. Условие задачи: У группы спортсменов определяли результаты в беге на 100 м с барьерами X_i (с) и прыжках в длину Y_i (м) (табл.). Проверить, существует ли корреляционная связь между исследуемыми признаками и определить достоверность коэффициента корреляции.

Таблица исходных данных выборки: Результаты приведены в таблице исходных данных.

Таблица 6

Результаты бега и прыжка

Решение:

2. Построим корреляционное поле (диаграмму рассеяния) и сделаем предварительный вывод относительно связи между исследуемыми признаками.

Рис 18. Корреляционное поле

Предварительный вывод:

Связь между показателями результатов в беге на 100 м с барьерами X_i (с) и прыжками в длину Y_i (см):

• линейная;

• отрицательная;

• сильная.

3. Рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции Бравэ – Пирсона, предварительно рассчитав основные статистические показатели двух выборок. Для их расчёта составим таблицу, в которой предпоследний и последний столбцы необходимы для расчёта стандартных отклонений, если они неизвестны. Для нашего примера эти значения рассчитаны в первой расчётно-графической работе, но для наглядности покажем расчёт дополнительно.

Таблица 7

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента

корреляции Бравэ – Пирсона

_x =,

_y =,

.

Полученное значение коэффициента корреляции позволяет подтвердить предварительный вывод и сделать окончательное заключение – связь между исследуемыми признаками:

• линейная;

• отрицательная;

• сильная.

4. Определим достоверность коэффициента корреляции.

Предположим, что связь между результатом в беге на 100 м и прыжком в длину отсутствует (Н_о: r=0).

• .

• Находим = 2,12 дляα = 0,05 и  = n - 2 = 16.

• t_расчет > t_табл (19,6 > 2,12).

Вывод: существует сильная, отрицательная статистически достоверная (р=0,95) связь между бегом с препятствиями на дистанцию 100 м и прыжком в длину. Это означает, что с улучшением результата в прыжке в длину уменьшается время пробега дистанции 100 м.

5. Вычислим коэффициент детерминации:

.

Следовательно, только 96% взаимосвязи результатов в беге на 100 м с барьерами и в прыжке в длину объясняется их взаимовлиянием, а остальная часть, т. е. 4% объясняется влиянием других неучтённых факторов.

6. Рассчитаем коэффициенты прямого и обратного уравнений регрессии, воспользовавшись формулами, подставим значения рассчитанных коэффициентов в соответствующую формулу и запишем прямое и обратное уравнения регрессии:

Y = а₁ + b₁Х - прямое уравнение регрессии;

Х = а₂ + b₂ Y - обратное уравнение регрессии.

Воспользуемся результатами расчёта, приведёнными выше:

_x =;_y =;;13,59; 6,4,