Файл: Методуказания к расчетно графическим работам.doc

Пару случайных чисел Х и У, представляющих собой результаты измерений, можно изобразить графически в прямоугольной системе координат в виде точек с координатами Х;У. Множество этих точек образуют графическую зависимость, называемую корреляционным полем или диаграммой рассеяния.

Визуальный анализ графика (рис. 14) позволяет выявить форму зависимости между исследуемыми признаками:

если множество точек корреляционного поля заключено в геометрическую фигуру эллипс, то такая правильная форма называется линейной зависимостью, или линейной формой взаимосвязи;

если множество точек имеет иную форму, то имеет место нелинейная форма взаимосвязи, или нелинейная зависимость;

Линейная зависимость Отсутствие зависимости

Нелинейная зависимость

Рис 14. Форма связи

если же корреляционное поле представляет собой множество точек, заключённых в окружность, это означает отсутствие взаимосвязи между исследуемыми признаками.

Определение направления взаимосвязи

Кроме формы взаимосвязи, корреляционное поле позволяет определить направление взаимосвязи (рис. 15):

если между исследуемыми признаками наблюдается прямо пропорциональная зависимость, т. е. с увеличением одного показателя увеличивается и другой, то взаимосвязь положительная;

если же зависимость обратно пропорциональная, т. е. с увеличением одного показателя другой уменьшается, то имеет место отрицательная взаимосвязь.

В первом случае при расчёте коэффициент корреляции получается со знаком «+», а во втором случае – со знаком «-».

Рис 15. Направление связи

Определение степени или тесноты взаимосвязи

Анализ корреляционного поля позволяет определить не только форму и направление взаимосвязи, но и степень зависимости, или тесноту (силу) связи. Ниже приводятся графики при различной степени связи с соответствующими им коэффициентами корреляции при положительной зависимости (рис. 16а) и при отрицательной зависимости (рис. 16б).

Как видно из рисунка, чем ближе корреляционное поле к прямой, тем больше по модулю коэффициент корреляции, значит, тем сильнее зависимость между исследуемыми результатами; а чем ближе форма корреляционного поля к окружности, тем меньше по модулю коэффициент корреляции и тем слабее зависимость между исследуемыми результатами.

По приведённым графикам видно, что в случае, когда коэффициент корреляции равен +1 или -1, то наблюдается функциональная взаимосвязь, т. к. значению одного показателя соответствует только одно значение другого и поэтому никакой вариации на корреляционном поле не наблюдается.

Причём, если в первом ряду представлены виды прямо пропорциональной зависимости корреляционного поля, когда увеличение одного показателя связано с увеличением другого; то во втором ряду представлены виды обратно пропорциональной зависимости корреляционного поля, когда увеличение одного показателя связано с уменьшением другого (в среднем).

Таким образом, по виду корреляционного поля можно судить о степени взаимосвязи между исследуемыми показателями и сделать предварительный вывод, который затем подтверждается расчётом коэффициента корреляции, приведённым ниже.

а)

б)

Рис 16. Степень связи

Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (r). Коэффициент детерминации (d)

Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона вычисляется в том случае, когда между показателями исследуемых выборок (Х_i и У_i) существует линейная связь.

Если Х и У независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0. Заметим, что обратное утверждение неверно. Если r = 0, то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости, но это условие не исключает существования какого-либо другого вида корреляционной зависимости (параболической, показательной и др.)

Одна из формул для расчета коэффициента корреляции Бравэ-Пирсона:

где X_i, Y_i - показатели первой и второй выборок соответственно;

- средние арифметические значения первой и второй выборок соответственно;

- стандартные отклонения первой и второй выборок соответственно;

n - объем каждой выборки.

Абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы: < 1.

Коэффициент корреляции характеризует степень зависимости, или тесноту (силу) зависимости между Х и У, чем больше , т. е. чем ближе он к 1, тем сильнее (теснее) связь между изучаемыми признаками, а чем ближе он к 0, тем слабее.

Принято считать, если:

коэффициент корреляции равен 1, то между исследуемыми признаками наблюдается функциональная связь;
изменяется от 0,9 до  0,7 - сильная статистическая связь;
изменяется от 0,69 до 0,5 - средняя статистическая связь;
изменяется от  0,49 до 0,2 - слабая статистическая связь;
коэффициент корреляции равен нулю - то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

Таким образом, коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона r используется только при наличии линейной взаимосвязи между исследуемыми признаками. Существует несколько видов коэффициентов корреляции: парный линейный коэффициент корреляции Бравэ - Пирсона r, ранговый коэффициент корреляции Спирмэна , тетрахорический коэффициент сопряженности Т, коэффициент множественной корреляции r_xyz, коэффициент частной корреляции r_xyz.

После вычисления любого из перечисленных выше коэффициентов корреляции, необходимо рассчитать его достоверность с использованием критерия Стьюдента.

В некоторых случаях тесноту связи случайных величин характеризуют коэффициентом детерминации D, равным:

Коэффициент детерминации показывает, какой процент взаимосвязи результатов двух выборок объясняется их взаимовлиянием.

Остальная часть (100 - D)% объясняется влиянием других неучтённых факторов.

Оценка достоверности статистических показателей

Часто в спорте стоит следующая задача: как по результатам измерений сделать какой-то обобщающий вывод.

Пример1. Группу борцов тестировали в начале и конце тренировочного занятия по следующему тесту: сделать 8 бросков в максимальном темпе с измерением времени выполнения (с).

начало тренировки:

конец тренировки:

Влияет ли тренировка на изменение времени выполнения бросков.

Влияет ли нагрузка на изменение скоростных качеств?

Пример 2. Измеряли массу тела у юношей (10 спортсменов) и девушек (10 спортсменов), специализирующихся в самбо.

Различаются ли массы тела юношей от массы тела девушек.

Для ответа на вопросы:

- как сравнить средние результаты различных групп;

- как оценить влияние тренировочного занятия на тот или иной показатель;

- как определить (предсказать) интервал, в котором лежат исследуемые показатели;

необходимо использовать приемы проверки статистических гипотез.

Статистические гипотезы

Гипотеза - научное предположение.

Статистическая гипотеза - предположение о характеристиках, которые доказываются методами математической статистики. Статистическую гипотезу обычно обозначают буквой Н (от греческого Hipotes).

Гипотеза называется нулевой (Но), если отсутствует различие между сравниваемыми выборками ().