Файл: Методуказания к расчетно графическим работам.doc

Графическое представление вариационного ряда

Графическое представление результатов измерений выражается в построении трех графиков: полигона частот (см. рис. 1), гистограммы (рис. 2) и полигона накопленных частот (кривой сумм или кумуляты) (рис. 4). Полигон частот и гистограмма показывают распределение измеряемых показателей и их сгруппированность вокруг среднего значения.

Для построения полигона частот в декартовых координатах по оси абсцисс отложим срединные значения интервалов из таблицы 7, а по оси ординат – соответствующие им частоты (или частости). Для приведённого примера полигон распределения изображён на рис. 11.

Рис 11. Полигон частот результатов

Для построения гистограммы по оси абсцисс отложим границы интервалов и на них восстановим прямоугольники до уровня частот, соответствующих интервалам, отложенных по оси ординат (рис. 12).

Рис 12. Гистограмма распределения результатов

Если нанести на гистограмму пунктирной линией полигон распределения частот, то мы получим первоначальное представление о дифференциальной функции распределения.

Как уже говорилось выше, гистограмма является экспериментальным аналогом плотности распределения вероятностей.

Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т. е. объёму выборки (18), или сумме частостей, т. е. единице.

Рис 13. Полигон накопленных частот результатов

Для построения полигона накопленных частот (кривой сумм или кумуляты) по оси ординат отложим верхние границы интервалов, а по оси абсцисс – соответствующие им накопленные частоты (рис. 13).

Полигон накопленных частот результатов является экспериментальным аналогомфункции распределения.

Далее проведём расчёт основных статистических показателей ряда измерений, он сводится к расчёту характеристик положения, характеристик рассеяния результатов измерений и характеристик формы распределения. Причём приведём методику расчёта с помощью формул для данных сгруппированных в интервалы.

Аналитический анализ.

Характеристики положения:

• среднее арифметическое значение (среднее значение)

,

где n- объем выборки,

k – число интервалов группировки,

n_i – частоты интервалов,

x_i – срединные значения интервалов.

• Мода

где - нижняя граница модального интервала.

В нашем примере модальным является третий интервал (таблица 7), т.к. модальным называется интервал группировки с наибольшей частотой. Тогда нижняя граница модального интервала 6,34.

- ширина интервала группи­ровки,

- частота модального интервала, т.е. частота третьего интервала 6,

- частота интервала, предшествую­щего модальному, т.е. частота второго интервала 4,

- частота интервала, последующего за модаль­ным, т.е. частота четвёртого интервала 4.

• Медиана

.

где - нижняя граница медианного интервала.

В нашем примере медианным является третий интервал, т.к. медианным называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n/2) или накопленная частость окажется больше 0,5.

Половина объёма выборки 18/2=9, именно в третьем интервале накопленная частота впервые оказалась больше 9, т.е. 12, а накопленная частость 12/18=0,7 (больше 0,5).

–ширина интервала группи­ровки,

0,5n – половина объёма выборки (9),

–частота медианного интервала (6),

–накопленная частота интервала, предшествующего медианному (6).

Характеристики рассеяния результатов измерений:

• Размах вариации:

R = X_max - X_min = 6,83 – 6,00 = 0,83.

• Дисперсия.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле:

где х_i – среднее значение i интервала группировки,

n_i – частоты интервалов.

• Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение)

Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формуле:

,

• Ошибка средней арифметической (ошибка средней)

.

• Коэффициент вариации

.

Вывод: так как коэффициент вариации не превышает 10 % (V<10 %), то выборка считается однородной.

Характеристики формы распределения:

• Мера скошенности

.

Равенство нулю меры скошенности свидетельствует о том, что имеет место симметричное распределение. Действительно, как видно из предыдущих расчётов Мо = Ме = . Это характерно для нормального распределения.

• Эксцесс для сгруппированных данных:

,

где n_i - частоты интервалов группировки;

х _i - срединное значение интервала группировки;

σ - среднеквадратическое отклонение.

Знак эксцесса отрицательный, следовательно, у рассматриваемого эмпирического распределения наблюдается тенденция к плосковершинности.

3. Теоретические основы корреляционный анализ

Существует два вида связей или зависимостей между изучаемыми показателями: функциональные и корреляционные (статистические). При функциональной зависимости каждому значению одной переменной величины соответствует одно вполне определенное значение другой переменной. Такие зависимости наблюдаются в математике и физике.

Например, между длиной окружности и радиусом существует функциональная связь - С=2R. Иначе говоря, каждому значению R соответствует строго определенное значение С. Точно также, сила тока в электрической цепи определяется напряжением .

В спортивных исследованиях между изучаемыми признаками (показателями) чаще всего существуют корреляционные (статистические) связи, при которых численному значению одной переменной соответствует несколько значений другой.

Например, между массой тела и ростом спортсмена существует статистическая зависимость, так как один спортсмен с массой тела 72 кг может иметь рост 178см, другой, с той же массой, - рост 180 см, а третий – 182 см. Связь между результатами в прыжке в длину и бегом на 100м у спортсменов также статистическая (корреляционная).

Функциональную связь можно выразить математической формулой в виде уравнения, а корреляционную нельзя.

Корреляция или корреляционная связь - статистическая связь между любыми случайными показателями.

Основные задачи корреляционного анализа:

• определение формы связи (линейная, нелинейная);

• определение направления связи (положительная связь или отрицательная);

• определение степени или тесноты взаимосвязи (слабая, средняя, сильная).

При оценке корреляционной связи (взаимосвязи) объем выборок должен быть одинаковым n₁=n₂=n. Анализ взаимосвязи начинают с построения корреляционного поля (диаграммы рассеяния) - графического представления результатов измерений в прямоугольной системе координат. По корреляционному полю делается предварительный вывод относительно формы связи, направления связи и степени связи между исследуемыми признаками. Для окончательного вывода рассчитывается коэффициент корреляции.

Значение коэффициента корреляции заключено в пределах от -1 до +1. Причём знак коэффициента корреляции показывает направление связи между исследуемыми показателями, а числовое значение – степень связи.