ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3458
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
калов, экспонент, логарифмов, тригонометрических и обратных к тригоно-
метрическим функций.
Оказывается, этот
«
вычислительный
»
вопрос в действительности явля-
ется топологическим вопросом теории римановых поверхностей. Дело в
том, что уравнение алгебраической
«
кривой
»
{
H
(
x
,
y
)
=
0
}
можно рас-
сматривать как задающее подмножество (
«
кривую
»
) не на вещественной
плоскости
R
2
, а на
комплексной плоскости
C
2
(считая обе переменные
x
и
y
комплексными числами). Эта
«
комплексная кривая
»
является в
действительности (в вещественном смысле) поверхностью, т. е. двумерным
вещественным подмногообразием того вещественно-четырехмерного про-
странства
R
4
, которым является
«
комплексная плоскость
»
C
2
. Ибо
одно-
единственное
комплексное уравнение
H
(
x
,
y
)
=
0 является уже
парой
вещественных: ведь нулю равны и вещественная, и мнимая часть значения
многочлена
H
.
С топологической точки зрения
«
комплексная
кривая
»
является ве-
щественно-двумерной
поверхностью
. Гладкие двумерные поверхности в
топологии все описаны. Если такая поверхность связна, компактна и ори-
ентируема, то она либо диффеоморфна сфере
S
2
, либо получается из сфе-
ры приклеиванием некоторого конечного числа
g
гладких ручек. Случай
g
=
1 соответствует поверхности тора, являющегося сферой с одной руч-
кой, случай
g
=
2
––
поверхности кренделя, получающегося соединением
двух торов по маленькой общей окружности (ограничивавшей на каждой из
склеиваемых поверхностей выкидываемый при склеивании диск). Число
g
называется
родом
поверхности.
Ориентируемость, которой не обладает лента Мёбиуса или содержащая
эту ленту (как обнаружил Мёбиус, потому и открывший ленту) проектив-
ная плоскость, всегда гарантирована для комплексных многообразий (их
ориентация задается направлением вращения
«
от 1 к
i
»
, с возрастани-
ем аргумента вращаемого вектора). Так что все комплексные алгебраи-
ческие кривые естественно ориентированы. Гладкость, связность и ком-
пактность
––
это настоящие ограничения. Компактность восстанавливается
при добавлении к неограниченной алгебраической кривой, вроде гипер-
болы, ее
«
бесконечно удаленных
»
точек. Например, комплексная пря-
мая, вещественно диффеоморфная вещественной плоскости, дополняется
до компактной кривой одной бесконечно удаленной точкой, что превраща-
ет ее в
сферу Римана
, называемую также
комплексной проективной
прямой
. Окружность
{
x
2
+
y
2
=
1
}
при рассмотрении комплексных точек
становится вещественным цилиндром (это особенно ясно, если перепи-
сать уравнение, выбрав другую систему комплексных координат, в виде
{
zw
=
1
}
). Этот цилиндр становится сферой при его пополнении двумя его
бесконечно удаленными точками (
z
=
0 и
w
=
0). Так что в комплексной
21
i
i
i
i
i
i
i
i
области окружность определяет в качестве пополненной римановой по-
верхности опять двумерную сферу, как и прямая, и имеет род нуль.
Особые точки (как конечные, так и бесконечно удаленные) появляют-
ся на алгебраических кривых в качестве исключения. Например, кривые
{
xy
=
c
}
на плоскости с координатами
x
и
y
неособы при всех отличных от
нуля значениях параметра
c
, а при
c
=
0 эта кривая имеет одну точку само-
пересечения (и, в пополненном виде, она состоит из двух пересекающихся
в этой точке сфер Римана).
Теорема
Абеля.
Если род римановой поверхности кривой
{
H
(
x
,
y
)
=
0
}
равен нулю, то все абелевы интегралы вдоль этой
кривой выражаются через элементарные функции. Если же род
больше нуля, то некоторые из абелевых интегралов вдоль этой
кривой не являются элементарными функциями
(
от конца пути
интегрирования
)
.
Удивительна в этой теореме связь совершенно отдаленных на первый
взгляд друг от друга областей математики: теории элементарных функций,
интегрирования и топологии. Но математика едина, хотя организаторы
Конгрессов и делят ее на десятки
«
секций
»
.
Один частный случай этой теоремы
––
так называемая
«
теория под-
становок Эйлера
» ––
входит часто в начальные курсы анализа. Кривые
рода нуль (римановы поверхности которых диффеоморфны сфере) облада-
ют еще одним замечательным свойством: они являются
рациональными
кривыми
, т. е. могут быть заданы параметрически в виде
{
x
=
f
(
t
),
y
=
g
(
t
)
}
при помощи пары рациональных функций (
f
,
g
).
Если такое представление кривой
{
H
(
x
,
y
)
=
0
}
известно, то мы полу-
чаем на этой кривой выражение абелева интеграла в виде
]
R
(
x
,
y
)
dx
=
]
R
(
f
(
t
),
g
(
t
))
f
′
(
t
)
dt
,
что сводит вопрос к интегрированию рациональной функции от
t
, а это
всегда приводит к элементарной первообразной функции.
Убедимся, например, что рациональной кривой является окружность
{
x
2
+
y
2
=
1
}
. Проведем для этого через точку (
x
=
−
1,
y
=
0) этой кривой
прямую. Обозначая тангенс ее наклона к оси
x
через
t
, мы получаем ее
уравнение:
{
y
=
t
(1
+
x
)
}
. Подставляя это выражение в уравнение окруж-
ности, мы получим для определения абсциссы
x
точки пересечения прямой
с окружностью квадратное уравнение, один из корней которого (
x
=
−
1)
известен, так как мы проводили прямую через эту точку окружности. Зна-
чит, и второй корень выражается через
t
рационально (по формуле Виета
для суммы или для произведения корней).
22
i
i
i
i
i
i
i
i
А именно, мы получаем выражения
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
y
=
2
t
1
+
t
2
,
доставляющие рациональную параметризацию окружности и доказываю-
щие ее рациональность. Приведенные формулы выражают косинус и синус
угла (аргумента комплексного числа
x
+
iy
) через тангенс (
t
) половинного
угла и могут быть выведены из этого обстоятельства геометрически.
Мы получили явное сведение абелевых интегралов вдоль окружности
к интегралам от рациональных функций вдоль прямой.
История этих формул (тесно связанных с
«
теоремой Пифагора
»
, доста-
вляющей уравнение окружности) восходит к задаче теории чисел о
«
пифа-
горовых тройках
»
(решение которой, вместе с доказательством
«
теоремы
Пифагора
»
, было опубликовано халдеями клинописью за пару тысяч лет
до Пифагора).
Простейшей
«
пифагоровой
»
тройкой является тройка (3, 4, 5) цело-
численных длин сторон прямоугольного треугольника, используемого
египетскими строителями для построения прямых углов (например, при
строительстве пирамид). Задача же состоит в том, чтобы найти
все
такие
тройки.
Решение доставляет предыдущая рациональная параметризация окруж-
ности: если параметр
t
имеет рациональное значение
v/u
, то мы получаем
рациональную точку (
x/z
,
y/z
) на окружности, а из нее
––
пифагорову
тройку целых чисел (
x
=
u
2
−
v
2
,
y
=
2
uv
,
z
=
u
2
+
v
2
) и, заодно, доказатель-
ство того, что других троек, кроме целых кратных этих, нет. Стандартная
египетская тройка получается при
u
=
2,
v
=
1. Чтобы получалась не-
сократимая тройка, нужно брать взаимно простые целые числа
u
и
v
разной четности. При
u
=
3,
v
=
2 получаем (
x
=
5,
y
=
12,
z
=
13), так что
5
2
+
12
2
=
13
2
.
Рациональные вещественные кривые обладают еще замечательным
свойством
уникурсальности
: такую кривую можно нарисовать
«
единым
росчерком пера
»
, не отрывая его от бумаги. Это рисование определяется
движением точки (
f
(
t
),
g
(
t
)) при движении параметра
t
вдоль вещественной
прямой. Разумеется, здесь следует включать в кривую ее бесконечно
удаленные точки. Гипербола, например, рациональна и уникурсальна, но
«
единый росчерк пера
»
получается только на проективной плоскости,
при включении в гиперболу бесконечно удаленных точек, в которых
соединяются обе ветви.
Вычисление рода заданной уравнением алгебраической кривой не все-
гда просто.
Неособая кривая степени n на проективной плоскости
имеет всегда род g
=
(
n
−
1)(
n
−
2)
/
2 (
формула Римана
). В этом проще
23
i
i
i
i
i
i
i
i
всего убедиться при помощи следующего
«
итальянского
»
соображения
алгебраической геометрии.
В комплексном случае, в отличие от вещественного, топология
проще
:
все невырожденные комплексные алгебраические объекты
единого семейства имеют одинаковые топологические свойства
.
Например, всякое (невырожденное) алгебраическое уравнение степени
n
имеет
ровно n комплексных корней
, тогда как число вещественных
корней сложно меняется при изменении коэффициентов невырожденного
вещественного уравнения.
Дело здесь в том, что вырожденные комплексные объекты выделяются
комплексным
уравнением (в случае многочлена от одной переменной это
––
уравнение
«
дискриминант равен нулю
»
). Но одно комплексное уравне-
ние
––
это два вещественных. Поэтому
вещественная коразмерность
многообразия вырожденных комплексных объектов
(например, ком-
плексных многочленов, имеющих кратный корень)
равна не единице, а
двум
(как коразмерность точки на вещественной плоскости или коразмер-
ность вещественной прямой в трехмерном вещественном пространстве).
Следовательно,
многообразие вырожденных комплексных объек-
тов не делит многообразие всех комплексных объектов
, так что
мно-
гообразие невырожденных объектов связно, и от одного из них
можно перейти к любому другому непрерывной деформацией в клас-
се невырожденных комплексных объектов
.
При такой невырожденной деформации топологические свойства де-
формируемого объекта (число корней уравнения, род алгебраической кри-
вой и т. п.) не меняются. Значит, остается выбрать один невырожденный
объект попроще
––
скажем, многочлен (
x
−
1)(
x
−
2) . . . (
x
−
n
)
––
и изучить
нужные топологические инварианты только для него: ответ будет таким же
и для всех остальных невырожденных объектов семейства (число корней
останется равным
n
).
В случае семейства всех алгебраических кривых степени
n
можно на-
чать с
n
прямых на плоскости, пересекающихся попарно, но не по три. Для
получения уравнения
{
H
=
0
}
можно тогда взять в качестве
H
произведе-
ние
n
линейных неоднородных множителей, обращающихся в нуль на этих
прямых. Получающаяся кривая особа, но уравнение
{
H
=
c
}
с малым
c
задает уже неособую кривую.
Топологию этой кривой легко исследовать, так как исходные
n
прямых
доставляют в комплексной области
n
сфер Римана, попарно пересекаю-
щихся в различных точках. Переход от
c
=
0 к
c
=
"
заменяет окрестность
каждой точки пересечения двух сфер маленькой цилиндрической трубоч-
кой, соединяющей две
«
окружности
»
, ограничивающие окрестности точки
пересечения на одной и на другой сфере.
24
i
i
i
i
i
i
i
i
Подсчет рода теперь совсем прост. На одной
––
назовем ее избранной
––
сфере кончается
n
−
1 трубочка, соединяющая ее с одной из остальных
сфер. Если убрать все остальные трубочки, кроме этих, то объединение
оставшихся частей сфер и выбранной сферы с выбранной
n
−
1 трубоч-
кой диффеоморфно единой сфере с парой дырок для прикрепления ка-
ждой из оставшихся трубочек, число которых есть
g
=
(
n
−
2)
+
(
n
−
3)
+
+
. . .
+
1
=
(
n
−
1)(
n
−
2)
/
2. Добавление каждой из этих оставшихся тру-
бочек
––
это приклеивание ручки. Таким образом, род неособой кривой
степени
n
дается этим числом оставшихся трубочек
g
.
Например, для
n
=
1 или 2 род кривой равен 0, поэтому интегралы
вдоль прямых и вдоль кривых второй степени (т. е. интегралы, содержащие
квадратные корни из многочленов второй степени) берутся в элементарных
функциях. Если же
n
=
3, то род подобной неособой кубической кривой ра-
вен 1 и она вещественно диффеоморфна поверхности тора (получающегося
сглаживанием особенностей треугольника из трех попарно пересекающих-
ся сфер).
Кривые степени 3 рода 1 называются
эллиптическими
(так как вы-
числение длины дуги эллипса сводится к интегрированию рациональной
функции вдоль такой кривой). Алгебраически уравнение кубической кри-
вой записывается в надлежащей системе аффинных координат на проек-
тивной плоскости в виде
{
y
2
=
x
3
+
ax
+
b
}
. Соответствующая риманова
поверхность алгебраической функции
y
=
√
x
3
+
ax
+
b
получается из двух
копий плоскости комплексного переменного
x
, разрезанных по двум непе-
ресекающимся отрезкам, один из которых соединяет два корня многочлена
x
3
+
ax
+
b
, а другой соединяет третий корень с бесконечностью.
Оба листа склеены так, что при переходе через каждый разрез мы
всегда оказываемся на другом листе, чем тот, с которого начинали. Эта
поверхность получается из пары сфер Римана с двумя дырами на каждой
при перекрестном склеивании краев дыр каждой сферы с краями дыр
другой сферы, что и приводит к тору.
Такой же тор получается и для квадратного корня из многочлена степе-
ни 4 (бесконечность заменяется здесь четвертым корнем). Эти интегралы
––
они содержат квадратный корень из многочлена степени 4
––
тоже эл-
липтические. Если же степень подкоренного многочлена выше, то будут
получаться римановы поверхности б
´
ольшего рода
g
(для получения рода
g
степень должна быть 2
g
+
1 или 2
g
+
2). Но в то время как для рода
g
=
1
мы получаем этим способом из многочленов степени
n
все римановы по-
верхности, вещественно диффеоморфные тору (в каждом из случаев
n
=
3
или 4), то римановы поверхности б
´
ольшего рода так получаются не все,
а только очень специальные (они называются гиперэллиптическими, т. е.
обобщающими эллиптические кривые).
25