Файл: _Арнольд В.И., Что такое математика.pdf

i

i

i

i

i

i

i

i

входящих в него стран

. Я стал разбираться, зачем это нужно, так как

даже для России взнос уже тяжел, а многие бывшие республики СССР и
Югославии уже просят о своем переводе в более низкую категорию ради
снижения своего взноса.

Оказалось, что дополнительные деньги нужны для оплаты, во-первых,

новых бухгалтерских расходов, а во-вторых,

––

для аудиторской проверки

своих финансовых дел, т. е. для контроля над потенциальными ворами. Та-
ким образом, от поддержки научных исследований, являющейся объявлен-
ной целью Союза, он постепенно переключается на поддержку компьютер-
ного бизнеса (стремящегося прекратить весь выпуск научной литературы
в виде книг и статей на бумаге) и на поддержку своего бюрократического и
полицейского аппарата. А вот на издание

«

Московского математического

журнала

»

по-русски денег нет, и он выходит только по-английски.

Франция объявила (в связи с президентскими выборами), что прави-

тельство сейчас отбирает у населения

сорок шесть процентов

дохо-

да,

«

так как страна переживает посткоммунистический период

»

(занимая,

вдобавок, первое место в Европе по числу безграмотных

32

и одно из по-

следних

––

по доходу на душу населения, но зато первое

––

по рекордной

величине национального долга).

Международный математический союз считает, что он не станет до-

водить свои затраты на бюрократию до

сорока шести

процентов свое-

го бюджета. Но мне все же кажется, что речь идет о самоубийственной
политике замены математиков

33

безграмотными компьютерщиками, без-

застенчиво публикующими от нашего имени свои измышления в своих
воровских (

«

пиратских

»

) изданиях. От моего, например, имени они объ-

явили, будто малое отклонение метеорологических начальных условий от
зарегистрированных сказывается на изменении погоды через несколько
недель, увеличиваясь за это время

«

примерно в 105 раз

»

.

У меня, в их первоисточнике, было

«

примерно в десять в пятой

степени раз

»

, т. е. выращивая стометровое возмущение до глобального

размера земного шара.

Кроме явной некомпетентности их оценки (

сто пять гораздо меньше

ста тысяч

), здесь еще проявилось полное отсутствие у автора подделки

не только математической, но и самой обычной человеческой культуры.

32

Солдаты-новобранцы, например, не понимают письменных предписаний и могут послать

ракеты не туда. Неграмотны из них 20 процентов.

33

«

Мы привыкли к тому, как создает сам потребитель удобные ему продукты текстильной

и нетекстильной промышленности через эластичную среду безличного предпринимательства.
Потребитель не разбирается уже в достоинстве продукта, потому что причина недостатков
последнего

––

именно это господство невежественного потребителя

»

. Б. Пастернак, 1930 (в

книге:

«

Об Искусстве

»

. М.: Искусство, 1990. С. 123).

76

i

i

i

i

i

i

i

i

Ни один культурный человек никогда ни о чем не сможет сказать

«

примерно сто пять

»

:

если уж

«

примерно

»

, то

«

сто

»

.

В другой компьютерной (столь же пиратской) публикации от моего име-

ни сказано, будто, по моим словам,

«

Россия может догнать Америку,

только ей, России, для этого надо уничтожить свою математику

»

.

Это

––

образец того, какое

«

новое издательское дело

»

нам готовят.

Ничего подобного я нигде и никогда не говорил. В своей статье я писал,
что во всем мире, к сожалению, идет процесс снижения культурного и
образовательного уровня, но что Россия и здесь, как и в других процессах,
к счастью, отстает от мирового уровня: наши школьники по-прежнему
умеют сознательно складывать дроби, любознательно интересуются на-
уками, приходят в университеты и пополняют нашу, вполне еще активную,
математическую школу.

«

Уничтожать

»

эту школу я ни в коем случае не призываю, а, наоборот,

всячески стремлюсь ей содействовать, в том числе

––

и образованием Не-

зависимого московского университета, и книгами, и лекциями, в том числе
и настоящей лекцией (прочитанной 28 ноября 2001 г. для будущих учителей
математики в Московском педагогическом государственном университете).
Слушатели приятно удивили меня квалифицированным, живым и заинте-
ресованным обсуждением всех затронутых здесь вопросов и перспектив
математического образования и математической науки.

Более подробный разбор современных попыток уничтожить математи-

ческое образование в России имеется в моей статье

«

Новый обскурантизм

и российское просвещение

»

(М., 2003. 60 с. Соответствующее краткое

выступление в Комитете по образованию Государственной Думы опубли-
ковано в

«

Известиях

»

6 декабря 2002 г.)

77

i

i

i

i

i

i

i

i

ДОКЛАД О ДЕВЯТИ НЕДАВНИХ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОТКРЫТИЯХ

Ответ на запрос французских математиков

о крупнейших достижениях современной математики

§ 1. Контактная топология и обращение волн

Простейший пример распространения волн дает семейство эквидистант

данной гладкой плоской кривой, например эллипса (их, а также волно-
вые фронты эллипсоидов изучал А. Кэли в своем труде, предшествующем
теории Морса и теории катастроф и содержащем основные результаты
этих теорий). Можно представлять себе исходную кривую местом, где
происходят некоторые возмущения

––

эпидемия, излучение звука или света.

Распространяясь внутрь эллипса, волновой фронт, который изначально

был гладким, приобретает четыре

особенности

(точки возврата). Позже,

в процессе распространения, они исчезают, и вывернутый

––

уже гладкий

––

фронт распространяется далее до бесконечности вовне изначального эл-
липса.

Изучение изменений выворачивающихся фронтов привело к созданию

новой математической науки

––

контактной топологии, описывающей вол-

новые фронты через их

лежандровы контактные многообразия

(обра-

зованные контактными элементами

34

фронтов в расслоенном пространстве

всех контактных элементов пространства, содержащего фронт): они тесно
связаны с преобразованиями Лежандра, откуда и происходит их название.

В случае одномерного фронта лежандрово многообразие является кри-

вой

––

лежандровым узлом

в трехмерном пространстве, образованном

всеми контактными элементами плоскости. Топология проявляется здесь
благодаря следствию теории Гюйгенса распространения волнового фронта:

топологический тип лежандрова узла в пространстве элементов не

34

Контактный элемент на многообразии

––

это гиперплоскость, составленная из приложен-

ных в одной точке касательных векторов. Если многообразие

––

плоскость, то элемент можно

представлять себе как бесконечно малый кусочек прямой (или гладкой кривой). Многообра-
зие всех контактных элементов плоскости трехмерно (и расслоено над этой плоскостью на
окружности элементов, проходящих через одну точку).

78

i

i

i

i

i

i

i

i

может измениться в процессе распространения. Исходная и конеч-
ная лежандровы кривые задают узел одного и того же типа

. (Это

утверждение справедливо для любого процесса распространения волн, на-
пример для движущихся эквидистантных кривых на римановой поверхно-
сти, метрика которой может даже изменяться со временем.)

Это свойство сохранения узлов в любых системах распростране-

ния волн вытекает из корпускулярно-волновой двойственности: частицы
движутся вдоль лучей согласно гамильтоновой динамической системе,
и теорема единственности запрещает лучам (или фронтам) касаться.
Топологический тип лежандрова многообразия волновых фронтов высших
размерностей (

n

в (2

n

+

1)-мерном расслоенном пространстве) также

сохраняется.

Своеобразным результатом

«

контактной гомологической теории

»

, со-

зданной Ю. Чекановым для изучения топологических инвариантов рас-
пространяющихся фронтов, является следующая теорема, доказанная им
вместе с П. Пушкарем:

При любых процессах выворачивания найдется промежуточный

фронт с не менее чем четырьмя точками возврата.

На самом деле доказанное ими утверждение заключается в том, что

для любого однопараметрического гладкого семейства лежандро-
вых кривых

(интегральных кривых естественной контактной структуры в

пространстве контактных элементов),

связывающих лежандрову кривую

фронта, движущуюся на плоскости внутрь диска, ограниченного
ею, с лежандровой кривой вывернутого фронта, движущейся нару-
жу, фронты некоторых промежуточных лежандровых кривых из
связывающего семейства имеют по крайней мере четыре точки
возвата каждый.

Доказательство этой замечательной, имеющей глубокий физический

смысл топологической теоремы очень сложно и использует, с одной сто-
роны, недавний прогресс в симплектической топологии (гомологии Флёра
и квантовые гомологии и т. п.), а с другой

––

результаты С. Баранникова

об алгебре комплекса Морса (не получившие, к сожалению, заслуженного
признания в момент своего появления несколько лет назад).

Вся эта новая теория предоставляет собой фантастическое обобщение

забытой классической теоремы Штурма и Гурвица о рядах Фурье (гово-
рящей, что

вещественная периодическая функция имеет по крайней

мере столько же нулей, сколько и гармоника наименьшего порядка
ее ряда Фурье

). Отсутствие постоянного члена дает два нуля

––

и это в

точности неравенство Морса для окружности. Теорема Штурма

––

Гурвица

обобщает это утверждение на критические точки высшего порядка, в ко-
торых обращается в нуль выражение

d

(

d

2

+

1) . . . (

d

2

+

n

2

)

f

.

79

i

i

i

i

i

i

i

i

Обобщение этой теоремы Пушкарем и Чекановым в некотором смысле

параллельно обобщению теории Морса на пересечения лагранжевых мно-
гообразий в симплектической топологии: теории Морса и Штурма явля-
ются просто инфинитиземальными (или линеаризованными) вариантами
новых общих топологических теорем в симплектической и контактной то-
пологии. Эти новые результаты сводятся к своим более простым инфини-
тиземальным вариантам, когда описываемые ими преобразования лагран-
жевых и лежандровых многообразий остаются малыми. Но чекановская
контактная теория доказывает, что они

остаются в силе и при сколь

угодно больших деформациях

.

Таким образом, эта новая теория является далеко идущим

нелиней-

ным топологическим обобщением теории Штурма

–

–

Гурвица

(пред-

ставляющей собой обобщение теории Морса на высшие производные), в
которой

функции

морсовской или штурмовской теории уже могут быть

не однозначными, а

многозначными

(например, локально вести себя как

квадратный корень). Вместо таких функций формально рассматриваются
лагранжевы или лежандровы подмногообразия, которые больше не явля-
ются сечениями кокасательного расслоения или расслоения 1-струй (како-
выми были лагранжевы и лежандровы подмногообразия, ассоциированные
с функциями, т. е. лагранжевы графики дифференциалов и лежандровы
графики 1-струй функций).

Я считаю изобретение контактной топологии, вершиной которой явля-

ется теорема Чеканова и Пушкаря о выворачивании волновых фронтов,
одним из наивысших достижений математики конца XX в. Это

––

неча-

стый случай, когда современная математика породила трудный физически
значимый результат.

§ 2. Симплектические неподвижные точки и

«

последняя геометрическая теорема

»

Пуанкаре

В современных терминах утверждение этой теоремы (обязанной сво-

ему происхождению исследованиям Пуанкаре периодических движений в
задаче трех тел) выглядит так.

Количество неподвижных точек любого точного симплекто-

морфизма компактного симплектического многообразия не меньше
количества критических точек гладкой функции на этом много-
образии.

И неподвижные, и критические точки можно подсчитывать как с крат-

ностями (морсовская версия), так и геометрически (в версии Люстерника

––

Шнирельмана).

80